Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 105)

Phương pháp giải: 

Phần a: Sử dụng bất đẳng thức cơ bản và phân tích biểu thức.

Đầu tiên, áp dụng bất đẳng thức $(a - b)^2 \geq 0$ để suy ra $a^2 + b^2 \geq 2ab$.

Sau đó, thêm điều kiện để suy ra các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $M = a^3 + b^3 - (a + b)(a^2 + b^2 - ab)$.

Cuối cùng, xác định $M_{\text{min}} = \frac{1}{4}$​ khi $a = b = \frac{1}{2}$​.

Phần b: Sử dụng cách biểu diễn $a^3 + b^3$ để đưa ra kết luận.

Phân tích biểu thức $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \geq 0$ và tiếp tục áp dụng bất đẳng thức cho các biểu thức liên quan.

Kết luận dựa trên bất đẳng thức, và cuối cùng là rút ra kết quả mong muốn.

Lời giải:

a. Với mọi a;b ta có: ${(a-b)}^2\ge 0\Rightarrow a^2+b^2\ge 2ab\Rightarrow 2a^2+2b^2\ge a^2+b^2+2ab$

$\Rightarrow 2(a^2+b^2)\ge {(a+b)}^2\Rightarrow a^2+b^2\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}{(a+b)}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}$​

$M=a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=a^2+b^2-ab$

$M={\displaystyle \frac{3}{2}}(a^2+b^2)-{\displaystyle \frac{1}{2}}{(a+b)}^2={\displaystyle \frac{3}{2}}(a^2+b^2)-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ge {\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$​

$M_{min}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ khi $a=b={\displaystyle \frac{1}{2}}$​

b.

Do $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=2>0$

Mà $a^2-ab+b^2>0\Rightarrow a+b>0$

Mặt khác với mọi a;b ta có:

${(a-b)}^2\ge 0\Rightarrow a^2+b^2\ge 2ab\Rightarrow a^2+b^2+2ab\ge 4ab$

$\Rightarrow {(a+b)}^2\ge 4ab\Rightarrow ab\le {\displaystyle \frac{1}{4}}{(a+b)}^2$$\Rightarrow -ab\ge -{\displaystyle \frac{1}{4}}{(a+b)}^2$

Từ đó:

$2=a^3+b^3={(a+b)}^3-3ab(a+b)\ge {(a+b)}^3-3.{\displaystyle \frac{1}{4}}{(a+b)}^2(a+b)={\displaystyle \frac{1}{4}}{(a+b)}^3$

$\Rightarrow {(a+b)}^3\le 8\Rightarrow a+b\le 2$

$N_{max}=2$ khi $a=b=1$.