Trả lời nhanh
Với mọi x mà cos x ≠ 0, ta có 1 + tan2x = 1/cos2x. Cách ngắn nhất: viết tan x = sin x / cos x, quy đồng được (cos2x + sin2x) / cos2x, rồi dùng sin2x + cos2x = 1 để ra 1/cos2x. Đây là hệ thức quan trọng đi liền với hệ thức cơ bản của lượng giác.
Điều kiện của đẳng thức
Trước khi chứng minh, em cần để ý: tan x chỉ có nghĩa khi cos x ≠ 0, tức là x ≠ π/2 + kπ (k ∈ ℤ). Vế phải 1/cos2x cũng cần cos x ≠ 0. Vì vậy đẳng thức đúng trên tập xác định chung của hai vế, và khi viết bài em nên ghi rõ điều kiện này ở dòng đầu tiên.
Cách 1: Biến đổi đại số từ tan x = sin x / cos x
Đây là cách thường dùng nhất trong bài kiểm tra. Ta biến đổi vế trái:
- 1 + tan2x = 1 + sin2x / cos2x.
- Quy đồng mẫu số: = (cos2x + sin2x) / cos2x.
- Áp dụng sin2x + cos2x = 1: = 1 / cos2x.
Kết luận: vế trái bằng vế phải với mọi x thoả cos x ≠ 0. Phép chứng minh chỉ có ba dòng nhưng mỗi dòng đều có lí do, em đừng bỏ qua dòng nào khi trình bày.
Cách 2: Dùng tam giác vuông
Cách này giúp em thấy hệ thức bằng hình ảnh. Xét tam giác ABC vuông tại B, góc nhọn tại A bằng x. Chọn đơn vị sao cho cạnh kề AB = 1.
Khi đó BC = AB·tan x = tan x. Theo định lí Pi-ta-go, AC2 = AB2 + BC2 = 1 + tan2x. Mặt khác, cos x = AB / AC = 1/AC nên AC = 1/cos x và AC2 = 1/cos2x. So sánh hai biểu thức của AC2 ta được 1 + tan2x = 1/cos2x. Cách này chỉ áp dụng trực tiếp cho góc nhọn, nhưng nó cho em thấy hệ thức chính là định lí Pi-ta-go được viết bằng ngôn ngữ lượng giác.
Cách 3: Chia hai vế của sin²x + cos²x = 1
Xuất phát từ hệ thức cơ bản sin2x + cos2x = 1. Với cos x ≠ 0, chia cả hai vế cho cos2x:
- sin2x / cos2x + cos2x / cos2x = 1 / cos2x.
- Hay tan2x + 1 = 1 / cos2x.
Tương tự, nếu sin x ≠ 0 và chia hai vế cho sin2x, em sẽ có hệ thức đi kèm: 1 + cot2x = 1/sin2x. Hai hệ thức này thường được học song song nên em nên nhớ cả cặp.
Mẹo nhớ và lỗi sai thường gặp
- Mẹo nhớ: tan đi với cos ở mẫu, cot đi với sin ở mẫu. Chữ “1 +” luôn đứng cạnh bình phương của tan hoặc cot.
- Lỗi 1: viết 1 + tan x = 1/cos x. Hệ thức chỉ đúng với các bình phương, không có dạng mũ một.
- Lỗi 2: viết 1/cos2x = sec x mà quên bình phương. Đúng phải là 1/cos2x = (1/cos x)2.
- Lỗi 3: quên điều kiện cos x ≠ 0 nên tính tan x tại x = π/2 hoặc các điểm tương tự.
Ví dụ vận dụng
Ví dụ 1. Cho cos x = 3/5 với 0 < x < π/2. Tính tan x.
Ta có 1 + tan2x = 1/cos2x = 25/9, suy ra tan2x = 16/9. Vì x nằm trong góc phần tư thứ nhất nên tan x > 0, do đó tan x = 4/3.
Ví dụ 2. Rút gọn A = (1 − sin2x)(1 + tan2x).
Vì 1 − sin2x = cos2x và 1 + tan2x = 1/cos2x nên A = cos2x · 1/cos2x = 1.
Ví dụ 3. Chứng minh tan2x − sin2x = tan2x · sin2x.
Ta có tan2x − sin2x = sin2x (1/cos2x − 1) = sin2x · (1 − cos2x)/cos2x = sin2x · sin2x/cos2x = sin2x · tan2x.
Bài luyện tập có đáp án
- Cho tan x = 2 với 0 < x < π/2. Tính cos x. Đáp án: 1/cos2x = 1 + 4 = 5 nên cos2x = 1/5, cos x = √5/5 (vì cos x > 0).
- Chứng minh 1/cos2x − tan2x = 1. Đáp án: chuyển vế từ hệ thức đã chứng minh, 1/cos2x − tan2x = (1 + tan2x) − tan2x = 1.
- Rút gọn B = (1 + cot2x)·sin2x. Đáp án: vì 1 + cot2x = 1/sin2x nên B = 1.
Làm xong ba bài này, em đã nắm chắc cả ba hướng dùng hệ thức: tính một giá trị lượng giác từ giá trị khác, rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức.
Câu hỏi thường gặp
Điều kiện để 1 + tan²x = 1/cos²x có nghĩa là gì?
Cần cos x ≠ 0, tức x ≠ π/2 + kπ với k là số nguyên. Tại các điểm này tan x và 1/cos²x đều không xác định.
Hệ thức này có đúng với mọi góc, kể cả góc tù không?
Có. Cách chứng minh đại số dùng sin²x + cos²x = 1 đúng với mọi x thoả cos x ≠ 0, không chỉ riêng góc nhọn.
1 + cot²x bằng bao nhiêu?
1 + cot²x = 1/sin²x, với điều kiện sin x ≠ 0. Hệ thức này được chứng minh tương tự bằng cách chia hai vế của sin²x + cos²x = 1 cho sin²x.
Hệ thức này dùng để làm gì?
Dùng để tính cos x khi biết tan x (hoặc ngược lại), rút gọn biểu thức lượng giác và chứng minh các đẳng thức khác.