Trả lời nhanh
Một số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số đứng ở vị trí lẻ và tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn (đếm từ phải sang trái) chia hết cho 11. Với 13, ta tách số thành các nhóm ba chữ số từ phải sang, lấy tổng đan dấu các nhóm; nếu kết quả chia hết cho 13 thì số ban đầu chia hết cho 13.
Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 thì các em đã quen. Còn 11 và 13 thì sao? Hai dấu hiệu này không có trong bảng “chia hết” cơ bản nhưng rất hay gặp trong bài toán nâng cao, bài tìm chữ số và bài chứng minh. Chỉ cần hiểu một ý: 10 đồng dư với −1 khi chia cho 11, còn 1000 đồng dư với −1 khi chia cho 13.
1. Dấu hiệu chia hết cho 11
Quy tắc: Xét số tự nhiên n. Đánh số vị trí các chữ số từ phải sang trái: chữ số hàng đơn vị là vị trí 1 (lẻ), hàng chục là vị trí 2 (chẵn), hàng trăm là vị trí 3 (lẻ)… Gọi:
- Slẻ là tổng các chữ số ở vị trí lẻ;
- Schẵn là tổng các chữ số ở vị trí chẵn.
Khi đó n chia hết cho 11 ⟺ (Slẻ − Schẵn) chia hết cho 11 (kết quả 0, 11, −11, 22… đều được).
Vì sao đúng?
Ta có 10 = 11 − 1, nên 10 chia 11 dư −1. Suy ra 102 chia 11 dư (−1)2 = 1, 103 dư −1, và cứ thế đan dấu. Vậy số abcd = 1000a + 100b + 10c + d có cùng số dư với −a + b − c + d, tức là d − c + b − a. Đó chính là tổng đan dấu bắt đầu từ chữ số hàng đơn vị.
Ví dụ
- 2728: từ phải sang: 8 − 2 + 7 − 2 = 11, chia hết cho 11 nên 2728 chia hết cho 11 (2728 = 11 · 248).
- 80729: 9 − 2 + 7 − 0 + 8 = 22, chia hết cho 11 nên 80729 = 11 · 7339.
- 1234: 4 − 3 + 2 − 1 = 2, không chia hết cho 11. Thật vậy 1234 = 11 · 112 + 2, số dư đúng bằng 2.
Trường hợp đặc biệt hay dùng
- Số có hai chữ số ab chia hết cho 11 ⟺ a = b (11, 22, …, 99).
- Số có ba chữ số abc chia hết cho 11 ⟺ a + c − b chia hết cho 11, tức a + c = b hoặc a + c = b + 11. Ví dụ 913: 9 + 3 = 12 = 1 + 11, nên 913 = 11 · 83.
2. Dấu hiệu chia hết cho 13
Với 13 có hai cách, em chọn cách nào thấy dễ hơn.
Cách 1: Tách nhóm ba chữ số
Ta có 1001 = 7 · 11 · 13, nên 1000 chia 13 dư −1 (và chia 11 cũng dư −1). Do đó: tách số thành các nhóm ba chữ số từ phải sang trái, lấy nhóm thứ nhất trừ nhóm thứ hai cộng nhóm thứ ba… Nếu kết quả chia hết cho 13 thì số ban đầu chia hết cho 13.
Ví dụ: 160 485 gồm hai nhóm 485 và 160. Ta có 485 − 160 = 325 = 13 · 25, chia hết cho 13. Vậy 160 485 = 13 · 12 345.
Ví dụ 2: 2 002 gồm nhóm 002 và 2: 2 − 2 = 0, chia hết cho 13. Quả thật 2002 = 13 · 154.
Mẹo: cách này cũng kiểm tra được 7 và 11, vì cả ba số đều là ước của 1001.
Cách 2: Bỏ chữ số cuối, cộng 4 lần nó
Viết n = 10a + b (b là chữ số cuối, a là phần còn lại). Khi đó 4n = 40a + 4b = 39a + (a + 4b). Vì 39a chia hết cho 13 và 4 nguyên tố cùng nhau với 13, nên n chia hết cho 13 ⟺ (a + 4b) chia hết cho 13. Lặp lại cho đến khi số đủ nhỏ để nhận ra.
- 273: 27 + 4 · 3 = 39 = 13 · 3, nên 273 = 13 · 21.
- 2119: 211 + 36 = 247; 24 + 28 = 52 = 13 · 4, nên 2119 chia hết cho 13 (2119 = 13 · 163).
- 1001: 100 + 4 = 104 = 13 · 8, nên chia hết.
3. Bảng so sánh nhanh
| Số chia | Cách kiểm tra | Cơ sở |
|---|---|---|
| 11 | Tổng đan dấu các chữ số từ phải sang | 10 ≡ −1 (mod 11) |
| 13 | Tổng đan dấu các nhóm ba chữ số | 1000 ≡ −1 (mod 13) |
| 13 | a + 4b với n = 10a + b | 4n = 39a + (a + 4b) |
4. Lỗi sai thường gặp
- Cộng tất cả các chữ số như dấu hiệu chia hết cho 9. Với 11 phải là hiệu của hai tổng, không phải tổng.
- Quên rằng kết quả 0 cũng là chia hết. Ví dụ 3674: 4 − 7 + 6 − 3 = 0, nên chia hết cho 11.
- Nhầm khi gặp kết quả âm. −11 hay −22 vẫn chia hết cho 11; chỉ cần quan tâm giá trị tuyệt đối.
- Đếm từ trái sang để tìm số dư. Chỉ để xét “có chia hết hay không” thì đếm từ đâu cũng được (kết quả chỉ đổi dấu), nhưng muốn đọc số dư thì phải bắt đầu từ hàng đơn vị.
- Tách nhóm ba chữ số từ bên trái khi dùng cách 1 cho 13: phải tách từ phải sang trái.
5. Bài luyện tập có đáp án
Bài 1. Số 3674 có chia hết cho 11 không? Số 4 905 có chia hết cho 11 không?
Đáp án: 3674: 4 − 7 + 6 − 3 = 0 nên chia hết (3674 = 11 · 334). 4905: 5 − 0 + 9 − 4 = 10, không chia hết cho 11.
Bài 2. Tìm chữ số * để số 52*8 chia hết cho 11.
Đáp án: Từ phải sang: 8 − * + 2 − 5 = 5 − *. Để chia hết cho 11 và * là chữ số từ 0 đến 9 thì 5 − * = 0, nên * = 5. Số cần tìm là 5258 = 11 · 478.
Bài 3. Chứng minh số 119 119 chia hết cho 13.
Đáp án: Hai nhóm 119 và 119: 119 − 119 = 0, chia hết cho 13. Hoặc viết 119 119 = 119 · 1001 = 119 · 7 · 11 · 13.
Bài 4. Số 1 234 567 có chia hết cho 13 không?
Đáp án: Các nhóm: 567, 234, 1. Ta có 567 − 234 + 1 = 334. Vì 13 · 25 = 325 và 334 − 325 = 9 nên 334 không chia hết cho 13. Vậy 1 234 567 không chia hết cho 13.
Gợi ý ôn tập: nhắc lại dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 rồi so sánh với 11 để thấy điểm khác: 3 và 9 dùng tổng các chữ số, còn 11 dùng hiệu hai tổng.
Câu hỏi thường gặp
Dấu hiệu chia hết cho 11 là gì?
Số tự nhiên chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí lẻ và tổng các chữ số ở vị trí chẵn (đếm từ phải sang trái) chia hết cho 11, kể cả khi hiệu bằng 0.
Số có hai chữ số nào chia hết cho 11?
Đó là các số có hai chữ số giống nhau: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, vì hiệu của hai chữ số bằng 0.
Có cách nào kiểm tra nhanh một số lớn có chia hết cho 13 không?
Có. Tách số thành các nhóm ba chữ số từ phải sang, lấy tổng đan dấu các nhóm; nếu kết quả chia hết cho 13 thì số đó chia hết cho 13. Cách này dựa trên 1001 = 7 · 11 · 13.
Vì sao dấu hiệu chia hết cho 11 dùng hiệu mà không dùng tổng như số 9?
Vì 10 chia 11 dư −1 (còn 10 chia 9 dư 1). Các luỹ thừa của 10 khi chia cho 11 có số dư đan dấu 1, −1, 1, −1… nên các chữ số cộng trừ xen kẽ nhau.