Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, tia phân giác của góc B và góc C cắt AC và AB lần lượt tại E và D

Bài 15: Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại A, tia phân giác của góc B và góc C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.

a) Chứng minh BE = CD, AD = AE.

b) Gọi I là giao điểm của BE và CD, AI cắt BC tại M. Chứng minh vuông cân.

c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE. Các đường này cắt BC tại K và H. Chứng minh HK = KC.

Lời giải:

a) Do tam giác ABC vuông cân nên $\widehat{\text{ABC}}\text{ =}\widehat{\text{ ACB}}\Rightarrow \widehat{\text{ABE}}\text{ = }\widehat{\text{ACD}}$

Xét tam giác vuông ABE và tam giác vuông ACD có:

AB = AC (gt)

$\widehat{\text{ABE}}\text{ = }\widehat{\text{ACD}}$

$\Rightarrow \text{ΔABE = ΔACD}$ (Cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

$\Rightarrow$ BE = CD; AE = AD

b) I là giao điểm của hai tia phân giác góc B và góc C của nên AI cũng là phân giác góc A.

Do $\Delta ABC$  cân tại A nên AI là phân giác đồng thời là đường cao và trung tuyến.

Vậy thì $\widehat{\text{AMC}}{\text{ = 90}}^{\text{o}}\text{; BM = MC = AM}$

Từ đó suy ra $\Delta AMC$ vuông cân tại M.

c) Gọi giao điểm của DH, AK với BE lần lượt là J và G.

Do DH và AK cùng vuông góc với BE nên ta có

$\text{ΔBDJ = ΔBHJ; ΔBAG = ΔBKG}\Rightarrow \text{BD = BH; BA = BK}$

$\Rightarrow HK=AD$

Mà AD = AE nên HK = AE.    (1)

Do $\Delta BAK$ cân tại B, có ${}^{\text{o}}\Rightarrow \widehat{\text{BAK}}\text{ = }\frac{{\text{180}}^{\text{o}}{\text{ - 45}}^{\text{o}}}{\text{2}}{\text{ = 67,5}}^{\text{o}}$

$\Rightarrow \widehat{\text{GAE}}{\text{ = 90}}^{\text{o}}{\text{ - 67,5}}^{\text{o}}{\text{ = 22,5}}^{\text{o}}\text{ = }\frac{\widehat{\text{IAE}}}{\text{2}}$

Suy ra AG là phân giác góc IAE.

Từ đó ta có $\widehat{\text{KAC}}\text{ = }\widehat{\text{ICA}}\left({\text{ = 22,5}}^{\text{o}}\right)$

$\Rightarrow \text{ΔAKC = ΔCIA}\left(\text{g - c - g}\right)\Rightarrow \text{KC = IA}$

Lại có $\Delta AIE$ có AG là phân giác đồng thời đường cao nên nó là tam giác cân, hay AI = AE. Suy ra KC = AE  (2)

Từ (1) và (2) suy ra HK = KC.