Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 96)

Đề bài. Cho hệ phương trình $\{\begin{array}{c}(m-1)x-my=3m-1\\ 2x-y=m+5\end{array}$.

Tìm m để có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho biểu thức S = x² + y² đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

$\left\{\begin{array}{l}(m-1)x-my=3m-1\\ 2x-y=m+5\end{array}\right.$

⇔ $\{\begin{array}{c}(m-1)x-m(2x-m-5)=3m-1\\ y=2x-m-5\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}(m-1)x-2mx+m^2+5m=3m-1\\ y=2x-m-5\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}(m+1)x={(m+1)}^2\left(1\right)\\ y=2x-m-5 \left(2\right)\end{array}$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất hay m ≠ −1

Khi đó từ phương trình (2) ta suy ra $x=\frac{{(m+1)}^2}{m+1}=m+1$ thay x = m + 1 vào phương trình (1) ta được y = 2(m + 1) – m – 5 = m – 3

Vậy với m ≠ −1 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (m + 1; m – 3)

Ta xét

S = x² + y²

= (m + 1)² + (m – 3)²

= m² + 2m + 1 + m² − 6m + 9

= 2m² – 4m + 10

= 2(m² – 2m + 1) + 8

= 2(m – 1)² + 8

Vì (m – 1)² ≥0; ∀m ⇒ 2(m – 1)² + 8 ≥ 8

Hay S ≥ 8; ∀m.

Dấu “=” xảy ra khi m – 1 = 0 ⇔ m = 1 (TM)

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.