Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BC = 8cm, BH = 2cm

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BC = 8cm, BH = 2cm.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, AH.

b) Trên cạnh AC lấy điểm K (K ≠ A, K ≠ C), gọi D là hình chiếu của A trên BK. Chứng minh rằng: BD.BK = BH.BC.

c) Chứng minh rằng: $S_{BHD}=\frac{1}{4}{S}_{BKC}.{\cos }^2\widehat{ABD}$ .

Lời giải:

a) Áp dụng HTL tam giác:

$\left\{\begin{array}{c}A{B}^2=BH.BC=16\\ A{C}^2=BC.CH=8\left(8-2\right)=48\\ A{H}^2=BH.CH=2\left(8-2\right)=12\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}AB=4\left(cm\right)\\ AC=4\sqrt{3}\left(cm\right)\\ AH=2\sqrt{3}\left(cm\right)\end{array}\right.$

b) $\widehat{ADB}=\widehat{AHB}\left(=90°\right)\Rightarrow$ ADHB nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{DHA}=\widehat{DBA}$ (cùng chắn AD) (1)

$\left\{\begin{array}{c}\widehat{CKB}=\widehat{KAB}+\widehat{ABD}=90°+\widehat{ABD}\\ \widehat{DHB}=\widehat{DHA}+\widehat{AHB}=\widehat{DHA}+90°\\ \widehat{ABD}=\widehat{DHA}\left(cmt\right)\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{CKB}=\widehat{DHB} \\ \left\{\begin{array}{c}\widehat{CKB}=\widehat{DHB}\\ \widehat{CBK}chung\end{array}\right.\Rightarrow \Delta DHB~\Delta CKB\left(g.g\right) \\ \Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{BH}{BK}\Rightarrow BD.BK=BH.BC \end{gathered}$$

c) Áp dụng công thức tính diện tích hình tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa

$S_{BHD}=\frac{1}{2}BH.BD.\sin \widehat{DBH}$

$S_{BKC}=\frac{1}{2}BK.BC.\sin \widehat{KBC}$

Mà $\widehat{DBH}=\widehat{KBC}$

$\Rightarrow \frac{S_{BHD}}{S_{BKC}}=\frac{BH.BD}{BK.BC}=\frac{2BD}{8BK}=\frac{BD}{4BK}=\frac{B{D}^2}{4BK.BD}$

$=\frac{1}{4}\frac{B{D}^2}{A{B}^2}$ (hệ thức lượng) $=\frac{1}{4}.{\cos }^2\widehat{ABD}$

$\Rightarrow S_{BHD}=\frac{1}{4}{S}_{BKC}.{\cos }^2\widehat{ABD}$.