Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'

Bài 26: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Các mặt phẳng (ABC') và (A'B'C') chia khối lăng trụ đã cho thành 4 khối đa diện. Kí hiệu $H_1,H_2$  lần lượt là khối có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất trong bốn khối trên. Tính giá trị của $\frac{V_{\left(H_1\right)}}{V_{\left(H_2\right)}}.$

Lời giải:

Gọi $E=A{C}^{\text{'}}\cap A^{\text{'}}C$  và $F=B{C}^{\text{'}}\cap B^{\text{'}}C.$  Khi đó (ABC') và (A'B'C') chia khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' thành 4 khối đa

diện: $CEF{C}^{\text{'}};FE{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}};FEABC$ và $FEAB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}.$

Gọi V là thể tích của khối lăng trụ đều ABC.A'B'C'. Ta có:

$$\begin{gathered} V_{C.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=V_{C^{\text{'}\text{'}}.ABC}=\frac{1}{3}V;V_{FE{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=V_{C.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}-V_{CEF{C}^{\text{'}}}; \\ {V}_{FEABC}=V_{C.ABC}-V_{CEF{C}^{\text{'}}}\Rightarrow V_{FE{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=V_{FEABC}. \end{gathered}$$

Mặt khác: $\frac{V_{CEF{C}^{\text{'}}}}{V_{C.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}=\frac{CE}{C{A}^{\text{'}}}\cdot \frac{CF}{C{B}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow V_{CEF{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{4}{V}_{C.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}V=\frac{1}{12}V$

Suy ra 

$$\begin{gathered} V_{FE{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=V_{FEABC}=V_{C.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}-V_{CEF{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}V-\frac{1}{12}V=\frac{1}{4}V \\ \Rightarrow V_{FEAB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=V-2.\frac{1}{4}V-\frac{1}{12}V=\frac{5}{12}V. \end{gathered}$$

Do đó $H_1$  là thể tích lớn nhất của khối đa diện $FEAB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}};H_2$ là thể tích nhỏ nhất của khối đa diện $CEF{C}^{\text{'}}$

Khi đó: $\frac{V_{\left(H_1\right)}}{V_{\left(H_2\right)}}=5.$