Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Bài 25: Cho $\Delta$ ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng của H qua các cạnh AB, AC.

a) Chứng minh A, E, D thẳng hàng và BCED là hình thang.

b) Chứng minh $\text{BD . CE = }\frac{{\text{DE}}^{\text{2}}}{\text{4}}$ .

c) Cho biết AB = 3cm, AC = 4cm. Tính DE và diện tích $\Delta$ DHE.

Lời giải:

a) Do D đối xứng với H qua đoạn AB nên $\Delta ADH$ cân tại A 

$\Delta ADH$ có AB là đường cao đồng thời là phân giác 

$\Rightarrow \widehat{\text{DAB}}\text{ = }\widehat{\text{HAB}}$

Tương tự với $\Delta AHE\Rightarrow \widehat{\text{HAC}}\text{ = }\widehat{\text{EAC}}$

Ta có : 

$$\begin{gathered} \widehat{\text{DAE}}\text{ = }\left(\widehat{\text{DAH}}\right)\text{ + }\left(\widehat{\text{HAE}}\right)\text{ = 2.}\left(\widehat{\text{BAH}}\right)\text{ + 2.}\left(\widehat{\text{HAC}}\right) \\ \text{= 2.}\left(\widehat{\text{BAH}}\text{ + }\widehat{\text{HAC}}\right)\text{ = 2.90 = 180} \end{gathered}$$

$\Rightarrow$D, A, E thẳng hàng 

Nhận thấy 

$\Delta AHC$ đối xứng với $\Delta AEC$ qua đoạn thẳng AC $\Rightarrow \widehat{\text{AHC}}\text{ = }\widehat{\text{AEC}}{\text{ = 90}}^0$ (1)

Tương tự , ta cũng có : $\widehat{\text{BHA}}\text{ = }\widehat{\text{BDA}}{\text{ = 90}}^{\text{0 }}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$  BD // EC (do 2 góc trong cùng phía bù nhau)

b) Ta có : $\Delta BHA$ đồng dạng với $\Delta AHC$

Suy ra tỷ lệ $\frac{\text{BH}}{\text{AH}}\text{ = }\frac{\text{AH}}{\text{HC}}\iff {\text{AH}}^{\text{2}}\text{ = BH . HC}$

Mà BH = BD , HC = CE

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\text{AH}}^{\text{2}}\text{ = BD . CE} \\ \iff {\text{4AH}}^{\text{2}}\text{ = 4BD . CE} \end{gathered}$$

$\iff {\left(\text{2AH}\right)}^{\text{2}}\text{ = 4BD . CE}$ (Do AD = AH = AE)

$\iff {\text{DE}}^{\text{2}}\text{ = 4BD . CE}$.

c) Ta có: AD = AH (tính chất đối xứng), AH = AE (tính chất đối xứng)

Suy ra AD = AE mà A, D, E thẳng hàng nên A là trung điểm của DE.

Xét tam giác vuông ABC, vuông tại A, có:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}=\frac{25}{144}\Rightarrow AH=\frac{12}{5}$

$\Rightarrow AD=AE=AH=\frac{12}{5}$

⇒ DE = $\frac{24}{5}$  cm.

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

$$\begin{gathered} \tan \widehat{ABC}=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3}\Rightarrow \sin \widehat{ABC}=\frac{4}{5} \\ \Rightarrow \sin \widehat{ADH}=\frac{4}{5} \end{gathered}$$

Xét tam giác DHE vuông tại H, có:

$\sin \widehat{ADH}=\frac{EH}{ED}=\frac{EH}{\frac{24}{5}}=\frac{4}{5}\Rightarrow EH=\frac{96}{25}\Rightarrow DH=\frac{72}{25}$

Vậy diện tích tam giác DEH là: $\frac{1}{2}DH.EH=\frac{1}{2}.\frac{96}{25}.\frac{72}{25}\approx \mathrm{5,5}$  (đvdt).