Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Chứng minh rằng: nếu 1 tam giác có 2 đường trung tuyến vuông góc với nhau

Bài 22: Chứng minh rằng: nếu 1 tam giác có 2 đường trung tuyến vuông góc với nhau thì tổng các bình phương của

2 đường trung tuyến này bằng bình phương của đường trung tuyến thứ ba.

Lời giải:

Giả sử   có hai đường trung tuyến BE và CF vuông góc với nhau, AD là đường trung tuyến thứ ba. Ta cần chứng

minh $A{D}^2=B{E}^2+C{F}^2$

Trên tia đối của tia EF lấy điểm K sao cho EF = FK

Tứ giác AKCF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm E của mỗi đường nên AKCF là hình bình hành → AK // FC.

Mà $FC\perp BE$ nên $BE\perp AK$ (*)

Ta có: F là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC nên EF là đường trung bình của$\text{Δ}ABC\to EF= \frac{1}{2}BC$ và EF // BC hay EK // BD (1)

Mà $BD=\frac{1}{2}BC$ (gt) nên EF = BD → EK = BD (do EF = EK theo cách chọn điểm phụ)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra EKDB là hình bình hành → EB // DK (**)

Từ (*) và (**) suy ra →  $DK\perp AK$ vuông tại K $\to A{K}^2+K{D}^2=A{D}^2$ (theo định lý Py-ta-go)

Mà AK = FC (do AKCF là hình bình hành) và KD = BE (do EKDB là hình bình hành) nên$A{D}^2=B{E}^2+C{F}^2$ (đpcm)