Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 29)

Câu 17: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x² + 5y² + 6z² + 2xy – 4xz = 10.

Lời giải:

x² + 5y² + 6z² + 2xy – 4xz = 10

⇔ x² + y² + 4z² + 2xy – 4xz – 4yz + 4y² + 4yz + z² + z² = 10

⇔ (x + y – 2z)² + (2y + z)² + z² = 10   (1)

Vì x, y, z là các số nguyên nên (x + y – 2z)², (2y + z)², z² là các số chính phương.

Ta có 10 = 0 + 1 + 9.

Trường hợp 1: z² = 0 ⇔ z = 0.

Khi đó ta có (2y)² = 1 hoặc (2y²) = 9.

Lúc này không có nghiệm y nguyên vì 2y là số chẵn.

Trường hợp 2: (2y + z)² = 0 ⇔ z = –2y.

Suy ra z² = (–2y)² = 1 hoặc z² = (–2y)² = 9.

Tương tự trường hợp 1, ta cũng không có nghiệm y nguyên vì 2y là số chẵn.

Trường hợp 3: (x + y – 2z)² = 0.

Khi đó phương trình (1) tương đương với: 

 $$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}{\left(x+y-2z\right)}^2=0\\ {\left(2y+z\right)}^2=1\\ z^2=9\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}{\left(x+y-2z\right)}^2=0\\ {\left(2y+z\right)}^2=9\\ z^2=1\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}x+y-2z=0\\ 2y+z=1\\ z=\pm 3\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x+y-2z=0\\ 2y+z=9\\ z=\pm 1\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}x=7\\ y=-1\\ z=3\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x=-8\\ y=2\\ z=-3\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x=-2\\ y=4\\ z=1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x=-7\\ y=5\\ z=-1\end{array}\right.\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy (x; y; z) ∈ {(7; –1; 3); (–8; 2; –3); (–2; 4; 1); (–7; 5; –1)}.