Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:
Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 106)
Câu 27: Tìm n∈N∗ sao cho n4+n3+1 là số chính phương.
Phương pháp giải:
Biến đổi bài toán thành điều kiện số chính phương (scp):
Để n4+n3+1 là số chính phương, đặt A=4n4+4n3+4 và cần A cũng là số chính phương.
Thiết lập bất đẳng thức:
Xét hai biểu thức (2n2+n+1)2 và (2n2+n−1)2, so sánh chúng với A để tìm điều kiện cần.
Sử dụng bất đẳng thức để giới hạn giá trị của A:
Chứng minh rằng A nằm giữa hai giá trị này: (2n2+n−1)2<A<(2n2+n+1)2.
Tìm nghiệm:
Từ đó, suy ra A=(2n2+n)2 và đưa về phương trình 4−n2=0, dẫn đến giá trị của n.
Lời giải:
Để n4+n3+1 là số chính phương
⇔A=4n4+4n3+4 cũng phải là số chính phương
Xét A−(2n2+n+1)2=4n4+4n3+4−(2n2+n+1)2=−5n2−2n+3≤−5−2n+3=−2−2n<0 với mọi n≥1
⇒A<(2n2+n+1)2(1)
Xét A−(2n2+n−1)2=4n4+4n3+4−(2n2+n−1)2=3n2+2n+3>0 với mọi n≥1
⇒A>(2n2+n−1)2(2)
Từ (1);(2)⇒(2n2+n−1)2<A<(2n2+n+1)2
⇒A=(2n2+n)2 => A là số chính phương
⇒(4n4+4n3+4)=(2n2+n)2
⇔4−n2=0
⇒n=2
Xem thêm các câu hỏi thường gặp môn Toán hay nhất:
Câu 2: Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm và góc A = 60°...
Câu 8: Cho a, b, c > 0. CMR ab+c+bc+a+ca+b lớn hơn hoặc bằng 32...
Câu 10: Chứng minh rằng với mọi n ta có n55+n33+7n15 thuộc Z...
Câu 11: Chứng minh rằng: n.(n + 1).(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3...
Câu 13: Tìm số hạng thứ 10 của dãy số sau:...
Câu 14: Phân tích đa thức trên thành nhân tử: 2x3 - 5x - 6...
Câu 15: Biết MN//BC; AB = 3cm; AM = 2cm; AN = 2,6cm; BC = 4,5cm. Tính độ dài đoạn NC....
Câu 16: So sánh 99 x 101 và 1002...
Câu 17: Cho (x + 2y)(x2 - 2xy + 4y2) = 0 vs (x - 2y)(x2 + 2xy + 4y2) = 16. Tim x và y...
Câu 18: xy có phải là đơn thức không?...
Câu 20: 58 : 7 = bao nhiêu?...
Câu 21: Tính nhanh 35 nhân 25...
Câu 22: Tìm số tiếp theo của dãy số: 2; 3; 8; 27; 112; ?...
Câu 23: Chứng minh rằng: 106 - 57 chia hết cho 59...
Câu 24: Chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn bằng phân số 83 là...
Câu 25: Tìm x biết : 6x2+2+12x2+8=3−7x2+3...
Câu 26: Công thức tính số phần tử của tập hợp và công thức tính tổng số phần tử của tập hợp?...
Câu 27: Tìm n∈N∗ sao cho n4+n3+1 là số chính phương....
Câu 28: Có bao nhiêu cách để đi từ A đến B nếu chỉ đi lên và sang phải?...
Câu 29: Tìm x; y nguyên 2xy+2x−y=8...
Câu 31: 312.22+522.32+732.42+.. Chứng minh nhỏ hơn 1...
Câu 32: Chứng minh rằng biểu thức sau luôn luôn dương với mọi x, y: B = x2 - 2x + y2 + 4y + 6...
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.
