Cho x, y là 2 số thực thỏa mãn xy ≥ 1. CMR 1/(1+x^2 ) + 1/(1+y^2 ) ≥ 2/(1+xy)

Cho x, y là 2 số thực thỏa mãn xy ≥ 1. CMR 1/(1+x^2 ) + 1/(1+y^2 ) ≥ 2/(1+xy)

Lữ Ngọc My My Ngày: 06-12-2024 Tổng hợp kiến thức

19

Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 107)

Câu 3: Cho x, y là 2 số thực thỏa mãn $x y \geq 1$ . CMR $\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + y^{2}} \geq \frac{2}{1 + x y}$

Phương pháp giải:

Xử lý biểu thức vế trái.

Áp dụng bất đẳng thức và xét điều kiện $x y \geq 1$ .

Đánh giá vế trái và kết luận.

Lời giải:

$V T = \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + y^{2}} = \frac{2 + x^{2} + y^{2}}{1 + y^{2} + x^{2} + x^{2} y^{2}}$

Ta luôn có: ${(a - b)}^{2} \geq 0$ $\Leftrightarrow$ $a^{2} - 2 a b + b^{2} \geq 0$ $\Leftrightarrow$ $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ $a = b$

Áp dụng BĐT trên ta có: $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$ mà $x y \geq 1$ nên $x^{2} + y^{2} \geq 2$

$x y \geq 1$ $\Rightarrow$ ${(x y)}^{2} = x^{2} y^{2} \geq 1$

Khi đó: $V T = \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + y^{2}} = \frac{1 + x^{2} + y^{2}}{1 + x^{2} + y^{2} + x^{2} y^{2}} \geq \frac{2 x y + 1}{2 x y + 1 + 1} \geq \frac{2 + 2}{2 x y + 2} = \frac{4}{2 (x y + 1)} = \frac{2}{1 + x y}$

$\Rightarrow$ $V T \geq \frac{2}{1 + x y}$ hay $\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + y^{2}} \geq \frac{2}{1 + x y}$ (đpcm)

Xem thêm các câu hỏi thường gặp môn Toán hay nhất:

Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 9(x+5)² - (x-7)²...

Câu 2: Cho (P): y = ax². Tìm a để (P) đi qua M(1, 2). Với a tìm được, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d): y = 3x - 1...

Câu 3: Cho x, y là 2 số thực thỏa mãn $x y \geq 1$ . CMR $\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + y^{2}} \geq \frac{2}{1 + x y}$ ...

Câu 4: Tính nhanh (372 - 19 x 4) + (981:9 - 13)...

Câu 5: Tìm các số tự nhiên x, y sao cho $\frac{x}{9} - \frac{3}{y} = \frac{1}{18}$ ...

Câu 6: Cho x + y + z = 0. Chứng minh $2 (x^{4} + y^{4} + z^{4}) = {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{2}$ ...

Câu 7: Tính...

Câu 8: Không cần tính hãy cho biết tổng và hiệu có chia hết cho 3 không?...

Câu 9: Một hội trường có 32 chỗ ngồi cho 1 hàng ghế. Nếu có 890 đại biểu tham dự họp thì phải dùng ít nhất bao nhiêu hàng ghế...

Câu 10: Thế nào là 2 góc tương ứng?...

Câu 11: Một học sinh đi từ nhà tới trường, sau khi đi được quãng đường thì chợt nhớ mình quên mất một cuốn sách nên vội trở về nhà rồi đi ngay đến trường và muộn 15 phút...

Câu 12: Khai triển hằng đẳng thức $a^{4} + b^{4}$ ...

Câu 13: Tìm x biết: $(\frac{6}{7} - \frac{3}{5}) : \frac{2 x}{3} = \frac{- 11}{8}$ ...

Câu 14: Quãng đường AB dài 123 km. Cùng một lúc một ô tô đi từ A về B và một xe máy đi từ B về A. Sau 1 giờ 30 phút thì hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của ô tô hơn vận tốc của xe máy là 8 km/giờ....

Câu 15: Cho hệ phương trình: ${\begin{array}{c} x + 2 y = 2 \\ m x - y = m \end{array}$ (m là tham số)...

Câu 16: Tính giá trị biểu thức sau: 5 000 000 : 5000000 + 100000 : 2...

Câu 17: Để ép được 5l nước dứa người ta cần 15 kg dứa quả. 7350 kg dứa quả thì ép được bao nhiêu lít nước dứa?...

Câu 18: Tìm x : ${11.6}^{x - 1} + {2.6}^{x + 1} = {11.6}^{11} + {2.6}^{13}$ ...

Câu 19: Tại sao số 0 không là số hữu tỉ âm cũng không là số hữu tỉ dương?...

Câu 20: Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà chúng đều nhỏ hơn 2011?...

Câu 21: Cho tam giác ABC nhọn. CMR: $\sin^{2} A + \sin^{2} B + \sin^{2} C \leq \frac{9}{4}$ ...

Câu 22: Tính giá trị của biểu thức:...

Câu 23: Biểu diễn A = $\sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}}$ dưới dạng tổng của 3 căn thức...

Câu 24: Số tập con là gì?...

Câu 25: Tìm x thuộc Z để x²+ 2x + 1 chia hết cho x + 6...

Câu 26: Đổi đơn vị:...

Câu 27: Tìm n thuộc Z sao cho...

Câu 28: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể cạn thì sau 6 giờ sẽ đầy bể. Cùng chảy được 2 giờ thì khóa vòi một lại và vòi hai tiếp tục chảy thêm 12 giờ nữa thì đầy bể . Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu mới đầy bể...

Câu 29: Hiện nay tuổi cha gấp 3 lần tuổi con. Sau 1 thời gian nữa, khi tuổi của con bằng tuổi cha hiện nay thì lúc đó tổng số tuổi của 2 cha con là 112. tính tuổi của cha, của con hiện nay ?...

Câu 30: Chứng minh rằng: với hai số a, b thỏa mãn a > b > 0 thì $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ < $\sqrt{a - b}$ ...

Câu 31: Mẹ mang ra chợ bán 25 quả cam và 75 quả quýt. Buổi sáng mẹ đã bán được một số cam và quýt, còn lại $\frac{1}{5}$ số cam và $\frac{1}{5}$ số quýt mẹ để chiều bán nốt. Hỏi buổi sáng mẹ đã bán được tổng số bao nhiêu quả cam và quýt?...

Câu 32: Hai sân bay Hà Nội và Đà Nẵng cách nhau 600km. Một máy bay cánh quạt từ Đà Nẵng đi Hà Nội. Sau đó 10 phút, một máy bay phản lực từ Hà Nội bay tới Đà Nẵng với vận tốc lớn hơn máy bay cánh quạt là 300km/h. Máy bay phản lực đến Đà Nẵng trước khi máy bay cánh quạt đến Hà Nội là 10 phút. Tính vận tốc mỗi máy bay....

Câu 33: Tìm BCNN của:...

Câu 34: Đổi đơn vị sau:...

Câu 35: Con gà mái của bạn An sau 2 tuần 1 ngày đã đẻ được 1 số trứng. Bạn An tính rằng cứ 3 ngày nó đẻ được 2 quả trứng. Hỏi con gà đó đã đẻ được mấy quả trứng?...

Đánh giá

0

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Tổng hợp kiến thức

Biết a - b chia hết cho 6 chứng minh rằng các biểu thức sau cũng chia hết cho 6

Biết a - b chia hết cho 6 chứng minh rằng các biểu thức sau cũng chia hết cho 6 Lữ Ngọc My My

165

Toán Tổng hợp kiến thức

Tìm các tập hợp Ư(8); Ư(12); Ư(15)

Tìm các tập hợp Ư(8); Ư(12); Ư(15) Lữ Ngọc My My

141

Toán Tổng hợp kiến thức

Tìm BCNN của 84 và 108

Tìm BCNN của 84 và 108 Lữ Ngọc My My

115

Toán Tổng hợp kiến thức

Cho biết cos∝ = 12/13 giá trị của tan ∝ là

Cho biết cos∝ = 12/13 giá trị của tan ∝ là Lữ Ngọc My My

110

Tìm kiếm

tailieugiaovien.com.vn

Bài Viết Xem Nhiều

CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK

- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền

- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.

© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.