Cho biểu thức P= (x^2+1)/(x^2-2x+1): [(x+1)/x - 1/(1-x) + (2-x^2/x^2-x)]

Cho biểu thức P= (x^2+1)/(x^2-2x+1): [(x+1)/x - 1/(1-x) + (2-x^2/x^2-x)]

Trịnh Thị Thu Hiền Ngày: 18-05-2023 Tổng hợp kiến thức

330

Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 9)

Câu 30: Cho biểu thức $P = \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 2 x + 1} : (\frac{x + 1}{x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{2 - x^{2}}{x^{2} - x})$ .

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để P < 1.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 2.

Lời giải:

a) $P = \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 2 x + 1} : (\frac{x + 1}{x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{2 - x^{2}}{x^{2} - x})$

$= \frac{x (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} : [\frac{x + 1}{x} + \frac{1}{x - 1} + \frac{2 - x^{2}}{x (x - 1)}] = \frac{x (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} : [\frac{(x + 1) (x - 1) + x + 2 - x^{2}}{x (x - 1)}] = \frac{x (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} : \frac{x + 1}{x (x - 1)} = \frac{x (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} . \frac{x (x - 1)}{x + 1} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

b) Ta có $P < 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x - 1} < 1$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x - 1} - 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1} < 0$

$\Leftrightarrow \frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}}{x - 1} < 0 \Leftrightarrow x - 1 < 0$ (vì ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0, \forall x \in ℝ$ ).

⇔ x < 1.

Vậy x < 1 thì P < 1.

c) Vì x > 2 nên x – 2 > 0.

Do đó x – 1 > x – 2 > 0.

Ta có $P = \frac{x^{2}}{x - 1} = \frac{x^{2} - 1 + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1} = x - 1 + \frac{1}{x - 1} + 2$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$x - 1 + \frac{1}{x - 1} \geq 2 \sqrt{\frac{x - 1}{x - 1}} = 2 \sqrt{1} = 2, \forall x > 2$ .

$\Leftrightarrow x - 1 + \frac{1}{x - 1} + 2 \geq 2 + 2 = 4$ .

⇔ P ≥ 4.

Dấu “=” xảy ra ⇔ (x – 1)² = 1 ⇔ x – 1 = 1 hoặc x – 1 = –1.

⇔ x = 2 (loại vì x > 2) hoặc x = 0 (loại vì x > 2).

Vậy P không có giá trị nhỏ nhất khi x > 2.

Xem thêm các bài tập thường gặp môn Toán hay, chọn lọc khác:

Câu 1: Giải phương trình: $\sqrt{x^{3} + 1} = x^{2} - 3 x - 1$ .....

Câu 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I la trung điểm AM va K là điểm thuộc AC sao cho $A K = \frac{1}{3} A C$ . Chứng minh B, I, K thẳng hàng....

Câu 3: Chữ số tận cùng của kết quả $2^{64}$ ...

Câu 4: Cho phương trình x² – 4x – m² – 1 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ sao cho biểu thức x₂ = –5x₁....

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; –1) và B(3; 2). Tìm M thuộc trục tung sao cho $M A^{2} + M B^{2}$ nhỏ nhất....

Câu 6: Giải phương trình: $\frac{4 x}{x^{2} + x + 3} + \frac{5 x}{x^{2} - 5 x + 3} = - \frac{3}{2}$ ......

Câu 7: Cho các chữ số 1, 2, 5, 7, 8. Có bao nhiêu cách lập ra một số gồm ba chữ số khác nhau từ 5 số trên sao cho:...

Câu 8: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Chứng minh $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ...

Câu 9: Giải phương trình sinx = cos3x...

Câu 10: Số cách chia 12 phần quà cho 3 bạn sao cho ai cũng có ít nhất 2 phần quà ?...

Câu 11: Một trang trại cần thuê xe vận chuyển 450 con lợn và 35 tấn cám. Nơi cho thuê xe chỉ có 12 xe lớn và 10 xe nhỏ. Một chiếc xe lớn có thể chở 50 con lợn và 5 tấn cám. Tiền thuê một xe lớn là 4 triệu đồng, một xe nhỏ là 2 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thuê xe là thấp nhất ?...

Câu 12: Hãy rút gọn phân thức: $\frac{8 x - 4}{8 x^{3} - 1}$ ....

Câu 13: Giải phương trình sau: $\frac{c o s 4 x - 6 \sin^{2} x + 2}{2 \sin x - 1}$ ...

Câu 14: Tính nhanh: (317 + 49) – 117...

Câu 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: x⁴ + 2x³ – 4x – 4....

Câu 16: Cho hàm số bậc nhất y = (m – 1)x + m + 1 (1)..

Câu 17: Giải phương trình lượng giác: cos2x – cosx + 1 = 0..

Câu 18: Giải phương trình: cos2x + cosx + 1 = 0..

Câu 19: Cho x, y ∈ ℕ*. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = |36^x – 5^y|...

Câu 20: Tìm x, biết 35 chia hết cho x....

Câu 21: Tìm x, biết: ${(\frac{4}{5})}^{2 x + 5} = \frac{256}{625}$ ..

Câu 22: Giải phương trình: $\sin^{2} x - 3 \sin x . \cos x + 1 = 0$ ....

Câu 23: Cho A = (5; 7] và B = [m; m+3). Tìm m để:...

Câu 24: Cho hai tập hợp A = [1; 3] và B = [m; m + 1]. Tìm m để B là tập con của A....

Câu 25: Biết rằng parabol (P): y = ax² + bx + c (a ≠ 0) đi qua hai điểm A(0; –3), B(2; 1) và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt M, N thỏa mãn MN = 2. Tính giá trị biểu thức a² – b²....

Đánh giá

0

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Tổng hợp kiến thức

Biết a - b chia hết cho 6 chứng minh rằng các biểu thức sau cũng chia hết cho 6

Biết a - b chia hết cho 6 chứng minh rằng các biểu thức sau cũng chia hết cho 6 Lữ Ngọc My My

165

Toán Tổng hợp kiến thức

Tìm các tập hợp Ư(8); Ư(12); Ư(15)

Tìm các tập hợp Ư(8); Ư(12); Ư(15) Lữ Ngọc My My

141

Toán Tổng hợp kiến thức

Tìm BCNN của 84 và 108

Tìm BCNN của 84 và 108 Lữ Ngọc My My

115

Toán Tổng hợp kiến thức

Cho biết cos∝ = 12/13 giá trị của tan ∝ là

Cho biết cos∝ = 12/13 giá trị của tan ∝ là Lữ Ngọc My My

110

Tìm kiếm

tailieugiaovien.com.vn

Bài Viết Xem Nhiều

CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK

- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền

- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.

© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.