Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 96)

Đề bài. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau ở O. Hai đường thẳng d₁ và d₂ cùng đi qua O và vuông góc với nhau. Đường thẳng d₁ cắt các cạnh AB và CD ở M và P. Đường thẳng d₂ cắt các cạnh BC và AD ở N và Q.

a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.

b/ Nếu ABCD là hình vuông thì tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy chứng minh.

Lời giải:

a/ Ta có ABCD là hình bình hành nên AC cắt BD tại trung điểm O mỗi đường

Nên OA = OC; OB = OD

Mà AB // CD nên $\frac{OM}{OP}=\frac{OA}{OC}=1$

Nên OM = OP hay O là trung điểm MP

Tương tự: O là trung điểm NQ

Vì d₁ vuông góc d₂ tức NQ vuông góc MP

Suy ra: NQ ⊥ MP = O là trung điểm mỗi đường

Vậy MNPQ là hình thoi

b/ Nếu ABCD là hình vuông thì AC ⊥ BD

Suy ra: $\widehat{MOB}={90}^{\circ }-\widehat{BON}=\widehat{NOC}$

Mà OB = OC; $\widehat{OBM}=\widehat{OBA}={45}^{\circ }=\widehat{OCB}=\widehat{OCN}$

Xét tam giác OBM và tam giác OCN có:

$\widehat{OBM}=\widehat{OCN}$

OB = OC

$\widehat{MOB}=\widehat{NOC}$

Nên: ∆OBM = ∆OCN (g.c.g)

Suy ra: OM = ON

Kết hợp phần a nên MNPQ là hình vuông.