Trả lời nhanh
Phương trình sin x · cos x = 1/2 có nghiệm x = π/4 + kπ (k ∈ ℤ). Cách làm: nhân hai vế với 2 để dùng công thức sin 2x = 2 sin x cos x, được sin 2x = 1. Khi đó 2x = π/2 + k2π, suy ra x = π/4 + kπ. Nếu đề của em là sin x + cos x = 1/2 thì nghiệm khác, xem mục so sánh bên dưới.
Giải phương trình sin x · cos x = 1/2
Bước 1. Đưa về sin 2x. Nhân hai vế với 2:
2 sin x cos x = 1, tức là sin 2x = 1.
Bước 2. Giải phương trình sin 2x = 1. Giá trị 1 của sin đạt được tại góc π/2 (cộng thêm các vòng tròn đầy đủ), nên 2x = π/2 + k2π.
Bước 3. Chia hai vế cho 2. x = π/4 + kπ, với k ∈ ℤ.
Chú ý rằng chu kì của nghiệm là π chứ không phải 2π, vì sin 2x tuần hoàn với chu kì π.
Kiểm tra nghiệm
- k = 0: x = π/4, sin = cos = √2/2, tích = 1/2. Đúng.
- k = 1: x = 5π/4, sin = cos = −√2/2, tích = (−√2/2)² = 1/2. Đúng.
- k = −1: x = −3π/4, sin = cos = −√2/2, tích vẫn bằng 1/2. Đúng.
Ở các nghiệm này, sin x và cos x luôn bằng nhau (cùng dấu), nên tích của chúng luôn dương và đạt giá trị lớn nhất 1/2.
Vì sao phương trình này “chạm” giá trị lớn nhất?
Vì sin x cos x = (1/2) sin 2x và |sin 2x| ≤ 1, nên tích sin x cos x không bao giờ vượt quá 1/2. Phương trình đòi hỏi đúng giá trị lớn nhất đó, nên nghiệm chỉ xuất hiện tại các điểm đỉnh của đồ thị. Đó là lí do nghiệm gọn như vậy và cũng là cách nhẩm nhanh: không cần giải, chỉ cần tìm các góc mà sin x = cos x > 0 hoặc sin x = cos x < 0.
So sánh với sin x + cos x = 1/2
Rất nhiều bạn gõ nhầm hoặc chép nhầm dấu giữa hai hàm. Nếu đề là sin x + cos x = 1/2 thì cách giải khác hẳn:
- Biến đổi sin x + cos x = √2 sin(x + π/4).
- Phương trình thành sin(x + π/4) = 1/(2√2) = √2/4. Vì √2/4 ≈ 0,354 nằm trong [−1; 1] nên có nghiệm.
- Đặt α = arcsin(√2/4) ≈ 0,361 rad (khoảng 20,7°). Khi đó x = −π/4 + α + k2π hoặc x = 3π/4 − α + k2π.
Nghiệm này không đẹp vì 1/2 không phải giá trị sin đặc biệt sau khi chia cho √2. Muốn chắc đề nào, hãy nhìn xem giữa sin x và cos x là dấu nhân (chấm, hoặc viết liền) hay dấu cộng.
Lỗi sai thường gặp
- Quên nhân đôi: viết sin 2x = 1/2 thay vì sin 2x = 1 (sai vì 2 sin x cos x mới bằng sin 2x).
- Ghi nghiệm x = π/4 + k2π, mất các nghiệm 5π/4, 9π/4… Phải là kπ.
- Dùng độ lẫn radian trong cùng một đáp án.
Luyện tập có đáp án
- Giải sin x cos x = −1/2.
Đáp án: sin 2x = −1 nên 2x = −π/2 + k2π, x = −π/4 + kπ. - Giải sin x cos x = 1/4.
Đáp án: sin 2x = 1/2 nên 2x = π/6 + k2π hoặc 2x = 5π/6 + k2π, suy ra x = π/12 + kπ hoặc x = 5π/12 + kπ. - Giải sin x cos x = 1.
Đáp án: sin 2x = 2, vô nghiệm vì sin không vượt quá 1.
Câu hỏi thường gặp
Nghiệm của phương trình sinx.cosx = 1/2 là gì?
Nghiệm là x = π/4 + kπ với k là số nguyên. Cách giải: nhân hai vế với 2 được sin 2x = 1, suy ra 2x = π/2 + k2π.
Vì sao nghiệm có chu kì π mà không phải 2π?
Vì sin x cos x = (1/2) sin 2x, mà hàm sin 2x tuần hoàn với chu kì π. Do đó cứ sau mỗi π, giá trị của vế trái lặp lại.
Phương trình sinx + cosx = 1/2 có nghiệm không?
Có. Phương trình tương đương sin(x + π/4) = √2/4, với nghiệm x = −π/4 + arcsin(√2/4) + k2π hoặc x = 3π/4 − arcsin(√2/4) + k2π.
Phương trình sinx.cosx = 1 có nghiệm không?
Không. Vì sin x cos x = (1/2) sin 2x ≤ 1/2 nên giá trị 1 không bao giờ đạt được.