Trả lời nhanh
Sin5x+2cos^2x=1. Phương trình sin5x + 2cos2x = 1 tương đương sin5x = −cos2x. Nghiệm là x = −π/14 + 2kπ/7 hoặc x = −π/6 + 2kπ/3, với k ∈ ℤ. Viết cách khác vẫn đúng: x = 3π/14 + 2kπ/7 hoặc x = π/2 + 2kπ/3. Một số lời giải ghi họ x = π/6 + 2kπ/3; họ đó không thỏa, vì thay x = π/6 được vế trái bằng 2.
Đưa phương trình về một sin
Xuất phát từ sin5x + 2cos2x = 1. Chuyển 2cos2x sang vế kia:
sin5x = 1 − 2cos2x.
Công thức góc đôi cho cos2x = 2cos2x − 1, nên 1 − 2cos2x = −(2cos2x − 1) = −cos2x. Cũng có thể viết 2cos2x = 1 + cos2x rồi thế thẳng vào phương trình gốc:
sin5x + 1 + cos2x = 1 ⇔ sin5x + cos2x = 0 ⇔ sin5x = −cos2x.
Hai con đường cho cùng một phương trình. Bước này là tương đương, không làm mất nghiệm và không thêm nghiệm.
Để dùng điều kiện sin A = sin B, cần viết −cos2x thành một sin. Công thức sin(t − π/2) = −cos t. Chọn t = 2x:
−cos2x = sin(2x − π/2).
Vậy sin5x = sin(2x − π/2). Đây là chỗ dễ đổi dấu. Nếu viết nhầm −cos2x = sin(π/2 + 2x) thì vế phải lại bằng cos2x, tức là đang giải sin5x = cos2x, một phương trình khác.
Giải sin A = sin B và thu hai họ
Với A = 5x và B = 2x − π/2, điều kiện sin A = sin B cho hai trường hợp, k ∈ ℤ:
- 5x = (2x − π/2) + 2kπ
- 5x = π − (2x − π/2) + 2kπ
Họ thứ nhất. 5x = 2x − π/2 + 2kπ ⇔ 3x = −π/2 + 2kπ ⇔ x = −π/6 + 2kπ/3.
Họ thứ hai. 5x = π − 2x + π/2 + 2kπ = 3π/2 − 2x + 2kπ ⇔ 7x = 3π/2 + 2kπ ⇔ x = 3π/14 + 2kπ/7.
Nếu em đổi −cos2x theo hướng khác, sin(−π/2 − 2x) = −cos2x, rồi giải sin5x = sin(−π/2 − 2x), em sẽ ra:
- 5x = −π/2 − 2x + 2kπ ⇔ 7x = −π/2 + 2kπ ⇔ x = −π/14 + 2kπ/7
- 5x = π − (−π/2 − 2x) + 2kπ ⇔ 3x = 3π/2 + 2kπ ⇔ x = π/2 + 2kπ/3
Trông khác chữ, nhưng là cùng một tập. Thật vậy, 3π/14 = −π/14 + 4π/14 = −π/14 + 2π/7, nên dãy 3π/14 + 2kπ/7 chỉ lệch chỉ số so với dãy −π/14 + 2kπ/7. Tương tự π/2 = −π/6 + 2π/3, nên x = π/2 + 2kπ/3 chính là x = −π/6 + 2mπ/3 sau khi đổi tên số nguyên.
Khi chép đáp án, em chọn một cặp, đừng trộn một nhánh của cách này với nhánh sai của cách kia. Cặp an toàn là:
x = −π/14 + 2kπ/7 hoặc x = −π/6 + 2kπ/3, k ∈ ℤ.
Thay lại và đối chiếu các đáp án đang lưu hành
Lấy một điểm của mỗi họ để thử.
Với x = −π/14: sin(5×(−π/14)) + 2cos2(π/14) = sin(−5π/14) + 2cos2(π/14). Vì x thuộc họ vừa giải bằng biến đổi tương đương, vế trái bằng 1. Em có thể kiểm tra trên máy tính: kết quả làm tròn về 1.
Với x = −π/6: sin(−5π/6) + 2cos2(−π/6) = −1/2 + 2×(√3/2)2 = −1/2 + 2×3/4 = −1/2 + 3/2 = 1. Đúng.
Với x = π/2, điểm nằm trong cả hai họ: sin(5π/2) + 2cos2(π/2) = sin(π/2) + 0 = 1. Đúng. Việc một số trùng nhau không làm họ nào sai; tập nghiệm là hợp của hai họ.
Điểm cần bác là x = π/6, điểm đầu của họ hay bị chép nhầm x = π/6 + 2kπ/3:
sin(5π/6) + 2cos2(π/6) = 1/2 + 2×3/4 = 1/2 + 3/2 = 2 ≠ 1.
Tại x = 3π/2 = π/6 + 4π/3, vế trái bằng sin(15π/2) = sin(3π/2) = −1, cũng không phải 1. Vậy cả họ x = π/6 + 2kπ/3 đều không phải nghiệm. Nhiều trang lời giải vẫn in họ này cạnh họ x = −π/14 + 2kπ/7. Nửa sau của đáp án ấy đúng; nửa x = π/6 + 2kπ/3 thì sai do đổi dấu khi viết −cos2x. Bài này lấy tập nghiệm thỏa phương trình gốc.
Trên một chu kì [0, 2π), liệt kê để khỏi đếm trùng. Họ x = −π/14 + 2kπ/7 cho bảy giá trị k = 1 đến k = 7: 3π/14, π/2, 11π/14, 15π/14, 19π/14, 23π/14, 27π/14. Họ x = −π/6 + 2kπ/3 thêm 7π/6 và 11π/6; giá trị π/2 đã có ở họ kia. Tất cả là 9 nghiệm. Chu kì của vế trái là 2π, vì cả sin5x và cos2x lặp lại sau 2π.
Bài luyện và lỗi hay gặp
Bài 1. Giải sin x + 2cos2x = 1.
Đặt u = sin x. Vì cos2x = 1 − 2sin2x nên −cos2x = 2sin2x − 1. Phương trình sin x = −cos2x trở thành u = 2u2 − 1, tức 2u2 − u − 1 = 0. Phân tích (2u + 1)(u − 1) = 0, được u = 1 hoặc u = −1/2. Vậy sin x = 1, tức x = π/2 + 2mπ, hoặc sin x = −1/2, tức x = −π/6 + 2mπ hay x = 7π/6 + 2mπ. Ba nhánh này gộp lại thành một công thức: x = π/2 + 2kπ/3, k ∈ ℤ. Kiểm tra đủ ba điểm trong một chu kì: x = π/2 cho 1 + 0 = 1; x = 7π/6 cho −1/2 + 2×3/4 = 1; x = 11π/6 cho −1/2 + 3/2 = 1.
Bài 2. Tìm nghiệm của phương trình đã cho trên [0, π].
Từ danh sách một chu kì, giữ những số không âm và không vượt quá π: 3π/14, π/2, 11π/14. Giá trị 7π/6 lớn hơn π nên loại. Đáp số có ba nghiệm.
Bài 3. Chứng minh rằng nếu sin5x = cos2x thì sin5x + 2cos2x = 1 + 2cos2x, và tìm một x để biểu thức này khác 1.
Vì 2cos2x = 1 + cos2x, nên khi sin5x = cos2x ta có sin5x + 2cos2x = cos2x + 1 + cos2x = 1 + 2cos2x. Tại x = π/6 thì sin(5π/6) = 1/2 và cos(π/3) = 1/2, đúng là sin5x = cos2x. Lúc đó 1 + 2cos(π/3) = 1 + 1 = 2, khớp phép thế trực tiếp vào vế trái. Nhầm dấu chính là giải sang phương trình sin5x + 2cos2x = 1 + 2cos2x, không còn là phương trình đã cho.
Ba lỗi lặp lại nhiều nhất: quên nhánh π − B của sin A = sin B; rút gọn 7x hoặc 3x mà chia nhầm hệ số; và không thay một giá trị số trước khi chép đáp án. Với phương trình lượng giác, một phép thế mất nửa phút đủ để cứu cả họ nghiệm.
Câu hỏi thường gặp
Nghiệm của sin5x + 2cos²x = 1 là gì?
x = −π/14 + 2kπ/7 hoặc x = −π/6 + 2kπ/3, với k là số nguyên. Hai cách viết x = π/2 + 2kπ/3 và x = 3π/14 + 2kπ/7 cũng cùng một tập nghiệm.
Vì sao x = π/6 + 2kπ/3 không phải nghiệm?
Thay x = π/6 được sin(5π/6) + 2cos²(π/6) = 1/2 + 2×3/4 = 2, khác 1. Họ này xuất hiện khi đổi nhầm −cos2x thành cos2x.
sin5x = −cos2x đổi sang sin bằng cách nào?
Vì −cos2x = sin(2x − π/2). Khi đó dùng điều kiện sin A = sin B với A = 5x và B = 2x − π/2.
Trên [0, 2π) phương trình có bao nhiêu nghiệm?
Có 9 nghiệm phân biệt: 3π/14, π/2, 11π/14, 15π/14, 19π/14, 23π/14, 27π/14, 7π/6 và 11π/6. Giá trị π/2 thuộc cả hai họ.
Phương trình thuộc chương trình lớp nào?
Đây là phương trình lượng giác bậc cao, ôn trong chương trình Đại số và Giải tích 11, phần công thức nhân và phương trình sin.