Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Cho A = 1 + 4 + 4² + 4³ +...+ 4¹¹. Chứng tỏ rằng A chia hết cho 21

Bài 53: Cho A = 1 + 4 + 4² + 4³ +...+ 4¹¹. Chứng tỏ rằng:

a) A chia hết cho 21;

b) A chia hết cho 105;

c) A chia hết cho 4097.

Lời giải:

a) A=1 + 4 + 4² + 4³ + ... +4¹¹

= (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + (4⁶ + 4⁷ + 4⁸) + (4⁹ + 4¹⁰ + 4¹¹)

= (1 + 4 + 4²) + (4³.1 + 4³.4 + 4³.4²) + (4⁶.1 + 4⁶.4 + 4⁶.4²) + (4⁹.1 + 4⁹.4 + 4⁹.4²)

= (1 + 4 + 4²).1 + 4³.(1 + 4 + 4²) + 4⁶.(1 + 4 + 4²) + 4⁹.(1 + 4 + 4²)

= 21.1 + 4³.21 + 4⁶.21 + 4⁹.21

= 21.(1 + 4³ + 4⁶ + 4⁹)

Suy ra A chia hết cho 21.

b) A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4¹¹

= (1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵) + (4⁶ + 4⁷ + 4⁸ + 4⁹ + 4¹⁰ + 4¹¹)

= (1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵) + (4⁶.1 + 4⁶.4 + 4⁶.4² + 4⁶.4³ + 4⁶.4⁴ + 4⁶.4⁵)

= (1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵).1 + 4⁶.(1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵)

= 1365.1 + 4⁶.1365

= 1365.1 + 4⁶.1365

= 1365.(1 + 4⁶)

Suy ra 1365 chia hết cho 105 nên A chia hết cho 105.