Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 105)

Câu 24: Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn : $\frac{2z-4x}{3}=\frac{3x-2y}{4}=\frac{4y-3z}{2}$ và $200<y^2+z^2<450$

Phương pháp giải: 

Thiết lập phương trình: Ta có hệ phương trình $\frac{2z - 4x}{3} = \frac{3x - 2y}{4} = \frac{4y - 3z}{2}$​. Gọi $k$k là giá trị chung của các biểu thức này và lập các phương trình tương ứng.

Giải hệ phương trình: Giải các phương trình bậc nhất theo $x$, $y$, và $z$ để tìm các giá trị thỏa mãn.

Kiểm tra điều kiện $200 < y^2 + z^2 < 450$: Sau khi có các giá trị $x$, $y$, và $z$, kiểm tra xem các giá trị này có thỏa mãn điều kiện trên không.

Lời giải:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2z-4x}{3}}={\displaystyle \frac{3x-2y}{4}}={\displaystyle \frac{4y-3z}{2}}\\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{3(2z-4x)}{9}}={\displaystyle \frac{4(3x-2y)}{16}}={\displaystyle \frac{2(4y-3z)}{4}}\\ ={\displaystyle \frac{6z-12x+12x-8y+8y-6z}{9+16+4}}=0\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}2z-4x=0\\ 3x-2y=0\\ 4y-3z=0\end{array}\Rightarrow y={\displaystyle \frac{3}{4}}z$

mà $200<y^2+z^2<450$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 200<{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}z\right)}^2+z^2<450\\ \iff 200<{\displaystyle \frac{25}{16}}{z}^2<450\\ \iff 128<z^2<288\end{array}$

Vì z là số nguyên dương ${\displaystyle \Rightarrow \sqrt{128}<z<\sqrt{288}}$

${\displaystyle \Rightarrow z\in \{12;13;14;15;16\}}$

mà y là số nguyên dương và ${\displaystyle y=\frac{3}{4}z}$

${\displaystyle \Rightarrow z\in \{12;16\}}$

Thế vào ${\displaystyle y=\frac{3}{4}z}$ và ${\displaystyle 2z-4x=0}$

+) Với ${\displaystyle z=12\Rightarrow y=\frac{3}{4}.12=6}$

 ${\displaystyle 2.12-4x=0\Rightarrow x=6}$

Với ${\displaystyle z=16\Rightarrow y=\frac{3}{4}.16=12}$

    ${\displaystyle 2.16-4x=0\Rightarrow x=8}$

Vậy ta có các cặp nghiệm là: ${\displaystyle (x;y;z)=\{(6;9;12);(8;12;16)\}}$