Tìm n∈N* sao cho n^4 + n^3 + 1 là số chính phương

Tìm n∈N* sao cho n^4 + n^3 + 1 là số chính phương

Lữ Ngọc My My Ngày: 01-12-2024 Tổng hợp kiến thức

145

Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 106)

Câu 27: Tìm $n \in N^{*}$ sao cho $n^{4} + n^{3} + 1$ là số chính phương.

Phương pháp giải:

Biến đổi bài toán thành điều kiện số chính phương (scp):

Để $n^4 + n^3 + 1$ là số chính phương, đặt $A = 4n^4 + 4n^3 + 4$ và cần $A$ cũng là số chính phương.

Thiết lập bất đẳng thức:

Xét hai biểu thức $(2n^2 + n + 1)^2$ và $(2n^2 + n - 1)^2$ , so sánh chúng với $A$ để tìm điều kiện cần.

Sử dụng bất đẳng thức để giới hạn giá trị của $A$ :

Chứng minh rằng $A$ nằm giữa hai giá trị này: $(2n^2 + n - 1)^2 < A < (2n^2 + n + 1)^2$ .

Tìm nghiệm:

Từ đó, suy ra $A = (2n^2 + n)^2$ và đưa về phương trình $4 - n^2 = 0$ , dẫn đến giá trị của $n$ .

Lời giải:

Để $n^{4} + n^{3} + 1$ là số chính phương

$\Leftrightarrow A = 4 n^{4} + 4 n^{3} + 4$ cũng phải là số chính phương

Xét $A - (2 n^{2} + n + 1)^{2} = 4 n^{4} + 4 n^{3} + 4 - (2 n^{2} + n + 1)^{2} = - 5 n^{2} - 2 n + 3 \leq - 5 - 2 n + 3 = - 2 - 2 n < 0$ với mọi $n \geq 1$

$\Rightarrow A < (2 n^{2} + n + 1)^{2} (1)$

Xét $A - (2 n^{2} + n - 1)^{2} = 4 n^{4} + 4 n^{3} + 4 - (2 n^{2} + n - 1)^{2} = 3 n^{2} + 2 n + 3 > 0$ với mọi $n \geq 1$

$\Rightarrow A > (2 n^{2} + n - 1)^{2} (2)$

Từ $(1); (2) \Rightarrow (2 n^{2} + n - 1)^{2} < A < (2 n^{2} + n + 1)^{2}$

$\Rightarrow A = (2 n^{2} + n)^{2}$ => A là số chính phương

$\Rightarrow (4 n^{4} + 4 n^{3} + 4) = (2 n^{2} + n)^{2}$

$\Leftrightarrow 4 - n^{2} = 0$

$\Rightarrow n = 2$

Xem thêm các câu hỏi thường gặp môn Toán hay nhất:

Câu 1: Cho tam giác ABC cân tại A (góc A < 90 độ), các đường cao BD,CE (D thuộc AC; E thuộc AB) cắt nhau tại H ....

Câu 2: Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm và góc A = 60°...

Câu 3: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD); DC là đáy lớn; AH là đường cao. DH = 5cm; HC = 35cm. Tính độ dài đường trung bình của hình thang...

Câu 4: Tính nhanh :...

Câu 5: Hai thành phố A và B cách nhau 135 km. Lúc 7 giờ sáng,một người đi ôtô từ A với vận tốc 60 km/giờ về phía B. 15 phút sau, một người đi xe máy từ B với vận tốc 30 km/giờ về phía A. Hỏi lúc mấy giờ thì hai xe gặp nhau? Chỗ gặp nhau cách B bao nhiêu kilômét?...

Câu 6: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720m². Nếu tăng chiều dài thêm 10m, giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài chiều rộng của mảnh vườn....

Câu 7: Tìm 5% của 400...

Câu 8: Cho a, b, c > 0. CMR $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}$ lớn hơn hoặc bằng $\frac{3}{2}$ ...

Câu 9: Tìm x nguyên, biết:...

Câu 10: Chứng minh rằng với mọi n ta có $\frac{n^{5}}{5} + \frac{n^{3}}{3} + \frac{7 n}{15}$ thuộc Z...

Câu 11: Chứng minh rằng: n.(n + 1).(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3...

Câu 12: Một cái sân hình chữ nhật chiều dài gấp đôi chiều rộng. Người ta mở rộng chiều dài 2m, chiều rộng 2m thì được cái sân mới có diện tích hơn sân cũ 52 m² .Tính diện tích cái sân ban đầu...

Câu 13: Tìm số hạng thứ 10 của dãy số sau:...

Câu 14: Phân tích đa thức trên thành nhân tử: 2x³- 5x - 6...

Câu 15: Biết MN//BC; AB = 3cm; AM = 2cm; AN = 2,6cm; BC = 4,5cm. Tính độ dài đoạn NC....

Câu 16: So sánh 99 x 101 và 100²...

Câu 17: Cho (x + 2y)(x²- 2xy + 4y²) = 0 vs (x - 2y)(x²+ 2xy + 4y²) = 16. Tim x và y...

Câu 18: $\frac{x}{y}$ có phải là đơn thức không?...

Câu 19: Bạn Minh dùng 30000 đồng để mua bút. Có hai loại bút: bút bi xanh và bút bi đen. Bút bi xanh có giá 2500 đồng một chiếc. Bút bi đen có giá 3500 đồng một chiếc. Bạn Minh sẽ mua được nhiều nhất bao nhiêu chiếc bút nếu:...

Câu 20: 58 : 7 = bao nhiêu?...

Câu 21: Tính nhanh 35 nhân 25...

Câu 22: Tìm số tiếp theo của dãy số: 2; 3; 8; 27; 112; ?...

Câu 23: Chứng minh rằng: 10⁶ - 5⁷ chia hết cho 59...

Câu 24: Chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn bằng phân số $\frac{8}{3}$ là...

Câu 25: Tìm x biết : $\frac{6}{x^{2} + 2} + \frac{12}{x^{2} + 8} = 3 - \frac{7}{x^{2} + 3}$ ...

Câu 26: Công thức tính số phần tử của tập hợp và công thức tính tổng số phần tử của tập hợp?...

Câu 27: Tìm $n \in N^{*}$ sao cho $n^{4} + n^{3} + 1$ là số chính phương....

Câu 28: Có bao nhiêu cách để đi từ A đến B nếu chỉ đi lên và sang phải?...

Câu 29: Tìm x; y nguyên $2 x y + 2 x - y = 8$ ...

Câu 30: Tính tổng: $\frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60} + \frac{1}{84}$ ...

Câu 31: $\frac{3}{1^{2} . 2^{2}} + \frac{5}{2^{2} . 3^{2}} + \frac{7}{3^{2} . 4^{2}} + .. . + \frac{19}{9^{2} . 10^{2}} .$ Chứng minh nhỏ hơn 1...

Câu 32: Chứng minh rằng biểu thức sau luôn luôn dương với mọi x, y: B = x²- 2x + y²+ 4y + 6...

Đánh giá

0

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Tổng hợp kiến thức

Tam giác đều: Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết tam giác đều

Tam giác đều: Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết tam giác đều Admin Vietjack

243

Toán Tổng hợp kiến thức

Dấu hiệu nhận biết hình vuông 2025 và bài tập vận dụng

Dấu hiệu nhận biết hình vuông 2025 và bài tập vận dụng Admin Vietjack

166

Toán Tổng hợp kiến thức

Công thức tính tổng dãy số cách đều 2025 chính xác nhất

Công thức tính tổng dãy số cách đều 2025 chính xác nhất Admin Vietjack

247

Toán Tổng hợp kiến thức

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành 2025 hay, chi tiết nhất

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành 2025 hay, chi tiết nhất Admin Vietjack

158

Tìm kiếm

tailieugiaovien.com.vn

Bài Viết Xem Nhiều

CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK

- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền

- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.

© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.