Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 90)

Đề bài. Cho (O; R) đường kính AB và M nằm trên (O; R) với MA < MB (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của (O; R) cắt tiếp tuyến tại A và B của (O; R) theo thứ tự ở C và D.

a) Chứng minh ACDB là hình thang vuông

b) AD cắt (O; R) tại E, OD cắt MB tại N. Chứng minh OD vuông góc MB và DE.DA = DN.DO

c) Cho AM = R. Tính theo R diện tích ACDB.

Lời giải:

a) AC ⊥ AB vì AC là tiếp tuyến

BD ⊥ AB vì BD là tiếp tuyến

Suy ra: AC // DB ⇒ ACDB là hình thang

Lại có: $\widehat{BAC}=\widehat{DBA}=90°$ nên ACDB là hình thang vuông

b) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

Ta có: MD = MB

OM = OB = R

Nên OD là đường trung trực của MB

⇒ OD ⊥ MB và MN = NB

Xét tam giác OBD vuông tại B có OD ⊥ BN

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: DN.DO = BD² (1)

Tam giác AEB có OE = OA = OB = R nên tam giác AEB vuông tại E

Suy ra: BE ⊥ DA

Lại có: tam giác ABD vuông tại B và OD ⊥ BE

⇒ DE.DA = BD² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DE.DA = DN.DO

c) Ta có: MA = OA = OM = R nên tam giác AMO đều

⇒ $\widehat{AOM}=60°\Rightarrow \widehat{AOC}=30°$(vì OC là phân giác)

⇒ $\widehat{BOM}=120°\Rightarrow \widehat{BOD}=60°$

Xét trong tam giác BOD có: $BD=OB.\tan 60°=R\sqrt{3}$

Trong tam giác OCA có: $AC=OA.\tan 30°=\frac{R\sqrt{3}}{3}$

Vì ACDB là hình thang vuông AB là đường cao

Nên $S_{ACDB}=\frac{1}{2}.AB.\left(AC+BD\right)=\frac{4R^2\sqrt{3}}{3}$ .