Cách chứng minh đồng quy: 5 phương pháp, có ví dụ

Trả lời nhanh

Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, em có thể dùng một trong các cách sau: (1) nhận ra đó là ba đường đặc biệt của một tam giác (trung tuyến, phân giác, đường cao, trung trực); (2) gọi giao điểm của hai đường rồi chứng minh nó thuộc đường thứ ba; (3) dùng định lí Ceva đảo; (4) dùng phương trình đường thẳng trong hệ toạ độ.

1. Đồng quy là gì?

Ba (hay nhiều) đường thẳng được gọi là đồng quy nếu chúng cùng đi qua một điểm. Điểm chung đó gọi là điểm đồng quy. Đừng nhầm với thẳng hàng: thẳng hàng nói về các điểm nằm trên một đường thẳng, còn đồng quy nói về các đường thẳng cùng đi qua một điểm.

2. Phương pháp 1: dùng định lí đồng quy trong tam giác

Ba đường	Điểm đồng quy	Tính chất cần nhớ
Ba trung tuyến	Trọng tâm G	G cách mỗi đỉnh bằng 2/3 độ dài trung tuyến tương ứng
Ba đường phân giác	Tâm đường tròn nội tiếp I	I cách đều ba cạnh
Ba đường trung trực	Tâm đường tròn ngoại tiếp O	O cách đều ba đỉnh
Ba đường cao	Trực tâm H	Có thể chứng minh bằng cách đưa về ba trung trực

Cách dùng: tìm một tam giác mà ba đường cần chứng minh chính là ba đường đặc biệt của nó. Nếu chưa thấy, hãy vẽ thêm đường phụ để tạo ra tam giác đó.

Ba đường trung tuyến của tam giác ABC đồng quy tại trọng tâm G, cách chứng minh đồng quy — Hình 1. Ba đường trung tuyến AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại trọng tâm G.

Ví dụ 1. Chứng minh ba đường cao của tam giác ABC đồng quy.

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, qua B kẻ song song với CA, qua C kẻ song song với AB. Ba đường này cắt nhau tạo thành tam giác A’B’C’.
Khi đó A, B, C là trung điểm các cạnh của tam giác A’B’C’ (vì các tứ giác tạo thành đều là hình bình hành).
Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC vuông góc với BC, mà B’C’ ∥ BC, nên nó vuông góc với B’C’ tại trung điểm A. Vậy nó là trung trực của B’C’. Tương tự cho hai đường cao còn lại.
Ba đường trung trực của tam giác A’B’C’ đồng quy, nên ba đường cao của tam giác ABC đồng quy tại trực tâm H.

3. Phương pháp 2: gọi giao điểm rồi chứng minh thuộc đường thứ ba

Đây là cách linh hoạt nhất. Các bước: gọi O là giao điểm của hai đường thẳng; chứng minh O thuộc đường thẳng thứ ba (thường bằng tính chất trung điểm, tính chất song song hoặc ba điểm thẳng hàng).

Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm AB, P là trung điểm CD. Chứng minh AC, BD và MP đồng quy.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và của BD.
Ta có AM = ½AB và PC = ½CD = ½AB, đồng thời AM ∥ PC. Suy ra tứ giác AMCP là hình bình hành.
Hai đường chéo AC và MP của hình bình hành AMCP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Trung điểm của AC là O, nên O thuộc MP.
Vậy AC, BD, MP cùng đi qua O, tức là đồng quy.

4. Phương pháp 3: định lí Ceva đảo

Cho tam giác ABC, các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB. Nếu (AF/FB)·(BD/DC)·(CE/EA) = 1 thì AD, BE, CF đồng quy.

Ví dụ 3. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Chứng minh AD, BE, CF đồng quy.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: AF = AE = x, BF = BD = y, CD = CE = z.
Khi đó (AF/FB)·(BD/DC)·(CE/EA) = (x/y)·(y/z)·(z/x) = 1.
Theo định lí Ceva đảo, ba đường AD, BE, CF đồng quy (tại điểm Gergonne).

5. Phương pháp 4: dùng toạ độ và phương trình đường thẳng

Ví dụ 4. Chứng minh d₁: x + y − 3 = 0, d₂: 2x − y = 0 và d₃: 3x − y − 1 = 0 đồng quy.

Giải hệ d₁, d₂: cộng hai phương trình được 3x = 3, nên x = 1 và y = 2. Giao điểm là (1; 2).
Thay vào d₃: 3·1 − 2 − 1 = 0, đúng. Vậy ba đường đồng quy tại (1; 2).

Bài toán tìm tham số: với d₃: mx + y − 5 = 0 cùng d₁, d₂ ở trên, đồng quy khi điểm (1; 2) thoả d₃, tức m + 2 − 5 = 0, nên m = 3.

6. Phương pháp 5: trục đẳng phương (nâng cao)

Với ba đường tròn có tâm không thẳng hàng, ba trục đẳng phương (đôi một) đồng quy tại tâm đẳng phương. Khi ba đường tròn đôi một cắt nhau, trục đẳng phương chính là đường thẳng đi qua hai giao điểm. Cách này thường dùng trong các bài hình học thi học sinh giỏi.

7. Chọn phương pháp nào?

Thấy trung tuyến, phân giác, đường cao hay trung trực: dùng phương pháp 1.
Có nhiều trung điểm, hình bình hành: dùng phương pháp 2.
Có các điểm chia cạnh theo tỉ số: dùng định lí Ceva.
Bài cho phương trình hoặc toạ độ điểm: dùng phương pháp toạ độ.

8. Lỗi sai thường gặp

Gọi giao điểm của hai đường nhưng chưa chứng minh chúng cắt nhau (có thể song song).
Áp dụng định lí Ceva mà các điểm D, E, F không nằm trên các cạnh; khi có điểm nằm trên phần kéo dài thì phải xét thêm điều kiện về số điểm nằm ngoài.
Nhầm giữa chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường đồng quy.

9. Luyện tập

Chứng minh trong tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao, trung tuyến, phân giác kẻ từ A trùng nhau nên đồng quy. Gợi ý: dùng tính chất tam giác cân, tam giác ABD = ACD với D là trung điểm BC.
Cho d₁: x − y + 1 = 0, d₂: x + y − 3 = 0, d₃: mx − y = 0. Tìm m để ba đường đồng quy. Đáp án: giao d₁, d₂ là (1; 2); thay vào d₃ được m = 2.
Tam giác ABC có D, E, F là trung điểm ba cạnh. Chứng minh AD, BE, CF đồng quy. Gợi ý: đây là ba trung tuyến, hoặc dùng Ceva với các tỉ số đều bằng 1.

Câu hỏi thường gặp

Ba đường thẳng đồng quy nghĩa là gì?

Là ba đường thẳng cùng đi qua một điểm. Điểm chung đó gọi là điểm đồng quy.

Cách chứng minh đồng quy đơn giản nhất là gì?

Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng, rồi chứng minh O nằm trên đường thẳng thứ ba. Cách này dùng được cho hầu hết bài toán lớp 7 – 9.

Khi nào dùng định lí Ceva?

Khi đề cho ba đường nối đỉnh với một điểm trên cạnh đối diện, và biết các tỉ số chia cạnh. Nếu tích ba tỉ số bằng 1 thì ba đường đồng quy.

Đồng quy khác thẳng hàng ở điểm nào?

Đồng quy nói về các đường thẳng cùng đi qua một điểm, còn thẳng hàng nói về các điểm cùng nằm trên một đường thẳng.