Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 26)

A. Các phương pháp chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy (3 đường thẳng giao nhau tại một điểm) chúng ta thường dùng một trong những cách sau:

Cách 1: Chứng minh có một điểm đồng thời thuộc cả ba đường thẳng đó.

Cách 2: Chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng này nằm trên đường thẳng thứ ba.

Cách 3: Chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng thứ nhất và thứ hai trùng với giao điểm của hai đường thẳng thứ hai và thứ ba.

Cách 4: Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến, đường cao, phân giác, trung trực trong tam giác.

Cách 5: Sử dụng tính chất của đường chéo của các tứ giác đặc biệt.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi E; F; G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB; AC; BD sao cho EF cắt BC tại I; EG cắt AD tại H. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?

A. CD; EF; EG          B. CD; IG; HF          C. AB; IG; HF          D, AC; IG; BD

Lời giải

Gọi O là giao điểm của HF và IG . Ta có

- O ∈ HF mà HF ⊂ (ACD) suy ra O ∈ (ACD)

- O ∈ IG mà IG ⊂ (BCD) suy ra O ∈ (BCD)

Do đó O ∈ (ACD) ∩ (BCD)    (1)

Mà (ACD) ∩ (BCD) = CD   (2)

Từ (1) và (2), suy ra O ∈ CD.

Vậy ba đường thẳng CD; IG; HF đồng quy tại O.

Chọn B

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy điểm M . Gọi N là giao điểm của SD và mp (AMB). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Ba đường thẳng AB; CD; MN đôi một song song

B. Ba đường thẳng AB; CD; MN đôi một cắt nhau

C. Ba đường thẳng AB; CD; MN đồng quy

D. Ba đường thẳng AB; CD; MN cùng thuộc một mặt phẳng

Lời giải

- Trong mp (ABCD) gọi I là giao điểm của AD và BC

Trong mp (SBC), gọi K là giao điểm của BM và SI

Trong mp (SAD); gọi N là giao điểm của AK và SD

Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SD với mp(AMB)

- Gọi O là giao điểm của AB và CD. Ta có:

   + O ∈ AB mà AB ⊂ (AMB) suy ra O ∈ (AMB)

   + O ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) suy ra O ∈ (SCD

⇒ O ∈ (AMB) ∩ (SCD)    (1)

Mà MN = (AMB) ∩ (SCD)    (2)

Từ (1) và (2) , suy ra O ∈ MN.

Vậy ba đường thẳng AB; CD và MN đồng quy.

Chọn C

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, O là giao điềm của AC và BD. Gọi M là trug điểm của SC và AM cắt SO tại I. Chứng minh 3 đường thẳng SI ; AC; BD đồng quy.

Lời giải:

   + Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO

   + Giao tuyến của (SAC) và mp (ABCD) = AC

   + Giao tuyên của (SBD) và (ABCD) = BD.

⇒ Ba mặt phẳng (SAC); (SBD) và (ABCD) đồng quy tại 1 điểm

Mà AC cắt BD tại O nên 3 đường thẳng này đồng quy tại O

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Một mặt phẳng cắt các cạnh SA; SB; SC; SD lần lượt tại A’; B’; C’ và D’. Giả sử AD cắt BC tại E; A’D’ cắt B’C’ tại E’. Chứng minh 3 đường thẳng A’C’; B’D’; SO đồng quy?

Lời giải:

   + trong mp (A’B’C’D’); gọi K là giao điểm của A’C’ và B’D’ ta có:

⇒ K ∈ (SAC) ∩ (SBD)    (1)

   + Mà (SAC) ∩ (SBD = SO     (2)

   + Từ (1) và (2) suy ra: K ∈ SO

⇒ 3 đường thẳng A’C’; B’D’ và SO đồng quy tại K

Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh bên SA; SB;SC và SD tương ứng tại các điểm M, N, P, Q. Khẳng định nào đúng?

A. Các đường thẳng MP, NQ, SO đồng qui

B. Các đường thẳng MP, NQ, SO chéo nhau

C. Các đường thẳng MP, NQ, SO song song

D. Các đường thẳng MP, NQ, SO trùng nhau

Lời giải:

Trong mặt phẳng (MNPQ) gọi I = MP ∩ NQ

Ta sẽ chứng minh I ∈ SO

   + Dễ thấy SO = (SAC) ∩ (SBD)

Vậy MP, NQ, SO đồng qui tại I

Chọn A

Ví dụ 6: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng a. Trong (P) lấy hai điểm A, B nhưng không thuộc a và S là một điểm không thuộc (P). Các đường thẳng SA; SB cắt (Q) tương ứng tại các điểm C; D. Gọi E là giao điểm của AB và a. Khẳng định nào đúng?

A. AB; CD và a đồng qui

B. AB; CD và a chéo nhau

C. AB; CD và a song song nhau

D. AB; CD và a trùng nhau

Lời giải:

   + Trước tiên ta có vì ngược lại thì S ∈ AB ⊂ (P) ⇒ S ∈ (P) (mâu thuẫn giả thiết)

Do đó S; A và B không thẳng hàng, vì vậy ta có mặt phẳng (SAB)

Vậy AB; CD và a đồng qui tại E

Chọn A

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có AB không song song CD. Gọi M là trung điểm SC và O là giao điểm AC với BD

a) Tìm giao điểm N của SD với (MAB)

b) Chứng minh: SO; AM; BN đồng quy

Lời giải:

a) Trong mp(ABCD) gọi

Chứng tỏ ba đường thẳng SO; AM;BN đồng quy tại điểm I

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có AB ∩ CD = E, AD ∩ BC = K. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC.

a) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD)

b) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SBD)

c) Tìm giao điểm của Q của SD và (MNP)

d) Gọi H = MN ∩ PQ. Chứng minh: S; H; E thẳng hàng

e) Chứng minh: SK; QM; NP đồng quy

Lời giải:

a) Có S ∈ (SBD) ∩ (SAC)   (1)

Trong mp(ABCD) gọi I = AC ∩ BD

Từ (1) và (2) suy ra (SBD) ∩ (SAC) = SI

b) Có N ∈ (SBD) ∩ (MNP)   (3)

Trong mp(SAC) gọi

Từ (3) và (4) suy ra (SBD) ∩ (MNP) = NJ

c) Trong mp(SBD) gọi Q = SD ∩ NJ

⇒ 

d) Có SE = (SAB) ∩ (SCD)

Theo giả thuyết có H = MN ∩ PQ

⇒ 

Hay H ∈ SE nên 3 điểm S, H, E thẳng hàng

e) Có SK = (SAD) ∩ (SBC)

Theo giả thuyết có R = MQ ∩ NP

⇒ 

Hay R ∈ SK nên ba đường thẳng SK, MQ, NP đồng quy tại điểm R