Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 107)

Câu 21: Cho tam giác ABC nhọn. CMR: ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C\le \frac{9}{4}$

Phương pháp giải: 

Biểu diễn tổng $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C$: Sử dụng công thức $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$​ để chuyển sang dạng có liên quan đến hàm cos.

Tính chất góc trong tam giác: Sử dụng tính chất $A + B + C = 180^\circ$, từ đó suy ra mối liên hệ giữa $\cos(A + B)$và $\cos C$.

Áp dụng bất đẳng thức:

Với tam giác nhọn: $\cos C > 0$ và $0 < \cos(A - B) \leq 1$.

Suy ra $\cos C \cdot \cos(A - B) \leq \cos C$.

Đánh giá giá trị lớn nhất: Biến đổi để đưa về dạng $\frac{9}{4} - (\cos C - \frac{1}{2})^2 \leq \frac{9}{4}$​, đạt dấu "=" khi tam giác đều ($A = B = C = 60^\circ$).

Kết luận: Bất đẳng thức đúng và dấu "=" xảy ra khi tam giác đều.

Lời giải: