Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 92)

Đề bài. Cho các số thực x, y thỏa mãn 4x² + 2xy + y² = 3.

Tìm GTLN, GTNN của P = x² + 2xy – y².

Lời giải:

Ta có: $\frac{P}{3}=\frac{x^2+2xy-y^2}{4x^2+2xy+y^2}$ (*)

Xét y = 0 thì x² = $\frac{3}{4}\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra: $\left[\begin{array}{l}P={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+2.\frac{\sqrt{3}}{2}.0-0^2=\frac{3}{4}\\ P={\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+2.\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}.\right)0-0^2=\frac{3}{4}\end{array}\right.$

Xét y khác 0, chia cả (*) cho y² ta được: $\frac{P}{3}=\frac{{\left(\frac{x}{y}\right)}^2+2\frac{x}{y}-1}{4{\left(\frac{x}{y}\right)}^2+2\frac{x}{y}+1}$

Đặt $\frac{x}{y}=a\Rightarrow \frac{P}{3}=\frac{a^2+2a-1}{4a^2+2a+1}$

* Xét $\frac{P}{3}-\left(-2\right)=\frac{a^2+2a-1}{4a^2+2a+1}+2=\frac{{\left(3a+1\right)}^2}{4a^2+2a+1}$

Vì (3a + 1)² ≥ 0 với mọi a nên $\frac{{\left(3a+1\right)}^2}{4a^2+2a+1}\ge 0$

Suy ra: $\frac{P}{3}-\left(-2\right)\ge 0\Rightarrow P\ge -6$

Vậy GTNN của P là -6 khi 3a + 1 = 0 hay a = $\frac{-1}{3}\iff \frac{x}{y}=\frac{-1}{3}\iff -3x=y$

Thay vào 4x² + 2xy + y² = 3, ta được: 7x² = 3

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{21}}{7}\\ x=-\frac{\sqrt{21}}{7}\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}y=\frac{-3\sqrt{21}}{7}\\ y=\frac{3\sqrt{21}}{7}\end{array}\right.$

Vậy GTNN của P là -6 khi (x; y) = $\left(\frac{\sqrt{21}}{7};\frac{-3\sqrt{21}}{7}\right);\left(-\frac{\sqrt{21}}{7};\frac{3\sqrt{21}}{7}\right)$

* Xét $\frac{P}{3}-\frac{1}{3}=\frac{a^2+2a-1}{4a^2+2a+1}-\frac{1}{3}=\frac{-{\left(a-2\right)}^2}{4a^2+2a+1}$

Vì –(a – 2)² ≤ 0 với mọi a nên: $\frac{-{\left(a-2\right)}^2}{4a^2+2a+1}\le 0,\forall a$

Suy ra: $\frac{P}{3}-\frac{1}{3}\le 0\Rightarrow P\le 1$

Vậy GTLN của P là 1 khi a – 2 = 0 hay a = 2.

Khi đó x = 2y

Thay vào 4x² + 2xy + y² = 3, ta được: 21y² = 3

⇔ $\left[\begin{array}{l}y=\frac{1}{\sqrt{7}}\\ y=-\frac{1}{\sqrt{7}}\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{2}{\sqrt{7}}\\ x=-\frac{2}{\sqrt{7}}\end{array}\right.$

Vậy GTLN của P là 1 khi (x; y) = $\left(\frac{2}{\sqrt{7}};\frac{1}{\sqrt{7}}\right);\left(-\frac{2}{\sqrt{7}};-\frac{1}{\sqrt{7}}\right)$.