Giải SGK Toán 10 Bài 9 (Kết nối tri thức): Tích của một vecto với một số

Thảo Ngày: 23-08-2024 Lớp 10

10.5 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vecto với một số chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức với cuộc sống giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vecto với một số

Giải Toán 10 trang 55 Tập 1 Kết nối tri thức

1. Tích của một vectơ với một số

HĐ1 trang 55 Toán lớp 10: Cho vecto $\vec{A B} = \vec{a}$ . Hãy xác định điểm C sao cho $\vec{B C} = \vec{a}$

a) Tìm mối quan hệ giữa $\vec{A B}$ và $\vec{a} + \vec{a}$

b) Vecto $\vec{a} + \vec{a}$ có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài đối với vecto $\vec{a}$

Phương pháp giải:

Hai vecto bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Lời giải:

Luyện tập 1 trang 6 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi M, N lần lượt là điểm đầu và điểm cuối của vecto $\vec{a}$ .

Từ B, M, N ta dựng hình bình hành BMNC.

Khi đó: $\vec{M N} = \vec{B C}$ hay $\vec{a} = \vec{B C}$ .

$\Rightarrow \vec{a} + \vec{a} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

a) Vì $\vec{A B} = \vec{a} = \vec{B C}$ nên A, B, C thẳng hàng và B là trung điểm của AC.

Vậy $\vec{a} + \vec{a}$ và $\vec{A B}$ cùng hướng, $| \vec{a} + \vec{a} | = 2. | \vec{A B} |$

b) Ta có: $\vec{a} + \vec{a}$ và $\vec{A B}$ cùng hướng, $| \vec{a} + \vec{a} | = 2. | \vec{A B} |$

Mà $\vec{A B} = \vec{a}$ nên: $\vec{a} + \vec{a}$ và $\vec{a}$ cùng hướng, $| \vec{a} + \vec{a} | = 2. | \vec{a} |$ .

Câu hỏi trang 55 Toán lớp 10: $1 \vec{a}$ và $\vec{a}$ có bằng nhau hay không?

Phương pháp giải:

Hai vecto bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Lời giải:

Ta có: Vecto $1 \vec{a}$ cùng hướng với vecto $\vec{a}$ và $| 1 \vec{a} | = | \vec{a} |$ .

Vậy hai vecto $1 \vec{a}$ và $\vec{a}$ bằng nhau.

Giải Toán 10 trang 56 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ2 trang 56 Toán lớp 10: Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số $0; 1; \sqrt{2}; - \sqrt{2}$ . Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto $\vec{O M}, \vec{O N}$ với vecto $\vec{a} = \vec{O A}$ . Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto $\vec{O M}$ và $\vec{O A}$ .

Câu hỏi trang 55 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Vecto $k \vec{a}$ (với $k > 0, \vec{a} \neq \vec{0}$ ) là vecto cùng hướng với vecto $\vec{a}$ và có độ đài bằng $k | \vec{a} |$ .

Lời giải:

Dễ thấy:

Vecto $\vec{O M}$ và $\vec{O A}$ có cùng giá nên chúng cùng phương.

Mà vecto $\vec{O M}$ và $\vec{O A}$ cùng nằm trên tia OM nên chúng cùng chiều

Vậy vecto $\vec{O M}$ và $\vec{O A}$ cùng hướng.

Ngoài ra, $| \vec{O M} | = O M = \sqrt{2}$ và $| \vec{O A} | = O A = 1$

$\Rightarrow | \vec{O M} | = \sqrt{2} . | \vec{O A} |$

Ta kết luận $\vec{O M} = \sqrt{2} . \vec{O A}$ .

Câu hỏi trang 56 Toán lớp 10: $- \vec{a}$ và $- 1 \vec{a}$ có mối quan hệ gì?

Phương pháp giải:

Vecto $k \vec{a}$ (với $k < 0, \vec{a} \neq \vec{0}$ ) là vecto ngược hướng với vecto $\vec{a}$ và có độ đài bằng $| k | | \vec{a} |$ .

Lời giải:

Ta có:

Vecto $- \vec{a}$ là vecto đối của vecto $\vec{a}$

$\Rightarrow - \vec{a}$ ngược hướng với vecto $\vec{a}$ và $| - \vec{a} | = | \vec{a} |$

Lại có:

Vecto $- 1 \vec{a}$ là vecto ngược hướng với vecto $\vec{a}$ và có độ đài bằng $| - 1 | | \vec{a} | = | \vec{a} |$ .

$\Rightarrow - \vec{a}$ và $- 1 \vec{a}$ cùng hướng và có độ dài bằng nhau (bằng vecto $\vec{a}$ ).

Hay $- \vec{a} = - 1 \vec{a}$

Luyện tập 1 trang 56 Toán lớp 10: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để $\vec{A M} = t . \vec{A B}$

b) Với điểm M bất kì, ta luôn có $\vec{A M} = \frac{A M}{A B} . \vec{A B}$

c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số $t \leq 0$ để $\vec{A M} = t . \vec{A B}$

Câu hỏi trang 56 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

$\vec{a}$ và $\vec{b} (\vec{b} \neq \vec{0})$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để $\vec{a} = k . \vec{b}$

Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng thì $k = \frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |}$

Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng thì $k = - \frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |}$

Lời giải:

a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi hai vecto $\vec{A M}$ và $\vec{A B}$ cùng phương (cùng giá d)

Khi và chỉ khi tồn tại số t để $\vec{A M} = t . \vec{A B}$ .

Vậy khẳng định a) đúng.

Câu hỏi trang 56 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

b) Với điểm M bất kì, ta luôn có $\vec{A M} = \frac{A M}{A B} . \vec{A B}$

Sai vì $\vec{A M} = \frac{A M}{A B} . \vec{A B}$ khi và chỉ khi $\vec{A M}$ và $\vec{A B}$ cùng hướng.

Câu hỏi trang 56 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 3)

c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB, tức là A nằm giữa M và B.

Khi và chỉ khi hai vecto $\vec{A M}$ và $\vec{A B}$ ngược hướng

$\Leftrightarrow$ tồn tại số $t \leq 0$ để $\vec{A M} = t . \vec{A B}$

Vậy khẳng định c) đúng.

Câu hỏi trang 56 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 4)

2. Các tính chất của phép nhân vectơ với một số

Giải Toán 10 trang 57 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ3 trang 57 Toán lớp 10: Với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ có cùng độ dài bằng $| k t | . | \vec{u} |$

b) Nếu $k t \geq 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$

c) Nếu $k t < 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$

d) Hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ bằng nhau.

Phương pháp giải:

Vecto $k \vec{a}$ (với $k > 0, \vec{a} \neq \vec{0}$ ) cùng hướng với vecto $\vec{a}$ và có độ đài bằng $k | \vec{a} |$ .

Vecto $k \vec{a}$ (với $k < 0, \vec{a} \neq \vec{0}$ ) ngược hướng với vecto $\vec{a}$ và có độ đài bằng $| k | | \vec{a} |$ .

Lời giải:

a) Hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ có cùng độ dài bằng $| k t | . | \vec{u} |$

Ta có: $| t \vec{u} | = | t | | \vec{u} | \Rightarrow | k (t \vec{u}) | = | k | | (t \vec{u}) | = | k | . | t | | \vec{u} | = | k t | | \vec{u} |$

Và $| (k t) \vec{u} | = | k t | | \vec{u} |$

$\Rightarrow | k (t \vec{u}) | = | (k t) \vec{u} | = | k t | | \vec{u} |$

b) Nếu $k t \geq 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $k \geq 0, t \geq 0$

Vecto $k (t \vec{u})$ cùng hướng với vecto $t \vec{u}$ (vì $k \geq 0$ ), mà vecto $t \vec{u}$ cùng hướng với vecto $\vec{u}$ (vì $t \geq 0$ )

Do đó vecto $k (t \vec{u})$ cùng hướng với vecto $\vec{u}$ .

Trường hợp 2: $k < 0, t < 0$

Vecto $k (t \vec{u})$ ngược hướng với vecto $t \vec{u}$ (vì $k < 0$ ), mà vecto $t \vec{u}$ ngược hướng với vecto $\vec{u}$ (vì $t < 0$ )

Do đó vecto $k (t \vec{u})$ cùng hướng với vecto $\vec{u}$ .

Vậy vecto $k (t \vec{u})$ luôn cùng hướng với vecto $\vec{u}$ nếu $k t \geq 0$ .

Lại có: $k t \geq 0$ nên $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$

Vậy $k t \geq 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$

c) Nếu $k t < 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $k > 0, t < 0$

Vecto $k (t \vec{u})$ cùng hướng với vecto $t \vec{u}$ (vì $k > 0$ ), mà vecto $t \vec{u}$ ngược hướng với vecto $\vec{u}$ (vì $t < 0$ )

Do đó vecto $k (t \vec{u})$ ngược hướng với vecto $\vec{u}$ .

Trường hợp 2: $k < 0, t > 0$

Vecto $k (t \vec{u})$ ngược hướng với vecto $t \vec{u}$ (vì $k < 0$ ), mà vecto $t \vec{u}$ cùng hướng với vecto $\vec{u}$ (vì $t > 0$ )

Do đó vecto $k (t \vec{u})$ ngược hướng với vecto $\vec{u}$ .

Vậy vecto $k (t \vec{u})$ luôn ngược hướng với vecto $\vec{u}$ nếu $k t < 0$ .

Lại có: $k t < 0$ nên $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$

Vậy $k t < 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$

Từ ý b) và c), ra suy ra hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ luôn cùng hướng.

Theo câu a) ta có: $| k (t \vec{u}) | = | (k t) \vec{u} | = | k t | | \vec{u} |$

$\Rightarrow$ Hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ bằng nhau

HĐ4 trang 57 Toán lớp 10: Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vecto $3 (\vec{u} + \vec{v})$ và $3 \vec{u} + 3 \vec{v}$ . Từ đó, nêu mối quan hệ giữa $3 (\vec{u} + \vec{v})$ và $3 \vec{u} + 3 \vec{v}$

Lời giải:

HĐ3 trang 57 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Kí hiệu O, E, F là các điểm như trên hình vẽ.

Dễ thấy: tứ giác OEMF là hình bình hành nên $\vec{O E} + \vec{O F} = \vec{O M}$ hay $\vec{v} + \vec{u} = \vec{O M}$

Và $\vec{O C} = 3. \vec{O M} \Rightarrow 3 (\vec{v} + \vec{u}) = 3. \vec{O M} = \vec{O C}$

Mặt khác: $\vec{O A} = 3. \vec{O F} = 3 \vec{u}; \vec{O B} = 3. \vec{O E} = 3 \vec{v}$

Và $\vec{O B} + \vec{O A} = \vec{O C}$ hay $3 \vec{v} + 3 \vec{u} = \vec{O C}$

$\Rightarrow 3 (\vec{v} + \vec{u}) = 3 \vec{v} + 3 \vec{u}$

Luyện tập 2 trang 57 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm O tùy ý, ta có

$\vec{O B} + \vec{O A} + \vec{O C} = 3 \vec{O G}$ .

Phương pháp giải:

G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\vec{G B} + \vec{G A} + \vec{G C} = \vec{0}$

Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta luôn có $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

Lời giải:

Ta có: $\vec{O A} = \vec{O G} + \vec{G A}$ ; $\vec{O B} = \vec{O G} + \vec{G B}$ ; $\vec{O C} = \vec{O G} + \vec{G C}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{O B} + \vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O G} + \vec{G A} + \vec{O G} + \vec{G B} + \vec{O G} + \vec{G C} \\ \Leftrightarrow \vec{O B} + \vec{O A} + \vec{O C} = 3 \vec{O G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) \end{array}$

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{G B} + \vec{G A} + \vec{G C} = \vec{0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{O B} + \vec{O A} + \vec{O C} = 3 \vec{O G} + \vec{0} \\ \Leftrightarrow \vec{O B} + \vec{O A} + \vec{O C} = 3 \vec{O G} \end{array}$

Luyện tập 3 trang 57 Toán lớp 10: Trong hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vecto $\vec{u}, \vec{v}$ theo hai vecto $\vec{a}, \vec{b}$ , tức là tìm các số $x, y, z, t$ để $\vec{u} = x \vec{a} + y \vec{b}, \vec{v} = t \vec{a} + z \vec{b} .$

Luyện tập 2 trang 57 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

Phương pháp giải:

Phân tích vecto $\vec{u}, \vec{v}$ theo hai vecto $\vec{a}, \vec{b}$ cho trước.

Lời giải:

Bước 1: Dựng hình bình hành có cạnh song song với giá của vecto $\vec{a}, \vec{b}$ và đường chéo là vecto $\vec{u}, \vec{v}$ .

Luyện tập 2 trang 57 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 3)

Ta dựng được hình hình hành ABCD và DEGH. Trong đó: DC và DE nằm trên giá của vecto $\vec{a}$ , DA và DH nằm trên giá của vecto $\vec{b}$ , còn vecto $\vec{u}, \vec{v}$ lần lượt là hai dường chéo.

Dễ thấy: $\vec{u} = \vec{D A} + \vec{D C}, \vec{v} = \vec{D H} + \vec{D E}$

Mà $\vec{D A} = 3 \vec{b}, \vec{D C} = \vec{a}, \vec{D H} = 3 \vec{b}, \vec{D E} = - 2 \vec{a} .$

$\Rightarrow \vec{u} = 2 \vec{b} + \vec{a}, \vec{v} = 3 \vec{b} - 2 \vec{a}$

Bài tập

Giải Toán 10 trang 58 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.11 trang 58 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hãy biểu thị $\vec{A M}$ theo hai vecto $\vec{A B}$ và $\vec{A D}$ .

Phương pháp giải:

Bước 1: Phân tích vecto $\vec{A M}$ theo hai vecto cạnh.

Luyện tập 3 trang 57 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Bước 2: Biểu thị hai vecto cạnh theo vecto $\vec{A B}$ , $\vec{A D}$ .

Lời giải:

Luyện tập 3 trang 57 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 4)

Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD tại E.

Khi đó tứ giác ABME là hình bình hành.

Do đó: $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{A E}$ .

Luyện tập 3 trang 57 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 5)

Dễ thấy: $A E = B M = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} A D$

$\Rightarrow \vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A D}$

$\Rightarrow \vec{A M} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$

Vậy $\vec{A M} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$

Chú ý khi giải

+) Dựng hình hình hành sao cho đường chéo là vecto cần biểu thị, 2 cạnh của nó song song với giá của hai vecto đang biểu thị theo.

Bài 4.12 trang 58 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh $\vec{B C} + \vec{A D} = 2 \vec{M N} = \vec{A C} + \vec{B D} .$

Phương pháp giải:

+ Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có: $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

+ M là trung điểm của đoạn AB thì $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0} = \vec{A M} + \vec{B M}$

Lời giải:

Bài 4.11 trang 58 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có:

$\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A D} + \vec{D N}$

Mặt khác: $\vec{M N} = \vec{M B} + \vec{B C} + \vec{C N}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 \vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A D} + \vec{D N} + \vec{M B} + \vec{B C} + \vec{C N} \\ \Leftrightarrow 2 \vec{M N} = (\vec{M A} + \vec{M B}) + (\vec{D N} + \vec{C N}) + \vec{B C} + \vec{A D} \\ \Leftrightarrow 2 \vec{M N} = \vec{0} + \vec{0} + \vec{B C} + \vec{A D} \\ \Leftrightarrow 2 \vec{M N} = \vec{B C} + \vec{A D} \end{array}$

Tương tự ta cũng có:

${\begin{cases} \vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A C} + \vec{C N} \\ \vec{M N} = \vec{M B} + \vec{B D} + \vec{D N} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 \vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A C} + \vec{C N} + \vec{M B} + \vec{B D} + \vec{D N} \\ \Leftrightarrow 2 \vec{M N} = (\vec{M A} + \vec{M B}) + (\vec{C N} + \vec{D N}) + \vec{A C} + \vec{B D} \\ \Leftrightarrow 2 \vec{M N} = \vec{0} + \vec{0} + \vec{A C} + \vec{B D} \\ \Leftrightarrow 2 \vec{M N} = \vec{A C} + \vec{B D} \end{array}$

Vậy $\vec{B C} + \vec{A D} = 2 \vec{M N} = \vec{A C} + \vec{B D} .$

Bài 4.13 trang 58 Toán lớp 10: Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0}$ .

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có $\vec{O K} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} .$

Phương pháp giải:

Nhắc lại: Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có: $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

Cách 1: Nhận xét về phương chiều, độ lớn của hai vecto $\vec{K A}$ và $\vec{K B}$ , suy ra vị trí điểm K.

Cách 2: Biểu diễn vecto $\vec{K A}$ hoặc $\vec{K B}$ ) theo vecto $\vec{A B}$ .

Biểu diễn vecto $\vec{O K}$ bằng cách chèn điểm: $\vec{O A} = \vec{O K} + \vec{K A}; \vec{O B} = \vec{O K} + \vec{K B} .$

Lời giải:

Cách 1:

Ta có: $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0}$ .

$\Leftrightarrow \vec{K A} = - 2 \vec{K B}$

Suy ra vecto $\vec{K A}$ và vecto $\vec{K B}$ cùng phương, ngược chiều và $K A = 2. K B$

$\Rightarrow K, A, B$ thẳng hàng, K nằm giữa A và B thỏa mãn: $K A = 2. K B$

Cách 2:

Ta có: $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0}$ .

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (\vec{K B} + \vec{B A}) + 2 \vec{K B} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow 3. \vec{K B} + \vec{B A} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow 3. \vec{K B} = \vec{A B} \\ \Leftrightarrow \vec{K B} = \frac{1}{3} \vec{A B} \end{array}$

Vậy K thuộc đoạn AB sao cho $K B = \frac{1}{3} A B$ .

Để $\vec{O K} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} .$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{O K} = \frac{1}{3} (\vec{O K} + \vec{K A}) + \frac{2}{3} (\vec{O K} + \vec{K B}) \\ \Leftrightarrow \vec{O K} = (\frac{1}{3} \vec{O K} + \frac{2}{3} \vec{O K}) + (\frac{1}{3} \vec{K A} + \frac{2}{3} \vec{K B}) \\ \Leftrightarrow \vec{O K} = \vec{O K} + \frac{1}{3} (\vec{K A} + 2 \vec{K B}) \\ \Leftrightarrow \vec{O K} = \vec{O K} + \frac{1}{3} . \vec{0} \\ \Leftrightarrow \vec{O K} = \vec{O K} . \end{array}$

Hiển nhiên đúng với mọi điểm O.

Vậy với mọi điểm O, ta có $\vec{O K} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} .$

Chú ý khi giải:

Với những biểu thức đơn giản (chỉ có 3 điểm) thì từ giải thiết ta có thể suy ra ngay phương, chiều, độ dài của chúng để xác định điểm M.

Với các biểu thức phức tạp hơn (có nhiều hơn 3 điểm) thì nên sử dụng phương pháp như trên: quy về một vecto chưa biết, được biểu diễn qua các vecto đã biết.

Bài 4.14 trang 58 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC

a) Hãy xác định điểm M để $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0}$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = 4 \vec{O M}$

Phương pháp giải:

Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có: $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{M A} + (\vec{M A} + \vec{A B}) + 2 (\vec{M A} + \vec{A C}) = \vec{0}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \vec{M A} + (\vec{M A} + \vec{A B}) + 2 (\vec{M A} + \vec{A C}) = \vec{0} \\ \Leftrightarrow 4 \vec{M A} + \vec{A B} + 2 \vec{A C} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow 4 \vec{A M} = \vec{A B} + 2 \vec{A C} \\ \Leftrightarrow \vec{A M} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} \end{array}$

Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E sao cho $A D = \frac{1}{4} A B; A E = \frac{1}{2} A C$

Bài 4.13 trang 53 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Khi đó $\vec{A M} = \vec{A D} + \vec{A E}$ hay M là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEMD.

Cách 2:

Ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0} \Leftrightarrow (\vec{M C} + \vec{C A}) + (\vec{M C} + \vec{C B}) + 2 \vec{M C} = \vec{0}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4 \vec{M C} + \vec{C A} + \vec{C B} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow 4. \vec{C M} = \vec{C A} + \vec{C B} \end{array}$

Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBD.

Khi đó: $\vec{C D} = \vec{C A} + \vec{C B}$ $\Rightarrow 4. \vec{C M} = \vec{C D}$

$\Leftrightarrow \vec{C M} = \frac{1}{4} \vec{C D} \Leftrightarrow \vec{C M} = \frac{1}{2} \vec{C O}$

Với O là tâm hình bình hành ACBD, cũng là trung điểm đoạn AB.

Bài 4.13 trang 53 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

Vậy M là trung điểm của trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = 4 \vec{O M}$

Với mọi điểm O, ta có: ${\begin{cases} \vec{O A} = \vec{O M} + \vec{M A}; \\ \vec{O B} = \vec{O M} + \vec{M B}; \\ \vec{O C} = \vec{O M} + \vec{M C} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = (\vec{O M} + \vec{M A}) + (\vec{O M} + \vec{M B}) + 2 (\vec{O M} + \vec{M C}) \\ = 4 \vec{O M} + (\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}) = 4 \vec{O M} + \vec{0} = 4 \vec{O M} . \end{array}$

Vậy với mọi điểm O, ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = 4 \vec{O M}$ .

Giải Toán 10 trang 59 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.15 trang 59 Toán lớp 10: Chất điểm A chịu tác động của ba lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ như hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{0}$ ). Tính độ lớn của các lực $\vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ biết $\vec{F_{1}}$ có độ lớn là 20N.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định vecto $\vec{u} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}$ . Từ trạng thái của chất điểm suy ra mối liên hệ (phương, chiều, độ lớn) giữa $\vec{u}$ và $\vec{F_{3}}$ .

Bước 2: Tính độ lớn của $\vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ .

Lời giải:

Bước 1: Đặt $\vec{u} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}$ . Ta xác định các điểm như hình dưới.

Bài 4.14 trang 58 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

Dễ dàng xác định điểm C, là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD. Do đó vecto $\vec{u}$ chính là vecto $\vec{A C}$

Vì chất điểm A ở trang thái cân bằng nên $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{0}$ hay $\vec{u} + \vec{F_{3}} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{u}$ và $\vec{F_{3}}$ là hai vecto đối nhau.

$\Leftrightarrow A$ là trung điểm của EC.

Bước 2:

Ta có: $| \vec{F_{1}} | = A D = 20, | \vec{F_{2}} | = A B, | \vec{F_{3}} | = A C .$

Do A, C, E thẳng hàng nên $\hat{C A B} = 180^{o} - \hat{E A B} = 60^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \hat{C A D} = 90^{o} - 60^{o} = 30^{o} \\ \Rightarrow {\begin{cases} A C = \frac{A D}{\cos 30^{o}} = \frac{40 \sqrt{3}}{3}; \\ A B = D C = A C . \sin 30^{o} = \frac{20 \sqrt{3}}{3} . \end{cases} \end{array}$

Vậy $| \vec{F_{2}} | = \frac{20 \sqrt{3}}{3}, | \vec{F_{3}} | = \frac{40 \sqrt{3}}{3} .$

Lý thuyết Tích của một vectơ với một số

1. Tích của một vectơ với một số

• Tích của một vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ với một số thực k > 0 là một vectơ, kí hiệu là k $\vec{a}$ , cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ và có độ dài bằng k $\vec{a}$ .

Ví dụ: Cho hình vẽ sau:

Tích của một vectơ với một số

– Vectơ $\frac{1}{2} \vec{a}$ cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ và $(\frac{1}{2} \vec{a})$ = $\frac{1}{2} | \vec{a} |$

– Vectơ $\frac{3}{2} \vec{a}$ cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ và $(\frac{3}{2} \vec{a})$ = $\frac{3}{2} | \vec{a} |$ .

• Tích của một vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ với một số thực k < 0 là một vectơ, kí hiệu là k $\vec{a}$ , ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ và có độ dài bằng (–k) | $\vec{a}$ |.

Ví dụ: Cho hình sau:

Tích của một vectơ với một số

– Vectơ –2 $\vec{a}$ ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ và $(- 2 \vec{a})$ = $2 | \vec{a} |$

– Vectơ $- \frac{3}{2} \vec{a}$ ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ và $(- \frac{3}{2} \vec{a})$ = $\frac{3}{2} | \vec{a} |$ .

Chú ý: Ta quy ước k $\vec{a}$ = $\vec{0}$ nếu $\vec{a}$ = $\vec{0}$ hoặc k = 0.

Nhận xét: Vectơ k $\vec{a}$ có độ dài bằng |k|| $\vec{a}$ | và cùng hướng với $\vec{a}$ nếu k ≥ 0, ngược hướng với $\vec{a}$ nếu $\vec{a}$ ≠ $\vec{0}$ và k < 0.

Chú ý: Phép lấy tích của vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với một số (hay phép nhân một số với vectơ).

2. Các tính chất của phép nhân vectơ với một số

Với hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ và hai số thực k, t, ta luôn có :

+) k(t $\vec{a}$ ) = (kt) $\vec{a}$ ;

+) k ( $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ) = k $\vec{a}$ + k $\vec{b}$ ; k ( $\vec{a}$ – $\vec{b}$ ) = k $\vec{a}$ – k $\vec{b}$ ;

+) (k + t) $\vec{a}$ = k $\vec{a}$ + t $\vec{a}$ ;

+) 1 $\vec{a}$ = $\vec{a}$ ; (–1) $\vec{a}$ = – $\vec{a}$ .

Nhận xét:

Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ .

Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Ví dụ:

a) Cho đoạn thẳng CD có trung điểm I. Chứng minh với điểm O tùy ý, ta có $\vec{O C} + \vec{O D} = 2 \vec{O I}$ .

b) Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh rằng với điểm O tùy ý, ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 3 \vec{O G}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì I là trung điểm của CD nên ta có $\vec{I C} + \vec{I D} = \vec{0}$ .

Do đó $\vec{O C} + \vec{O D} = (\vec{O I} + \vec{I C}) + (\vec{O I} + \vec{I D})$ = 2 $\vec{O I}$ + ( $\vec{I C} + \vec{I D}$ )= 2 $\vec{O I}$ + $\vec{0}$ = 2 $\vec{O I}$ .

Vậy, $\vec{O C} + \vec{O D} = 2 \vec{O I}$ .

b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = (\vec{O G} + \vec{G A}) + (\vec{O G} + \vec{G B}) + (\vec{O G} + \vec{G C})$

= $3 \vec{O G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) = 3 \vec{O G} + \vec{0} = 3 \vec{O G}$

Vậy $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 3 \vec{O G}$ .

Chú ý : Cho hai vectơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Khi đó, mọi vectơ $\vec{u}$ đều biểu thị (phân tích) được một cách duy nhất theo hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , nghĩa là có duy nhất cặp số (x; y) sao cho $\vec{u}$ = x $\vec{a}$ + y $\vec{b}$ .