Chứng minh rằng n^4 + 2n^3 – n^2 – 2n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n

Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 51)

Câu 22: Chứng minh rằng n⁴ + 2n³ – n² – 2n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.

Lời giải:

Ta có: n⁴ + 2n³ – n² – 2n

= (n⁴ + 2n³) – (n² + 2n)

= n³(n + 2) – n(n + 2)

= (n³ – n)(n + 2)

= n(n² – 1)(n + 2)

= (n – 1)n(n + 1)(n + 2)

Ta thấy (n – 1)n(n + 1)(n + 2) là tích bốn số nguyên liên tiếp nên sẽ chứa một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4, từ đó suy ra tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 8.

Đồng thời, trong bốn số nguyên liên tiếp luôn chứa tích của ba số nguyên liên tiếp, đồng nghĩa với việc tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.

Mà 24 = 3.8

Vì vậy tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.8 = 24.

Vậy n⁴ + 2n³ – n² – 2n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n

Xem thêm các bài tập thường gặp môn Toán hay, chọn lọc khác:

Câu 1: Cho f(x) = −x² − 2(m − 1)x + 2m − 1...

Câu 2: Tìm ba số, biết tổng thứ nhất và thứ hai bằng 182. Tổng của số thứ hai và thứ ba bằng 176, tổng của số thứ ba và số thứ nhất bằng 188.....

Câu 3: Tổng của số thứ nhất và số thứ hai là 18,36;tổng của số thứ hai và số thứ ba là 21,64; tổng của số thứ ba và số thứ nhất là 20. Tính tổng của ba số đó?....

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy....

Câu 5: Cho B=3 + 3² + 3³ + ... + 3¹²⁰. Chứng minh:....