Cho 3 số nguyên a, b, c. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì Q = (a + b)(b + c)(c+ a) - abc chia hết cho 4

Cho 3 số nguyên a, b, c. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì Q = (a + b)(b + c)(c+ a) - abc chia hết cho 4

Lữ Ngọc My My Ngày: 19-11-2024 Tổng hợp kiến thức

104

Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 103)

Câu 16: Cho 3 số nguyên a, b, c. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì Q = (a + b)(b + c)(c+ a) - abc chia hết cho 4

Phương pháp giải:

Phân tích điều kiện:

Ta biết $a + b + c$ chia hết cho 4, tức là: $a + b + c \equiv 0 (\mod 4) .$

Tính các tổng liên quan:

$a + b, b + c, c + a$ đều là tổng của 2 số trong $a, b, c$ . Khi cộng các tổng này, ta thu được $2(a + b + c)$ , vẫn chia hết cho 4.

Xét biểu thức $Q$ :

Phân tích $Q = (a + b)(b + c)(c + a) - abc$ và sử dụng tính chất chia hết để chứng minh $Q \equiv 0 \pmod{4}$ .

Lời giải:

Ta có:

$Q = (a + b) (b + c) (c + a) - a b c = (a + b + c) (a b + b c + a c) - a b c - a b c$

$= (a + b + c) (a b + b c + a c) - 2 a b c$

Ta thấy:

$a + b + c ⋮ 4$ nên $a + b + c$ chẵn. Do đó phải tồn tại ít nhất 1 trong 3 số $a, b, c$ là số chẵn.

$\Rightarrow a b c ⋮ 2$

$\Rightarrow 2 a b c ⋮ 4 (1)$

$a + b + c ⋮ 4 \Rightarrow (a + b + c) (a b + b c + a c) ⋮ 4 (2)$

Từ $(1); (2) \Rightarrow Q ⋮ 4$

Ta có đpcm.

Xem thêm các câu hỏi thường gặp môn Toán hay nhất:

Câu 1: Cho góc xOy = 100 độ, vẽ tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Oy. Gọi Om, On lần lượt là tia phân giác góc xOz và góc zOy. Tính góc mOn....

Câu 2: Cho 2 đường thẳng MN và PQ cắt nhau tại O biết $\hat{M O N} = 2 \hat{M O Q}$ . Tính số đo các góc được tạo thành...

Câu 3: Tìm x biết: $\frac{4}{7} : x = \frac{5}{15}$ ...

Câu 4: Tìm x biết: $(3 x - 1)^{10} = (3 x - 1)^{20}$ ...

Câu 5: Một lớp học có 24 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chia tổ sao cho số nam và số nữ được chia đều vào các tổ ?...

Câu 6: Tính nhanh: 2¹⁰. 15 + 2¹⁰. 85...

Câu 7: Cho hình vuông ABCD, trên BC lấy điểm E sao cho BE = $\frac{1}{3}$ BC . Biết diện tích tam giác ABE là 16,35cm² . Tính diện tích hình vuông ....

Câu 8: Ta biết rằng trong một hồ sen; số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước. Biết rằng ngày đầu có 1 lá sen thì tới ngày thứ 10 hồ sẽ đầy lá sen. Hỏi nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy hồ sẽ đầy lá sen?...

Câu 9: $\frac{1}{3}$ ngày bằng bao nhiêu giờ?...

Câu 10: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 người vào một bàn tròn?...

Câu 11: Tập hợp Z là gì?...

Câu 12: Tính 7 phút = ...... giây...

Câu 13: Số 2024 có tất cả các chữ số đều nhỏ hơn 5 và số nhỏ nhất bằng 0. Có bao nhiêu số có bốn chữ số có tính chất như vậy?...

Câu 14: Năm nhuận là năm mà tháng Hai có 29 ngày....

Câu 15: Trại thu mua sữa bò: Trong 2 ngày đầu mỗi ngày mua 1200 lít sữa. Trong 3 ngày sau mỗi ngày mua 2100 lít sữa. Hỏi trung...

Câu 16: Cho 3 số nguyên a, b, c. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì Q = (a + b)(b + c)(c+ a) - abc chia hết cho 4...

Câu 17: Hiệu hai số tự nhiên là 6. Nếu gấp số bị trừ lên 4 lần thì hiệu sẽ là 54. Tìm hai số đó....

Câu 18: Cho ∆ABC vuông tại A , AB = 12cm , AC = 16cm, phân giác AD, đường cao AH. Tính HB, HC, HD...

Câu 19: Giải phương trình: 3x²- 7x + 8 = 0...

Câu 20: Hiện nay mẹ hơn con 28 tuổi. Biết rằng 3 năm sau tuổi của con bằng $\frac{3}{7}$ tuổi mẹ. Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi...

Câu 21: Viết chương trình tính tổng các số chẵn nhỏ hơn với N là số tự nhiên được nhập vào từ bàn phím....

Câu 22: Giải phương trình $\frac{x + 14}{86} + \frac{x + 15}{85} + \frac{x + 16}{84} + \frac{x + 17}{83} + \frac{x + 116}{4} = 0$ ...

Câu 23: Cho Biểu Thức $E = \frac{3 - x}{x - 1}$ . Tìm giá trị nguyên của x để:...

Câu 24: $\frac{15}{35}$ rút gọn được bao nhiêu...

Câu 25: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế $\{\begin{cases} 12 x - 4 y = - 16 \\ 3 x - y = - 4 \end{cases}$ ...

Câu 26: Tính bằng cách hợp lý:...

Câu 27: a. Tìm x biết $\frac{12}{5} - x : \frac{5}{7} = \frac{12}{5}$ ...

Câu 28: Dãy số tự nhiên liên tiếp từ 218 đến 436 có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?...

Câu 29: Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất 2 nghiệm biết rằng: x.f(x+1) = (x+3).f(x)...

Câu 30: Cho số thập phân 135,27. Hỏi giá trị của chữ số 3 gấp giá trị của chữ số 2 bao nhiêu lần?...

Câu 31: Một cửa hàng quần áo nhận được 1 đơn hàng 20 cái áo trong đó có 5 cái áo trắng 35% cái áo dạ 30% cái phao còn lại là áo len...

Câu 32: Tìm a để đa thức A chia hết cho đa thức B...

Câu 33: Tìm x biết: $\frac{3}{2} - 4 (\frac{1}{4} - x) = \frac{2}{3} - 7 x$ ...

Câu 34: Tính: $2^{7} : 2^{2} + 5^{4} : 5^{3} \times 2^{4} - 3 \times 2^{5}$ ...

Câu 35: Một người đi xe đạp đi quãng đường 18,3 km hết 1,5 h. Hỏi với vận tốc như vậy thì người đó đi quãng đường 30,5km hết bao nhiêu thời gian?...

Câu 36: Tìm x biết: $5^{x + 1}$ - $5^{x}$ = 100 . $2 5^{29}$ ...

Đánh giá

0

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Tổng hợp kiến thức

Biết a - b chia hết cho 6 chứng minh rằng các biểu thức sau cũng chia hết cho 6

Biết a - b chia hết cho 6 chứng minh rằng các biểu thức sau cũng chia hết cho 6 Lữ Ngọc My My

399

Toán Tổng hợp kiến thức

Tìm các tập hợp Ư(8); Ư(12); Ư(15)

Tìm các tập hợp Ư(8); Ư(12); Ư(15) Lữ Ngọc My My

319

Toán Tổng hợp kiến thức

Tìm BCNN của 84 và 108

Tìm BCNN của 84 và 108 Lữ Ngọc My My

247

Toán Tổng hợp kiến thức

Cho biết cos∝ = 12/13 giá trị của tan ∝ là

Cho biết cos∝ = 12/13 giá trị của tan ∝ là Lữ Ngọc My My

272

Tìm kiếm

tailieugiaovien.com.vn

Bài Viết Xem Nhiều

CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK

- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền

- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.

© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.