Cho n ∈ ℤ, chứng minh A = n^4 – 4n^3 – 4n^2 + 16n chia hết cho 384 với mọi n chẵn

Lữ Ngọc My My Ngày: 25-08-2023 Tổng hợp kiến thức

255

Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 64)

Câu 19: Cho n ∈ ℤ, chứng minh A = n⁴ – 4n³ – 4n² + 16n chia hết cho 384 với mọi n chẵn.

Lời giải:

A = n⁴ – 4n³ – 4n² + 16n

A = n(n³ – 4n² – 4n + 16)

A = n(n – 4)(n² – 4) (1)

Vì n là số chẵn nên n = 2k (k là số nguyên dương) thay vào (1), ta được:

A = 2k(2k – 4)(4k² – 4)

A = 16k(k – 2)(k – 1)(k + 1)

A = 16(k – 2)(k – 1)k(k + 1) (2)

Do (k – 2)(k – 1)k(k + 1) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên tích này luôn chia hết cho 3 và 8, mà ƯC(3, 8) = 1 nên (k – 2)(k – 1)k(k + 1) chia hết cho 24 (3)

Từ (2) và (3), suy ra A = n⁴ – 4n³ – 4n² + 16n chia hết cho 384.