Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 66)

Câu 20: Chứng minh rằng có vô số bộ ba số tự nhiên (a, b, c) sao cho a, b, c nguyên tố cùng nhau và số n = a²b² + b²c² + c²a² là số chính phương.

Lời giải:

Giả sử a, b, c là ba số tự nhiên lẻ liên tiếp có dạng a = 2k – 1, b = 2k + 1, c = 2k + 3, với k ∈ ℕ.

Khi đó bộ ba số tự nhiên (a, b, c) nguyên tố cùng nhau.

Ta có n = a²b² + b²c² + c²a²

= (2k – 1)²(2k + 1)² + (2k + 1)²(2k + 3)² + (2k + 3)²(2k – 1)²

= (4k² – 1)² + (2k + 3)².[(2k + 1)² + (2k – 1)²]

= 16k⁴ – 8k² + 1 + (4k² + 12k + 9).[(2k + 1 + 2k – 1)² – 2(2k + 1)(2k – 1)]

= 16k⁴ – 8k² + 1 + (4k² + 12k + 9).[16k² – 2(4k² – 1)]

= 16k⁴ – 8k² + 1 + (4k² + 12k + 9).(8k² + 2)

= 16k⁴ – 8k² + 1 + 32k⁴ + 8k² + 96k³ + 24k + 72k² + 18

= 48k⁴ + 96k³ + 72k² + 24k + 18 + 1.

Ta có 48; 96; 72; 24; 18 đều chia hết cho 3.

Suy ra 48k⁴; 96k³; 72k²; 24k; 18 đều chia hết cho 3, với k ∈ ℕ.

Khi đó tổng 48k⁴ + 96k³ + 72k² + 24k + 18 chia hết cho 3, với k ∈ ℕ.

Vì vậy 48k⁴ + 96k³ + 72k² + 24k + 18 + 1 chia cho 3 dư 1, với k ∈ ℕ.

Suy ra n là số chính phương.

Vậy ta có điều phải chứng minh.