Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB, CD

Bài 20: Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB, CD.

a) Chứng minh góc AMN = 90°

b) A, M, N, D cùng thuộc 1 đường tròn

c) So sánh AN với MD

Lời giải:

a) Kẻ NH vuông góc với DO

Ta có ABCD là hình vuông $\Rightarrow AC\perp BD$

Mà N là trung điểm DC, $NH\perp DO\Rightarrow NH//OC$

Suy ra NH là đường trung bình

Mà M là trung điểm OB (gt)

Suy ra H là trung điểm OD, $NH=\frac{1}{2}OC=OM$

Suy ra HM = OA

Xét tam giác OMA và tam giác HNM có:

$\widehat{H}=\widehat{O}=90°$

NH = MO

HM = OA

$\Rightarrow \Delta OMA=\Delta HNM\left(c.g.c\right)$

$\Rightarrow \widehat{OAM}=\widehat{HMN}$

$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{AMO}+\widehat{HMN}=\widehat{AMO}+\widehat{OAM}=90°$ (đpcm).

b) Gọi I là trung điểm của AN

Tam giác AMN vuông tại M $\Rightarrow MI=\frac{1}{2}AN=AI$

Tam giác ADN vuông tại D $\Rightarrow DI=\frac{1}{2}AN=AI$

Suy ra IA = IM = IN = ID

Suy ra 4 điểm A, M, N, D cùng thuộc đường tròn tâm I, bán kính IA.

c) Xét đường tròn ngoài tiếp tứ giác AMND có AN là dường kính và DM là dây nên AN > DM.