Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 89)

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH (H ∈ BC).

1) Cho AH = 6; BH = 3. Tính BC và số đo $\widehat{ABC}$ (góc làm tròn đến phút).

2) Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt tia CA tại K. Hạ AE ⊥ BK (E ∈ BK). Chứng minh rằng: AK.AC = EH², từ đó suy ra BH.HC + BE.EK = AK.AC.

Lời giải:

1) Áp dụng hệ thức lượng giác vào tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

AH² = BH.HC

⇒ 6²= 3. HC ⇒ HC = 6² : 3= 12cm

Ta có : BC = BH + HC = 3 + 12 =15 cm

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}\Rightarrow AC=6\sqrt{5}$

$AB=\sqrt{A{H}^2+B{H}^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$

Xét tam giác BAC vuông tại A có: sin$\widehat{ABC}=\frac{AC}{BC}=\frac{6\sqrt{5}}{15}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\Rightarrow \widehat{ABC}=63°$

2) Xét tam giác BAK và tam giác CAB có:

$\widehat{BAK}=\widehat{BAC}=90°$

$\widehat{BKA}=\widehat{ABC}$(cùng phụ với $\widehat{KBA}$)

Suy ra: ∆BAK ∽ ∆CAB (g.g)

⇒ $\frac{BA}{AC}=\frac{AK}{AB}\Rightarrow A{B}^2=AK.AC$

Lại có: ABHE là hình chữ nhật vì $\widehat{H}=\widehat{B}=\widehat{E}=90°$ nên AB = HE

Suy ra: EH² = AK.AC (1)

Xét tam giác BEA và tam giác AEK có:

$\widehat{BEA}=\widehat{AEK}=90°$

$\widehat{ABE}=\widehat{KAE}=90°-\widehat{EAB}$

Suy ra: ∆BEA ∽ ∆AEK (g.g)

⇒ $\frac{BE}{AE}=\frac{AE}{EK}$⇒ BE.EK = AE²

Xét tam giác BHA và tam giác AHC có:

$\widehat{BHA}=\widehat{CHA}=90°$

$\widehat{ABH}=\widehat{CAH}=90°-\widehat{ACH}$

Suy ra: ∆BHA ∽ ∆AHC (g.g)

⇒ $\frac{BH}{AH}=\frac{AH}{HC}$ ⇒ AH² = BH.HC

⇒ BH.HC + BE.EK = AE² + AH² = EH² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BH.HC + BE.EK = AK.AC.