Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 56)

Câu 3: Tìm số tự nhiên n để: n²⁰²¹ + n²⁰²⁰ + 1 là số nguyên tố.

Lời giải:

Ta có:

n²⁰²¹ + n²⁰²⁰ + 1

= n²⁰²¹ ‒ n² + n²⁰²⁰ ‒ n + n² + n +1

= n²(n²⁰¹⁹ ‒ 1) + n(n²⁰¹⁹ ‒ 1) + (n² + n +1)

= (n² + n)(n²⁰¹⁹ ‒ 1) + (n² + n +1)

= n(n + 1)(n²⁰¹⁹ ‒ 1) + (n² + n +1)                                 (1)

Để ý rằng, 2019 chia hết cho 3 và 2019 = 3.673

Nên nếu đặt A = n³ thì n²⁰¹⁹ = A⁶⁷³

Mặt khác áp dụng hằng đẳng thức sau:

a^k ‒ b^k = (a ‒ b)(a^k‒1 + a^k‒2b¹ + a^k‒3b² +...+ a¹b^k‒2 + b^k‒1)

Ta có: n²⁰¹⁹ ‒ 1 = A⁶⁷³ ‒ 1 = A⁶⁷³ ‒ 1⁶⁷³ = (A ‒ 1)(A⁶⁷² + A⁶⁷¹ + ... + A¹ + 1)

⇒ n²⁰¹⁹ ‒ 1 ⋮ (A ‒ 1) hay n²⁰¹⁹ ‒ 1 ⋮ (n³ ‒ 1)

Mà n³ ‒ 1 = (n ‒ 1)(n² + n +1) ⇒ n²⁰¹⁹ ‒ 1 ⋮ (n² + n +1)         (2)                 

Từ (1) và (2) ⇒ n²⁰²¹ + n²⁰²⁰ + 1 ⋮ (n² + n +1)        

Như vậy để n²⁰²¹ + n²⁰²⁰ + 1 là một số nguyên tố thì có hai trường hợp:

1. n² + n +1 = 1, trường hợp này không xảy ra do n > 0 (giả thiết)

2. n²⁰²¹ + n²⁰²⁰ + 1 = n² + n +1 hay n²⁰²⁰(n + 1) = n(n + 1) ⇒ n(n + 1)(n²⁰¹⁹ ‒ 1) = 0

Do n > 0 nên n²⁰¹⁹ ‒ 1 = 0 ⇒ n = 1

Thử lại ta có: n²⁰²¹ + n²⁰²⁰ + 1 = 1²⁰²¹ + 1²⁰²⁰ + 1 = 3 là số nguyên tố.

Vậy n = 1 là đáp án cần tìm.