Chứng minh GA² + GB² + GC² = ⅓(a² + b² + c²) với G trọng tâm

Trả lời nhanh

Chứng minh ga² + gb² + gc² = ⅓(a² + b² + c²). Vì G là trọng tâm nên GA = ⅔m_a, GB = ⅔m_b, GC = ⅔m_c. Theo công thức đường trung tuyến, GA² = (4/9)·(2b² + 2c² − a²)/4 = (2b² + 2c² − a²)/9, tương tự cho GB², GC². Cộng ba đẳng thức được GA² + GB² + GC² = (3a² + 3b² + 3c²)/9 = (a² + b² + c²)/3. Có thể chứng minh nhanh hơn bằng vectơ với hệ thức GA⃗ + GB⃗ + GC⃗ = 0⃗.

Đề bài

Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b và G là trọng tâm. Chứng minh rằng GA² + GB² + GC² = ⅓(a² + b² + c²).

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Khi đó AM, BN, CP là ba đường trung tuyến, cắt nhau tại G. Kí hiệu m_a = AM, m_b = BN, m_c = CP.

Tam giác ABC với ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng tâm G; các đoạn GA, GB, GC được tô đỏ — Hình 1. Ba đường trung tuyến của tam giác ABC đồng quy tại trọng tâm G, với GA = ⅔AM, GB = ⅔BN, GC = ⅔CP.

Kiến thức cần dùng

Tính chất trọng tâm: trọng tâm nằm trên mỗi trung tuyến và cách đỉnh một đoạn bằng ⅔ độ dài trung tuyến đó: GA = ⅔AM, GB = ⅔BN, GC = ⅔CP.
Công thức độ dài đường trung tuyến (hệ quả của định lí côsin): m_a² = (2b² + 2c² − a²)/4, m_b² = (2a² + 2c² − b²)/4, m_c² = (2a² + 2b² − c²)/4.
Hệ thức vectơ của trọng tâm: GA⃗ + GB⃗ + GC⃗ = 0⃗.
Bình phương vô hướng: với hai vectơ u⃗, v⃗ ta có |u⃗ − v⃗|² = |u⃗|² + |v⃗|² − 2u⃗·v⃗.

Cách 1: Dùng công thức đường trung tuyến

Từ GA = ⅔m_a suy ra GA² = (4/9)m_a². Thay công thức trung tuyến:

GA² = (4/9) · (2b² + 2c² − a²)/4 = (2b² + 2c² − a²)/9.

Làm tương tự với hai đỉnh còn lại:

GB² = (4/9)m_b² = (2a² + 2c² − b²)/9
GC² = (4/9)m_c² = (2a² + 2b² − c²)/9

Cộng vế theo vế. Ở tử số, a² xuất hiện với hệ số −1 + 2 + 2 = 3, và b², c² cũng vậy. Do đó:

GA² + GB² + GC² = (3a² + 3b² + 3c²)/9 = ⅓(a² + b² + c²) (điều phải chứng minh).

Nhận xét: trong lời giải này ta dùng thêm kết quả m_a² + m_b² + m_c² = ¾(a² + b² + c²). Nhân hai vế với 4/9 cũng ra ngay đẳng thức cần chứng minh.

Cách 2: Dùng vectơ

Cách này không cần nhớ công thức trung tuyến, chỉ dựa vào hệ thức GA⃗ + GB⃗ + GC⃗ = 0⃗.

Bước 1. Viết các cạnh theo vectơ có gốc G: AB⃗ = GB⃗ − GA⃗, nên

c² = AB² = GA² + GB² − 2GA⃗·GB⃗.

Tương tự: a² = GB² + GC² − 2GB⃗·GC⃗ và b² = GC² + GA² − 2GC⃗·GA⃗.

Bước 2. Cộng ba đẳng thức, đặt S = GA² + GB² + GC² và T = GA⃗·GB⃗ + GB⃗·GC⃗ + GC⃗·GA⃗:

a² + b² + c² = 2S − 2T. (1)

Bước 3. Bình phương hệ thức trọng tâm:

0 = (GA⃗ + GB⃗ + GC⃗)² = S + 2T, suy ra 2T = −S. (2)

Bước 4. Thay (2) vào (1): a² + b² + c² = 2S + S = 3S, tức S = ⅓(a² + b² + c²).

Cách vectơ ngắn gọn và dễ mở rộng sang các bài toán cực trị, nên được dùng nhiều trong chương Vectơ của Toán 10.

Kiểm tra bằng ví dụ số

Tam giác đều cạnh a

Trọng tâm trùng tâm đường tròn ngoại tiếp nên GA = GB = GC = a√3/3, suy ra mỗi bình phương bằng a²/3 và tổng bằng a². Vế phải: ⅓(a² + a² + a²) = a². Hai vế bằng nhau.

Tam giác vuông có ba cạnh 3, 4, 5

Đặt A(0; 0), B(4; 0), C(0; 3), khi đó c = AB = 4, b = AC = 3, a = BC = 5. Trọng tâm G(4/3; 1).

GA² = (4/3)² + 1² = 16/9 + 9/9 = 25/9
GB² = (8/3)² + 1² = 64/9 + 9/9 = 73/9
GC² = (4/3)² + 2² = 16/9 + 36/9 = 52/9

Tổng: (25 + 73 + 52)/9 = 150/9 = 50/3. Vế phải: ⅓(25 + 9 + 16) = 50/3. Kết quả khớp.

Mở rộng: hệ thức Leibniz và bài toán giá trị nhỏ nhất

Với một điểm M bất kì, viết MA⃗ = MG⃗ + GA⃗ (tương tự cho B, C), bình phương rồi cộng lại và dùng GA⃗ + GB⃗ + GC⃗ = 0⃗, ta được:

MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC² = 3MG² + ⅓(a² + b² + c²).

Vì 3MG² ≥ 0 nên MA² + MB² + MC² ≥ ⅓(a² + b² + c²), dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M trùng G. Như vậy trọng tâm là điểm làm tổng bình phương khoảng cách tới ba đỉnh nhỏ nhất.
Chọn M là tâm O đường tròn ngoại tiếp (OA = OB = OC = R): 3R² = 3OG² + ⅓(a² + b² + c²), suy ra OG² = R² − (a² + b² + c²)/9.

Lỗi thường gặp

Viết GA = ⅓m_a (nhầm với đoạn GM). Đúng là GA = ⅔m_a và GM = ⅓m_a.
Quên bình phương hệ số: GA² = (4/9)m_a² chứ không phải (2/3)m_a².
Ghép sai cạnh trong công thức trung tuyến: m_a ứng với cạnh a = BC, nên a² mang dấu trừ.
Trong cách vectơ, viết AB⃗ = GA⃗ − GB⃗ (sai chiều). Dù kết quả bình phương vẫn đúng, em nên viết chuẩn AB⃗ = GB⃗ − GA⃗.

Bài tập tự luyện có đáp án

Tam giác ABC có a = 6, b = 7, c = 5. Tính GA² + GB² + GC² và độ dài GA. Đáp án: tổng bằng (36 + 49 + 25)/3 = 110/3; m_a² = (98 + 50 − 36)/4 = 28 nên m_a = 2√7 và GA = 4√7/3.
Tam giác đều cạnh 6. Tính GA² + GB² + GC². Đáp án: ⅓ · 3 · 36 = 36.
Chứng minh m_a² + m_b² + m_c² = ¾(a² + b² + c²). Gợi ý: cộng ba công thức trung tuyến, hoặc nhân đẳng thức của bài với 9/4.
Tìm điểm M sao cho MA² + MB² + MC² nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó theo a, b, c. Đáp án: M ≡ G, giá trị nhỏ nhất là ⅓(a² + b² + c²).

Câu hỏi thường gặp

Trọng tâm chia đường trung tuyến theo tỉ lệ nào?

Trọng tâm G cách đỉnh một đoạn bằng 2/3 trung tuyến và cách trung điểm cạnh đối diện 1/3 trung tuyến, tức AG : GM = 2 : 1.

Công thức đường trung tuyến m_a là gì?

m_a² = (2b² + 2c² − a²)/4, trong đó a là cạnh đối diện đỉnh A, còn b, c là hai cạnh kề.

Vì sao GA + GB + GC (vectơ) bằng vectơ không?

Vì GB⃗ + GC⃗ = 2GM⃗ với M là trung điểm BC, mà GA⃗ = −2GM⃗ do AG = 2GM và G nằm giữa A và M.

Điểm nào làm MA² + MB² + MC² nhỏ nhất?

Trọng tâm G. Theo hệ thức Leibniz, MA² + MB² + MC² = 3MG² + ⅓(a² + b² + c²) nhỏ nhất khi MG = 0.