Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: a/(b^2+1) + b/(c^2+1) + c/(a^2+1) ≥ 3/2

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: a/(b^2+1) + b/(c^2+1) + c/(a^2+1) ≥ 3/2

Trịnh Thị Thu Hiền Ngày: 19-05-2023 Tổng hợp kiến thức

285

Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 10)

Câu 11: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b^{2} + 1} + \frac{b}{c^{2} + 1} + \frac{c}{a^{2} + 1} \geq \frac{3}{2}$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

$\frac{a}{b^{2} + 1} = a - \frac{a b^{2}}{b^{2} + 1} \geq a - \frac{a b^{2}}{2 b} = a - \frac{a b}{2} \frac{b}{c^{2} + 1} = b - \frac{b c^{2}}{c^{2} + 1} \geq b - \frac{b c^{2}}{2 c} = b - \frac{c b}{2} \frac{c}{a^{2} + 1} = c - \frac{c a^{2}}{a^{2} + 1} \geq c - \frac{c a^{2}}{2 a} = c - \frac{a c}{2}$

Cộng ba vế bất đẳng thức lại ta được:

$\frac{a}{b^{2} + 1} + \frac{b}{c^{2} + 1} + \frac{c}{a^{2} + 1} \geq a + b + c - (\frac{a b + b c + a c}{2})$

Ta có: $a b + b c + a c \leq \frac{{(a + b + c)}^{2}}{3} = \frac{9}{3} = 3$

$\Rightarrow \frac{a}{b^{2} + 1} + \frac{b}{c^{2} + 1} + \frac{c}{a^{2} + 1} \geq 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Xem thêm các bài tập thường gặp môn Toán hay, chọn lọc khác:

Câu 1: Cho A = (0,2) và B = (1,4), tìm C_R(A ∪ B) và C_R(A ∩ B)...

Câu 2: Tìm A∩B, A∪B, A\B, B\A, C_RA, C_RB, C_R(A∩B), C_R(A∪B), C_RA∩C_RB, C_RA∪C_RB trong trường hợp sau đây: A = [–8; 1] ∪ [4; 7] và B = (–∞; 2)...

Câu 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:...

Câu 4: Giải phương trình: sin³x + cos³x = 0...

Câu 5: Cho sinx + cosx = $\frac{1}{2}$ . Tính giá trị của biểu thức A = sin³x + cos³x...

Câu 6: Tìm hệ số của x⁶ trong khai triển ${(\frac{1}{x} + x^{3})}^{3 n + 1}$ với x ≠ 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện $3 C_{n + 1}^{2} + n P_{2} = 4 A_{n}^{2}$ ....

Câu 7: Phân tích đa thức ab(a + b) – bc(b + c) – ac(c – a) thành nhân tử, ta được..

Câu 8: Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{1 + \sqrt{x}}$ và $B = (\frac{2 \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} - 6} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3}) : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3}$ với x > 0, x ≠ 9..

Câu 9: Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm, có vô số nghiệm:....

Câu 10: Tìm m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm: $\{\begin{cases} 2 x + m y = m + 2 \\ (m + 1) x + 2 m y = 2 m + 4 \end{cases}$ ...

Câu 11: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b^{2} + 1} + \frac{b}{c^{2} + 1} + \frac{c}{a^{2} + 1} \geq \frac{3}{2}$ ....

Câu 12: Nghiệm của phương trình $\sin x . \cos x = \frac{1}{2}$ là ?...

Câu 13: Giải phương trình lượng giác: 2cos²(2x) – 3cos2x + 1 = 0....

Câu 14: Có 8 cái bút khác nhau và 9 quyển vở khác nhau được gói trong 17 hộp. Một học sinh được chọ bất kỳ hai hộp. Xác suất để học sinh đó chọn được một cặp bút và vở là...

Câu 15: Tính $2^{n} + 2^{n + 3} = 72$ ....

Câu 16: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, AC = b. G là trọng tâm. Chứng minh:GA² + GB² + GC² = $\frac{1}{3} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ ...

Câu 17: Với giá trị nào của a và b thì đa thức x³ + ax² + 2x + b chia hết cho đa thức x² + x + 1...

Câu 18: Cho $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c}$ . Chứng minh $\frac{1}{a^{n}} + \frac{1}{b^{n}} + \frac{1}{c^{n}} = \frac{1}{a^{n} + b^{n} + c^{n}}$ ...

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có các cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong tam giác SCD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau...

Câu 20: Tìm x, y biết $(x + \sqrt{x^{2} + 1}) (y + \sqrt{y^{2} + 1}) = 1$ . Tính x + y = ?...

Câu 21: Cho 2 số thực x, y thỏa mãn $(x + \sqrt{x^{2} + 1}) (y + \sqrt{y^{2} + 1}) = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 10x⁴ + 8y⁴ – 15xy + 6x² + 5y² + 2017...

Câu 22: Cho đa giác n đỉnh (n ≥ 6), hỏi có bao nhiêu tứ giác có hai cạnh là 2 cạnh đa giác, 2 cạnh là 2 đường chéo đa giác....

Câu 23: Trong ABC có các cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện: (a + b + c)(a + b – c) = 3ab. Khi đó số đo của góc C là:..

Câu 24: Tập hợp tất cả các giá trị thực của m để hàm số $y = \frac{x + 4}{x + m}$ đồng biến trên khoảng (–∞; –7) là:...

Câu 25: Cho hai hàm số y = x² và y = mx + 4, với m là tham số...

Đánh giá

0

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 5

Số Pi là một số đặc biệt trong lịch sử toán học. Nó được biểu diễn bằng chữ cái Hy Lạp π từ giữa thế kỉ XVIII

Số Pi là một số đặc biệt trong lịch sử toán học. Nó được biểu diễn bằng chữ cái Hy Lạp π từ giữa thế kỉ XVIII Lữ Ngọc My My

18

Toán Lớp 5

Làm tròn 139,7 đến số tự nhiên gần nhất. Việt nói: Đường chéo màn hình ti vi dài khoảng 139 cm

Làm tròn 139,7 đến số tự nhiên gần nhất. Việt nói: Đường chéo màn hình ti vi dài khoảng 139 cm Lữ Ngọc My My

10

Toán Lớp 5

Làm tròn các số thập phân: 9,345; 21,663; 0,4571: Đến hàng phần mười

Làm tròn các số thập phân: 9,345; 21,663; 0,4571: Đến hàng phần mười Lữ Ngọc My My

12

Toán Lớp 5

Chiều cao, cân nặng chuẩn của trẻ 10 tuổi theo Tổ chức Y tế Thế giới (WHO) như sau

Chiều cao, cân nặng chuẩn của trẻ 10 tuổi theo Tổ chức Y tế Thế giới (WHO) như sau Lữ Ngọc My My

11

Tìm kiếm

tailieugiaovien.com.vn

Bài Viết Xem Nhiều

CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK

- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền

- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.

© 2021 Vietjack57. All Rights Reserved.