Cách tìm giá trị bất thường của mẫu số liệu (Toán 10)

Trả lời nhanh

Với mẫu số liệu 1, 11, 13, 15, 17, 21, ta có Q₁ = 11, Q₃ = 17 nên khoảng tứ phân vị ΔQ = 6. Giá trị bất thường là giá trị nhỏ hơn Q₁ − 1,5ΔQ = 2 hoặc lớn hơn Q₃ + 1,5ΔQ = 26. Vì 1 < 2 nên số 1 là giá trị bất thường của mẫu số liệu.

Quy tắc xác định giá trị bất thường

Giá trị bất thường (còn gọi là giá trị ngoại lệ) là giá trị khác biệt rõ rệt so với phần lớn các giá trị còn lại. Trong chương trình Toán 10, ta dùng khoảng tứ phân vị để xác định:

Tính các tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃ và khoảng tứ phân vị ΔQ = Q₃ − Q₁.
Một giá trị x là bất thường nếu x < Q₁ − 1,5ΔQ hoặc x > Q₃ + 1,5ΔQ.

Lời giải chi tiết

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: 1; 11; 13; 15; 17; 21 (đã sắp xếp, n = 6).
Tìm trung vị Q₂. n chẵn nên Q₂ = (13 + 15) : 2 = 14.
Tìm Q₁. Q₁ là trung vị của nửa dưới 1; 11; 13, vậy Q₁ = 11.
Tìm Q₃. Q₃ là trung vị của nửa trên 15; 17; 21, vậy Q₃ = 17.
Tính ΔQ. ΔQ = 17 − 11 = 6.
Tính hai ngưỡng. Q₁ − 1,5ΔQ = 11 − 1,5 × 6 = 2; Q₃ + 1,5ΔQ = 17 + 1,5 × 6 = 26.
So sánh. Giá trị 1 nhỏ hơn 2 nên là giá trị bất thường. Các giá trị 11, 13, 15, 17, 21 đều nằm trong đoạn [2; 26].

Kết luận: giá trị bất thường của mẫu số liệu là 1.

Bảng tóm tắt

Đại lượng	Giá trị
Q₁	11
Q₂	14
Q₃	17
ΔQ	6
Ngưỡng dưới	2
Ngưỡng trên	26
Giá trị bất thường	1

Vì sao cần quan tâm giá trị bất thường?

Giá trị bất thường có thể do sai sót khi đo hoặc ghi chép, hoặc là một trường hợp đặc biệt thật sự. Khi có giá trị bất thường, số trung bình và khoảng biến thiên bị kéo lệch rất mạnh, trong khi trung vị và khoảng tứ phân vị ít bị ảnh hưởng. Vì vậy khi mẫu có giá trị bất thường, ta thường dùng trung vị và ΔQ để mô tả mẫu.

Giá trị bất thường ảnh hưởng thế nào đến các số đặc trưng?

Hãy so sánh mẫu có và không có số 1:

Đại lượng	Mẫu đủ 6 giá trị	Sau khi bỏ số 1
Số trung bình	78 : 6 = 13	77 : 5 = 15,4
Khoảng biến thiên R	21 − 1 = 20	21 − 11 = 10
Trung vị	14	15

Chỉ một giá trị 1 đã làm khoảng biến thiên tăng gấp đôi và kéo số trung bình xuống thấp. Trung vị thay đổi ít hơn. Đây là lí do khi dữ liệu có giá trị bất thường, người ta dùng trung vị và khoảng tứ phân vị để mô tả mẫu thay vì số trung bình và khoảng biến thiên.

Khi n là số lẻ thì làm thế nào?

Với mẫu 3; 5; 7; 9; 11 (n = 5), trung vị Q₂ = 7 là giá trị chính giữa. Nửa dưới gồm 3; 5, nên Q₁ = 4; nửa trên gồm 9; 11, nên Q₃ = 10. Trung vị 7 không được tính vào hai nửa. Từ đó ΔQ = 6 và ngưỡng là 4 − 9 = −5 và 10 + 9 = 19, nên mẫu này không có giá trị bất thường.

Liên hệ biểu đồ hộp

Trong biểu đồ hộp, các giá trị nằm ngoài khoảng [Q₁ − 1,5ΔQ; Q₃ + 1,5ΔQ] được đánh dấu riêng bằng một chấm hoặc dấu chéo, không nằm trong phần «râu» của biểu đồ. Ở bài này, số 1 sẽ là một chấm riêng nằm bên trái hộp.

Lỗi sai thường gặp

Không sắp xếp mẫu theo thứ tự tăng dần trước khi tìm tứ phân vị.
Khi n lẻ, quên loại hoặc không loại trung vị khi chia hai nửa; trong cách làm của sách giáo khoa, nếu n lẻ thì nửa dưới và nửa trên không chứa Q₂.
Dùng sai hệ số 1,5 (tức 3/2), chẳng hạn lấy 3 hoặc 2.
Nhầm giữa khoảng biến thiên R = x_max − x_min với khoảng tứ phân vị ΔQ.

Ví dụ luyện tập

Cho mẫu 2; 4; 5; 6; 7; 30. Tìm giá trị bất thường. Đáp án: Q₁ = 4, Q₃ = 7, ΔQ = 3; ngưỡng trên = 7 + 4,5 = 11,5; do 30 > 11,5 nên 30 là giá trị bất thường.
Cho mẫu 10; 12; 14; 15; 16; 18; 19; 21; 50. Tìm giá trị bất thường. Đáp án: Q₂ = 16, Q₁ = 13, Q₃ = 20, ΔQ = 7; ngưỡng dưới = 2,5, ngưỡng trên = 30,5; chỉ 50 là giá trị bất thường.
Mẫu 5; 6; 7; 8; 9 có giá trị bất thường không? Đáp án: Q₁ = 5,5, Q₃ = 8,5, ΔQ = 3, ngưỡng là 1 và 13; mọi giá trị đều nằm trong đoạn này nên không có giá trị bất thường.

Để học tiếp phần này, xem thêm giải SGK Toán 10 Bài 3 Cánh diều và bài tìm khoảng biến thiên của cùng mẫu số liệu 1, 11, 13, 15, 17, 21.

Câu hỏi thường gặp

Giá trị bất thường của mẫu số liệu 1, 11, 13, 15, 17, 21 là gì?

Là số 1, vì 1 nhỏ hơn ngưỡng dưới Q1 − 1,5ΔQ = 2.

Công thức xác định giá trị bất thường là gì?

Giá trị x là bất thường nếu x Q3 + 1,5ΔQ, trong đó ΔQ = Q3 − Q1.

Khoảng tứ phân vị của mẫu này bằng bao nhiêu?

ΔQ = Q3 − Q1 = 17 − 11 = 6.