Giải phương trình lượng giác 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx

Đề bài ở đây được hiểu là: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx. Đây là dạng phương trình lượng giác quen thuộc trong ôn thi, từng gặp trong đề tuyển sinh đại học khối D năm 2008. Ta cùng giải từng bước.

Nhận xét hướng giải

• Vế trái có 1 + cos2x, nghĩ ngay đến công thức hạ bậc: 1 + cos2x = 2cos²x.
• Có sin2x = 2sinx·cosx, nên mọi số hạng đều quy về sinx và cosx.
• Vế phải 1 + 2cosx gợi ý nhân tử chung (2cosx + 1). Ta thử đưa vế trái về dạng có nhân tử này.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Biến đổi vế trái.

2sinx(1 + cos2x) = 2sinx·2cos²x = 4sinx·cos²x.

sin2x = 2sinx·cosx.

Phương trình trở thành: 4sinx·cos²x + 2sinx·cosx = 1 + 2cosx.

Bước 2: Đặt nhân tử chung.

Ở vế trái, đưa 2sinx·cosx ra ngoài: 2sinx·cosx·(2cosx + 1) = 2cosx + 1.

Chuyển vế: (2cosx + 1)(2sinx·cosx − 1) = 0, tức là (2cosx + 1)(sin2x − 1) = 0.

Bước 3: Giải hai phương trình thành phần.

• 2cosx + 1 = 0 ⇔ cosx = −1/2 ⇔ x = ±2π/3 + k2π.
• sin2x − 1 = 0 ⇔ sin2x = 1 ⇔ 2x = π/2 + k2π ⇔ x = π/4 + kπ.

Kết luận: tập nghiệm là x = ±2π/3 + k2π và x = π/4 + kπ, với k ∈ ℤ.

Thử lại nghiệm

Dù phép biến đổi là tương đương, thử nhanh vẫn giúp phát hiện sai sót.

• x = π/4: sinx = cosx = √2/2, cos2x = 0, sin2x = 1. Vế trái = 2·(√2/2)·1 + 1 = √2 + 1. Vế phải = 1 + 2·(√2/2) = 1 + √2. Hai vế bằng nhau.
• x = 2π/3: sinx = √3/2, cosx = −1/2, 2x = 4π/3 nên cos2x = −1/2, sin2x = −√3/2. Vế trái = √3·(1 − 1/2) − √3/2 = 0. Vế phải = 1 + 2·(−1/2) = 0. Thoả mãn.

Lỗi sai thường gặp

• Chia hai vế cho (2cosx + 1): làm mất nghiệm cosx = −1/2. Luôn chuyển vế rồi phân tích thành tích.
• Nhầm công thức: 1 + cos2x = 2cos²x, còn 1 − cos2x = 2sin²x. Nhầm hai công thức này sẽ không ra nhân tử chung.
• Quên chu kì: sin2x = 1 cho nghiệm x = π/4 + kπ (chu kì π), không phải k2π.
• Viết thiếu dấu ± ở nghiệm của cosx = −1/2.

Mẹo nhớ

Khi thấy 1 ± cos2x hoặc 1 ± cosx trong phương trình, hãy hạ bậc trước. Sau đó so sánh vế trái với vế phải để tìm nhân tử chung, vì đề thi thường được thiết kế để phân tích thành tích.

Bài luyện tập

1. Giải phương trình: 2cosx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2sinx.
   
   Gợi ý – đáp án: đưa về 4cos³x… hãy làm theo cách tương tự bài trên rồi đối chiếu. Cụ thể 2cosx·2cos²x + 2sinx·cosx = 1 + 2sinx khó nhóm; nên chọn bài 2 để luyện chắc tay hơn.
2. Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 2sinx·cosx·… — nên thay bằng: (2cosx + 1)(sin2x − 1) = 0 ở dạng đã cho thì nghiệm là gì?
   
   Đáp án: x = ±2π/3 + k2π, x = π/4 + kπ.
3. Tìm số nghiệm của phương trình đề bài trong khoảng (0; π).
   
   Đáp án: trong (0; π), x = 2π/3 (từ cosx = −1/2) và x = π/4 (từ sin2x = 1). Vậy có 2 nghiệm.

Câu hỏi thường gặp

Công thức nào giúp giải phương trình 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx?

Công thức hạ bậc 1 + cos2x = 2cos²x và công thức nhân đôi sin2x = 2sinx·cosx. Nhờ đó phương trình đưa được về dạng tích (2cosx + 1)(sin2x − 1) = 0.

Nghiệm của phương trình 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx là gì?

x = ±2π/3 + k2π và x = π/4 + kπ, với k thuộc tập số nguyên.

Vì sao không nên chia hai vế cho 2cosx + 1?

Vì 2cosx + 1 có thể bằng 0. Chia hai vế sẽ làm mất nghiệm cosx = −1/2, nên cần chuyển vế và phân tích thành tích.

Bài học liên quan

• Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp trực tiếp
• Tính đạo hàm của hàm số y = log x: công thức và ví dụ
• Kiểm tra sản phẩm của một nhà máy, trung bình cứ 100 sản phẩm có phế phẩm: cách giải
• Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định: cách làm và ví dụ
• Tập xác định của hàm số y = tan x + cos x: cách giải và lỗi sai
• Tập xác định của hàm số y = sinx là gì? Cách chọn khẳng định sai