Cho x; y là 2 số dương thỏa mãn x + y = 1. CMR: (1 + 1/x)(1 + 1/y) ≥ 9

Cho x; y là 2 số dương thỏa mãn x + y = 1. CMR: (1 + 1/x)(1 + 1/y) ≥ 9

Lữ Ngọc My My Ngày: 01-12-2024 Tổng hợp kiến thức

25

Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 105)

Câu 14: Cho x; y là 2 số dương thỏa mãn x + y = 1. CMR: $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{y}) \geq 9$

Phương pháp giải:

Áp dụng BDT Cauchy:

Với hai số thực không âm ta có a+b≥2√ab. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Lời giải:

Ta có:

(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{y}) = (1 + \frac{x + y}{x}) (1 + \frac{x + y}{y}) .

(vì x+y=1)

$= 4 + 2 (\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) + 1 = 5 + 2 (\frac{x}{y} + \frac{y}{x})$ (*)

Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số $\frac{x}{y}$ > 0 và $\frac{y}{x}$ > 0 ta đc:

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2 \sqrt{\frac{x}{y} . \frac{y}{x}} = 2$ (**)

Từ (*),(**) => $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{y}) \geq 5 + 2.2 = 9$

Vậy với x + y = 1 thì $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{y}) \geq 9$

Xem thêm các câu hỏi thường gặp môn Toán hay nhất:

Câu 1: Thực hiện phép tính: $A = (\frac{1}{4.9} + \frac{1}{9.14} + \frac{1}{14.19} + .. . + \frac{1}{44.49}) . \frac{1 - 3 - 5 - 7 - .. . - 49}{89}$ ...

Câu 2: Chứng minh rằng: A = $2012^{4 n} + 2013^{4 n} + 2014^{4 n} + 2015^{4 n}$ không là số chính phương với mọi n thuộc N*...

Câu 3: Cho $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}$ . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau?...

Câu 4: a. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a³ + b³...

Câu 5: Cho hình thang ABCD có đáy bé 5,2 cm, đáy lớn gấp đôi đáy bé, chiều cao 7cm. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O...

Câu 6: Khi nào dùng suy ra và khi nào dùng tương đương?...

Câu 7: a. Giải hệ phương trình:...

Câu 8: Tính $\frac{42}{46} + \frac{250}{186} + (- \frac{2121}{2323}) + (- \frac{125125}{143143})$ ...

Câu 9: Tính nhanh: A = $\frac{5}{3.7} + \frac{5}{7.11} + \frac{5}{11.15} + . . . + \frac{5}{35.39}$ ...

Câu 10: Cho hình thang cân ABCD có AB song song với CD và AB < CD biết AD = AB...

Câu 11: Lá cờ đỏ sao vàng trên đỉnh cột cờ Lũng Cú, Hà Giang nơi địa cầu Tổ quốc có diện tích 54 mét vuông tượng trưng cho 54 dân tộc cùng chung sống trên đất nước Việt Nam. Biết rằng lá cờ hình chữ nhật đó có chiều rộng bằng 2/3 chiều dài....

Câu 12: Tính tích A = $\frac{3}{4} x \frac{8}{9} x \frac{15}{16} x . . . x \frac{899}{900}$ ...

Câu 13: Tìm số nguyên n biết: 2n + 13 là bội của n + 1...

Câu 14: Cho x; y là 2 số dương thỏa mãn x + y = 1. CMR: $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{y}) \geq 9$ ...

Câu 15: Biến đổi thành tổng biểu thức sau: 4sin3x.sin2x.cosx...

Câu 16: Tìm x: 5.x + 3.(10 - x) + x = 45...

Câu 17: Chứng minh a² + b² + c² lớn hơn hoặc bằng ab + bc + ca với mọi số a, b, c...

Câu 18: Giải phương trình: $\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 2} + \frac{x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2} - \frac{4 (x^{2} - 5)}{x^{4} + 4} = \frac{322}{65}$ ...

Câu 19: Cho $A = 1 + 3^{2} + 3^{3} + .. .. + 3^{2000}$ . Chứng minh rằng A chia hết cho 13...

Câu 20: Cho $S = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \dots + \frac{1}{2024^{2}}$ . Chứng tỏ S không phải là số tự nhiên...

Câu 21: So sánh: A = 333⁴⁴⁴ và B = 444³³³...

Câu 22: Tìm các số nguyên x và y biết : x . y = -15...

Câu 23: Tìm số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 3, biết rằng nếu xóa chữ số hàng đơn vị thì nó giảm đi 1992 đơn vị....

Câu 24: Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn : $\frac{2 z - 4 x}{3} = \frac{3 x - 2 y}{4} = \frac{4 y - 3 z}{2}$ và $200 < y^{2} + z^{2} < 450$ ...

Câu 25: Một người đi xe đạp từ A đến B với dự định mất t = 4h. Do nửa quãng đường sau người ấy tăng vân tốc thêm 3km/h nên đến sơm hơn dự định 20 phút ....

Câu 26: Tìm x, y, z...

Câu 27: Tìm x: x [(- 2x)²+ 5x] = 16 ...

Câu 28: Một hình chữ nhật có chu vi là 60m.Tính diện tích của nó, biết giữ nguyên chiều rộng của hình chữ nhật đó và tăng chiều dài lên 2m thì ta được một hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 24m²...

Câu 29: Điền vào chỗ trống: 4m² 5dm² = .......... dm²...

Câu 30: Một ô tô có công suất 75kW...

Đánh giá

0

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Tổng hợp kiến thức

Biết a - b chia hết cho 6 chứng minh rằng các biểu thức sau cũng chia hết cho 6

Biết a - b chia hết cho 6 chứng minh rằng các biểu thức sau cũng chia hết cho 6 Lữ Ngọc My My

165

Toán Tổng hợp kiến thức

Tìm các tập hợp Ư(8); Ư(12); Ư(15)

Tìm các tập hợp Ư(8); Ư(12); Ư(15) Lữ Ngọc My My

141

Toán Tổng hợp kiến thức

Tìm BCNN của 84 và 108

Tìm BCNN của 84 và 108 Lữ Ngọc My My

115

Toán Tổng hợp kiến thức

Cho biết cos∝ = 12/13 giá trị của tan ∝ là

Cho biết cos∝ = 12/13 giá trị của tan ∝ là Lữ Ngọc My My

110

Tìm kiếm

tailieugiaovien.com.vn

Bài Viết Xem Nhiều

CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK

- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền

- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.

© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.