Giải SGK Toán 10 Bài 11 (Kết nối tri thức): Tích vô hướng của hai vecto

Thảo Ngày: 23-08-2024 Lớp 10

8.4 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức với cuộc sống giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

1. Góc giữa hai vectơ

Giải Toán 10 trang 66 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ1 trang 66 Toán lớp 10: Trong hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ . Hãy tìm số đo các góc giữa $\vec{B C}$ và $\vec{B D}$ , $\vec{D A}$ và $\vec{D B}$ .

Luyện tập 1 trang 6 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lời giải:

Luyện tập 1 trang 6 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

Góc giữa hai vectơ $\vec{B C}$ và $\vec{B D}$ là góc CBD và số đo $\hat{C B D} = 30^{o}$ .

Góc giữa hai vectơ $\vec{D A}$ và $\vec{D B}$ là góc ADB.

Ta có: $\hat{A C B} = \hat{C B D} + \hat{C D B}$ (tính chất góc ngoài)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \hat{C D B} = 80^{o} - 30^{o} = 50^{o} \\ \Leftrightarrow \hat{A D B} = 50^{o} \end{array}$

Vậy số đo góc giữa hai vectơ $\vec{B C}$ và $\vec{B D}$ , $\vec{D A}$ và $\vec{D B}$ lần lượt là $30^{o}, 50^{o}$

Câu hỏi trang 66 Toán lớp 10: Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng $0^{o}$ , bằng $180^{o} ?$

Phương pháp giải:

Cách xác định góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$

Lấy điểm A bất kì vẽ $\vec{A B} = \vec{u}, \vec{A C} = \vec{v}$ , khi đó $(\vec{u}, \vec{v}) = (\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C}$

Lời giải:

Góc giữa hai vectơ bằng $0^{o}$ nếu chúng cùng hướng

Góc giữa hai vectơ bằng $180^{o}$ nếu chúng ngược hướng.

Luyện tập 1 trang 66 Toán lớp 10: Cho tam giác đều ABC. Tính $(\vec{A B}, \vec{B C})$ .

Phương pháp giải:

Lấy D sao cho: $\vec{A D} = \vec{B C}$ .

Khi đó: $(\vec{A B}, \vec{B C}) = (\vec{A B}, \vec{A D}) = \hat{B A D}$

Lời giải:

Câu hỏi trang 66 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lấy điểm D sao cho: $\vec{A D} = \vec{B C}$

Khi đó ta có: $(\vec{A B}, \vec{B C}) = (\vec{A B}, \vec{A D}) = \hat{B A D}$

Dễ thấy ABCD là hình bình hành (hơn nữa còn là hình thoi) nên $\hat{B A D} = 180^{o} - \hat{A B C} = 120^{o}$

Vậy số đo góc $(\vec{A B}, \vec{B C})$ là $120^{o}$ .

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Giải Toán 10 trang 67 Tập 1 Kết nối tri thức

Câu hỏi 1 trang 67 Toán lớp 10: Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương? Là một số âm?

Phương pháp giải:

+) Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ : $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Nhận xét: $\vec{u} . \vec{v}$ cùng dấu với $\cos (\vec{u}, \vec{v})$

Lời giải:

Dễ thấy: $\vec{u} . \vec{v}$ cùng dấu với $\cos (\vec{u}, \vec{v})$ (do $| \vec{u} | . | \vec{v} | > 0$ ). Do đó:

+) $\vec{u} . \vec{v} > 0$ $\Leftrightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) > 0$ hay $0^{o} \leq (\vec{u}, \vec{v}) < 90^{o}$

Luyện tập 1 trang 66 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

+) $\vec{u} . \vec{v} < 0$ $\Leftrightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) < 0$ hay $90^{o} < (\vec{u}, \vec{v}) \leq 180^{o}$

Vậy $\vec{u} . \vec{v} > 0$ nếu $0^{o} \leq (\vec{u}, \vec{v}) < 90^{o}$ và $\vec{u} . \vec{v} < 0$ nếu

Câu hỏi 2 trang 67 Toán lớp 10: Khi nào thì ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {(\vec{u})}^{2} . {(\vec{v})}^{2}$ ?

Phương pháp giải:

+) $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

+) ${\vec{u}}^{2} = {| \vec{u} |}^{2}$ với mọi vectơ $\vec{u}$

Lời giải:

${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {(\vec{u})}^{2} . {(\vec{v})}^{2}$ $\Leftrightarrow {[| \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})]}^{2} = {| \vec{u} |}^{2} . {| \vec{v} |}^{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {[\cos (\vec{u}, \vec{v})]}^{2} = 1 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \\ \cos (\vec{u}, \vec{v}) = - 1 \end{array} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{o} \\ (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{o} \end{array}$

Hay hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ cùng phương.

Vậy hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ cùng phương thì ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {(\vec{u})}^{2} . {(\vec{v})}^{2}$

Luyện tập 2 trang 67 Toán lớp 10: Cho tam giác AB C có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\vec{A B} . \vec{A C}$ theo a,b,c.

Phương pháp giải:

+) Tích vô hướng: $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Lời giải:

Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = | \vec{A B} | . | \vec{A C} | . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

Mà $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C}$ $\Rightarrow \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \cos \hat{B A C}$

Lại có: $\cos \hat{B A C} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ (suy ra từ định lí cosin)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} \\ \Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = c . b . \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} \\ \Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2} \end{array}$

3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

Giải Toán 10 trang 68 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ2 trang 68 Toán lớp 10: Cho hai vectơ cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (k x; k y)$ . Hãy kiểm tra công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ theo từng trường hợp sau:

a) $\vec{u} = \vec{0}$

b) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0$

c) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k < 0$

Phương pháp giải:

Tính tích vô hướng bằng công thức: $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Lời giải:

a) Vì $\vec{u} = \vec{0}$ nên $\vec{u}$ vuông góc với mọi $\vec{v}$ .

Như vậy $\vec{u} . \vec{v} = 0$

Mặt khác: $\vec{u} = \vec{0} \Leftrightarrow x = y = 0$

$\Rightarrow k (x^{2} + y^{2}) = 0 = \vec{u} . \vec{v}$

b) Vì $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0$ nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng hướng.

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) = 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{{(k x)}^{2} + {(k y)}^{2}} \\ = \sqrt{x^{2} + y^{2}} . | k | . \sqrt{x^{2} + y^{2}} = k (x^{2} + y^{2}) \end{array}$

(|k|= k do k > 0)

c) Vì $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k < 0$ nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ ngược hướng.

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) = - 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = - | \vec{u} | . | \vec{v} | = - \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{{(k x)}^{2} + {(k y)}^{2}} \\ = - \sqrt{x^{2} + y^{2}} . | k | . \sqrt{x^{2} + y^{2}} = k (x^{2} + y^{2}) . \end{array}$

HĐ3 trang 68 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ .

a) Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho $\vec{O A} = \vec{u}, \vec{O B} = \vec{v} .$

b) Tính $A B^{2}, O A^{2}, O B^{2}$ theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\vec{O A} . \vec{O B}$ theo tọa độ của A, B.

Lời giải:

a) Vì $\vec{O A} = \vec{u} = (x; y)$ nên A(x; y).

Tương tự: do $\vec{O B} = \vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ nên B (x’; y’)

b) Ta có: $\vec{O A} = (x; y) \Rightarrow O A^{2} = {| \vec{O A} |}^{2} = x^{2} + y^{2} .$

Và $\vec{O B} = (x^{'}; y^{'}) \Rightarrow O B^{2} = {| \vec{O B} |}^{2} = x^{' 2} + y^{' 2} .$

Lại có: $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (x^{'}; y^{'}) - (x; y) = (x^{'} - x; y^{'} - y)$

$\Rightarrow A B^{2} = {| \vec{A B} |}^{2} = {(x^{'} - x)}^{2} + {(y^{'} - y)}^{2} .$

c) Theo định lí cosin trong tam giác OAB ta có:

$\cos \hat{O} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B}$

Mà $\vec{O A} . \vec{O B} = | \vec{O A} | . | \vec{O B} | . \cos (\vec{O A}, \vec{O B}) = O A . O B . \cos \hat{O}$

$\Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = O A . O B . \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = \frac{x^{2} + y^{2} + x^{' 2} + y^{' 2} - {(x^{'} - x)}^{2} - {(y^{'} - y)}^{2}}{2} \\ \Leftrightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = \frac{- (- 2 x^{'} . x) - (- 2 y^{'} . y)}{2} = x^{'} . x + y^{'} . y \end{array}$

Luyện tập 3 trang 68 Toán lớp 10: Tích vô hướng và góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (0; - 5), \vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$

Phương pháp giải:

Cho $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ , khi đó: $\vec{u} . \vec{v} = x . x^{'} + y . y^{'}$

Lời giải:

Ta có: $\vec{u} = (0; - 5), \vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0. \sqrt{3} + (- 5) .1 = - 5.$

HĐ4 trang 68 Toán lớp 10: Cho ba vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}), \vec{v} = (x_{2}; y_{2}), \vec{w} = (x_{3}; y_{3}) .$

a) Tính $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}), \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ theo tọa độ của các vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} .$

b) So sánh $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w})$ và $\vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$

c) So sánh $\vec{u} . \vec{v}$ và $\vec{v} . \vec{u}$

Phương pháp giải:

Cho $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ , khi đó: $\vec{u} . \vec{v} = x . x^{'} + y . y^{'}$

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}), \vec{v} = (x_{2}; y_{2}), \vec{w} = (x_{3}; y_{3}) .$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{v} + \vec{w} = (x_{2}; y_{2}) + (x_{3}; y_{3}) = (x_{2} + x_{3}; y_{2} + y_{3}) \\ \Rightarrow \vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = x_{1} . (x_{2} + x_{3}) + y_{1} . (y_{2} + y_{3}) \end{array}$

Và: $\vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} = (x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}) + (x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3})$ $= x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3} .$

b) Vì $x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$ $= (x_{1} . x_{2} + x_{1} . x_{3}) + (y_{1} . y_{2} + y_{1} . y_{3})$ $= x_{1} . (x_{2} + x_{3}) + y_{1} . (y_{2} + y_{3})$

Nên $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$

c) Ta có: $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}), \vec{v} = (x_{2}; y_{2})$

$\Rightarrow {\begin{cases} \vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} \\ \vec{v} . \vec{u} = x_{2} . x_{1} + y_{2} . y_{1} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u}$

Giải Toán 10 trang 70 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 4 trang 70 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

HĐ4 trang 68 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

a) $\vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0$

b) Lập hệ PT biết $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ .

c) Nếu vectơ $\vec{A B} (x; y)$ thì $| \vec{A B} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Lời giải:

HĐ4 trang 68 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

a) $A H ⊥ B C$ và $B H ⊥ C A$

$\Rightarrow (\vec{A H}, \vec{B C}) = 90^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{A H}, \vec{B C}) = 0$ . Do đó $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$

Tương tự suy ra $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ .

b) Gọi H có tọa độ (x; y)

$\Rightarrow {\begin{cases} \vec{A H} = (x - (- 1); y - 2) = (x + 1; y - 2) \\ \vec{B H} = (x - 8; y - (- 1)) = (x - 8; y + 1) \end{cases}$

Ta có: $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B C} = (8 - 8; 8 - (- 1)) = (0; 9)$

$(x + 1) .0 + (y - 2) .9 = 0 \Leftrightarrow 9. (y - 2) = 0 \Leftrightarrow y = 2.$

Lại có: $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ và $\vec{C A} = (- 1 - 8; 2 - 8) = (- 9; - 6)$

$\begin{array}{l} (x - 8) . (- 9) + (y + 1) . (- 6) = 0 \\ \Leftrightarrow - 9 x + 72 + 3. (- 6) = 0 \\ \Leftrightarrow - 9 x + 54 = 0 \\ \Leftrightarrow x = 6. \end{array}$

Vậy H có tọa độ (6; 2)

c) Ta có: $\vec{A B} = (8 - (- 1); - 1 - 2) = (9; - 3)$ $\Rightarrow A B = | \vec{A B} | = \sqrt{9^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{10}$

Và $\vec{B C} = (0; 9) \Rightarrow B C = | \vec{B C} | = \sqrt{0^{2} + 9^{2}} = 9$ ;

$\vec{C A} = (- 9; - 6)$ $\Rightarrow A C = | \vec{C A} | = \sqrt{{(- 9)}^{2} + {(- 6)}^{2}} = 3 \sqrt{13} .$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$\cos \hat{A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{{(3 \sqrt{13})}^{2} + {(3 \sqrt{10})}^{2} - {(9)}^{2}}{2.3 \sqrt{13} .3 \sqrt{10}} \approx 0, 614$ $\Rightarrow \hat{A} \approx 52, 125^{o}$

$\cos \hat{B} = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} = \frac{{(9)}^{2} + {(3 \sqrt{10})}^{2} - {(3 \sqrt{13})}^{2}}{2.9.3 \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ $\Rightarrow \hat{B} \approx 71, 565^{o}$

$\Rightarrow \hat{C} \approx 56, 31^{o}$

Vậy tam giác ABC có: $a = 9; b = 3 \sqrt{13}; c = 3 \sqrt{10}$ ; $\hat{A} \approx 52, 125^{o}; \hat{B} \approx 71, 565^{o}; \hat{C} \approx 56, 31^{o} .$

Vận dụng trang 70 Toán lớp 10: Một lực $\vec{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực $\vec{F}$ được phân tích thành hai lực thành phần là $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ $(\vec{F} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}) .$

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực $\vec{F}$ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ .

b) Giả sử các lực thành phần $\vec{F_{1}}$ , $\vec{F_{2}}$ tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực $\vec{F}$ và lực $\vec{F_{1}}$ .

Luyện tập 4 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Khi lực $\vec{F}$ không đổi tác dụng lên một vật và điểm đặt chuyển dời một đoạn s theo hướng hợp với hướng của lực góc α thì công sinh bởi lực đó là: $A = F . s . \cos α$

Lời giải:

Luyện tập 4 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

Gọi $A, A_{1}, A_{2}$ lần lượt là công sinh bởi lực $\vec{F}$ , $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ .

Ta cần chứng minh: $A = A_{1} + A_{2}$

Xét lực $\vec{F}$ , công sinh bởi lực $\vec{F}$ là: $A = | \vec{F} | . A B . \cos (\vec{F}, \vec{A B}) = \vec{F} . \vec{A B}$

Tương tự, ta có: $A_{1} = \vec{F_{1}} . \vec{A B}$ , $A_{2} = \vec{F_{2}} . \vec{A B}$

Áp dụng tính chất của tích vô hướng ta có:

$A_{1} + A_{2} = \vec{F_{1}} . \vec{A B} + \vec{F_{2}} . \vec{A B} = (\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}) . \vec{A B} = \vec{F} . \vec{A B} = A$

Luyện tập 4 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 3)

Vì $\vec{F_{2}}$ tương ứng vuông góc với phương chuyển động nên $\vec{F_{2}} ⊥ \vec{A B}$

Do đó: công sinh bởi lực $\vec{F_{2}}$ là: $A_{2} = \vec{F_{2}} . \vec{A B} = 0$

Mà $A = A_{1} + A_{2}$

$\Rightarrow A = A_{1}$

Vậy công sinh bởi lực $\vec{F}$ bằng công sinh bởi lực $\vec{F_{1}}$ .

Bài tập

Bài 4.21 trang 70 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{a} = (- 3; 1), \vec{b} = (2; 6)$

b) $\vec{a} = (3; 1), \vec{b} = (2; 4)$

c) $\vec{a} = (- \sqrt{2}; 1), \vec{b} = (2; - \sqrt{2})$

Phương pháp giải:

Tính góc giữa hai vectơ dựa vào tích vô hướng: $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$

Lời giải:

$\vec{a} . \vec{b} = (- 3) .2 + 1.6 = 0$

$\Rightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$ hay $(\vec{a}, \vec{b}) = 90^{o}$ .

${\begin{cases} \vec{a} . \vec{b} = 3.2 + 1.4 = 10 \\ | \vec{a} | = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}; | \vec{b} | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{10}{\sqrt{10} .2 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 45^{o} \end{array}$

c) Dễ thấy: $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương do $\frac{- \sqrt{2}}{2} = \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Hơn nữa: $\vec{b} = (2; - \sqrt{2}) = - \sqrt{2} . (- \sqrt{2}; 1) = - \sqrt{2} . \vec{a}$ ; $- \sqrt{2} < 0$

Do đó: $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 180^{o}$

Chú ý:

Khi tính góc, ta kiểm tra các trường hợp dưới đây trước:

+ $(\vec{a}, \vec{b}) = 90^{o}$ : nếu $\vec{a} . \vec{b} = 0$

+ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương:

$(\vec{a}, \vec{b}) = 0^{o}$ nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng

$(\vec{a}, \vec{b}) = 0^{o}$ nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng

Nếu không thuộc các trường hợp trên thì ta tính góc dựa vào công thức $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$

Bài 4.22 trang 70 Toán lớp 10: Tìm điều kiện của $\vec{u}, \vec{v}$ để:

a) $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} |$

b) $\vec{u} . \vec{v} = - | \vec{u} | . | \vec{v} |$

Phương pháp giải:

Tích vô hướng $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Lời giải:

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v}) = | \vec{u} | . | \vec{v} |$

$\Rightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{o}$

Nói cách khác: $\vec{u}, \vec{v}$ cùng hướng.

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v}) = - | \vec{u} | . | \vec{v} |$

$\Rightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) = - 1 \Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{o}$

Nói cách khác: $\vec{u}, \vec{v}$ ngược hướng.

Bài 4.23 trang 70 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2), B(-4; 3). Gọi M (t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $\vec{A M} . \vec{B M}$ theo t.

b) Tính t để $\hat{A M B} = 90^{o}$

Phương pháp giải:

+) Nếu vecto $\vec{A M} (x; y)$ và $\vec{B M} (a; b)$ thì $\vec{A M} . \vec{B M} = x a + y b$

+) $\hat{A M B} = 90^{o} \Leftrightarrow A M ⊥ B M$

Lời giải:

Bài 4.22 trang 70 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có: A (1; 2), B(-4; 3) và M (t; 0)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{A M} = (t - 1; - 2), \vec{B M} = (t + 4; - 3) \\ \Rightarrow \vec{A M} . \vec{B M} = (t - 1) (t + 4) + (- 2) (- 3) \\ = t^{2} + 3 t + 2. \end{array}$

Để $\hat{A M B} = 90^{o}$ hay $A M ⊥ B M$ thì $\vec{A M} . \vec{B M} = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow t^{2} + 3 t + 2 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = - 2 \end{array} \end{array}$

Vậy t = -1 hoặc t = -2 thì $\hat{A M B} = 90^{o}$

Bài 4.24 trang 70 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A (-4; 1), B (2;4), C (2; -2)

a) Giải tam giác

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a) Độ dài vectơ $\vec{A B} (x; y)$ là $| \vec{A B} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

b) Chỉ ra $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ từ đó tìm tọa độ của H.

Lời giải:

a) Ta có:

${\begin{cases} \vec{A B} = (2 - (- 4); 4 - 1) = (6; 3) \\ \vec{B C} = (2 - 2; - 2 - 4) = (0; - 6) \\ \vec{A C} = (2 - (- 4); - 2 - 1) = (6; - 3) \end{cases}$ $\Rightarrow {\begin{cases} A B = | \vec{A B} | = \sqrt{6^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{5} \\ B C = | \vec{B C} | = \sqrt{0^{2} + {(- 6)}^{2}} = 6 \\ A C = | \vec{C A} | = \sqrt{6^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{5} . \end{cases}$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$\cos \hat{A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{{(3 \sqrt{5})}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2} - {(6)}^{2}}{2.3 \sqrt{5} .3 \sqrt{5}} = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \hat{A} \approx 53, 13^{o}$

$\cos \hat{B} = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} = \frac{{(6)}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2} - {(3 \sqrt{5})}^{2}}{2.6.3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ $\Rightarrow \hat{B} \approx 63, 435^{o}$

$\Rightarrow \hat{C} \approx 63, 435^{o}$

Vậy tam giác ABC có: $a = 6; b = 3 \sqrt{5}; c = 3 \sqrt{5}$ ; $\hat{A} \approx 53, 13^{o}; \hat{B} = \hat{C} \approx 63, 435^{o} .$

Gọi H có tọa độ (x; y)

$\Rightarrow {\begin{cases} \vec{A H} = (x - (- 4); y - 1) = (x + 4; y - 1) \\ \vec{B H} = (x - 2; y - 4) \end{cases}$

Lại có: H là trực tâm tam giác ABC

$\Rightarrow A H ⊥ B C$ và $B H ⊥ A C$

$\Rightarrow (\vec{A H}, \vec{B C}) = 90^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{A H}, \vec{B C}) = 0$ và $(\vec{B H}, \vec{A C}) = 90^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{B H}, \vec{A C}) = 0$

Do đó $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{A C} = \vec{0}$ .

Mà: $\vec{B C} = (0; - 6)$

$\Rightarrow (x + 4) .0 + (y - 1) . (- 6) = 0 \Leftrightarrow - 6. (y - 1) = 0 \Leftrightarrow y = 1.$

Và $\vec{A C} = (6; - 3)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 2) .6 + (y - 4) . (- 3) = 0 \\ \Leftrightarrow 6 x - 12 + (- 3) . (- 3) = 0 \\ \Leftrightarrow 6 x - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} . \end{array}$

Vậy H có tọa độ $(1; \frac{1}{2})$

Bài 4.25 trang 70 Toán lớp 10: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}} .$

Phương pháp giải:

Biến đổi vế trái, đưa về công thức $S_{A B C} = \frac{1}{2} b c . \sin A$

+) $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

+) $\sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α$ với mọi $α$ .

Lời giải:

Đặt $A = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} . A C^{2} - {(A B . A C . \cos A)}^{2}} \\ \Leftrightarrow A = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} . A C^{2} (1 - \cos^{2} A)} \end{array}$

Mà $1 - \cos^{2} A = \sin^{2} A$

$\Rightarrow A = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} . A C^{2} . \sin^{2} A}$

$\Leftrightarrow A = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin A$ (Vì $0^{o} < \hat{A} < 180^{o}$ nên $\sin A > 0$ )

Do đó $A = S_{A B C}$ hay $S_{A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}} .$ (đpcm)

Bài 4.26 trang 70 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

$M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

Phương pháp giải:

+) $M A^{2} = {\vec{M A}}^{2}$

+) Với 3 điểm M, A, G bất kì ta có: $\vec{M G} + \vec{G A} = \vec{M A}$

+) G là trọng tâm tam giác ABC thì: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2} \\ = {(\vec{M G} + \vec{G A})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G B})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G C})}^{2} \\ = {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G A} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G B} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G C} + {\vec{G C}}^{2} \\ = 3 {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2} \\ = 3 {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{0} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2} \end{array}$

( do G là trọng tâm tam giác ABC)

$\begin{array}{l} = 3 {\vec{M G}}^{2} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2} \\ = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} \end{array}$ (đpcm)

Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ khác $\vec{0}$ . Từ một điểm A tùy ý, vẽ các vectơ $\vec{A B} = \vec{u}$ và $\vec{A C} = \vec{v}$ . Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ hay đơn giản là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , kí hiệu là ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ).

Chú ý :

+ Quy ước rằng góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{0}$ có thể nhận một giá trị tùy ý từ 0° đến 180°.

+ Nếu ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 90° thì ta nói rằng $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau. Kí hiệu $\vec{u}$ ⊥ $\vec{v}$ hoặc $\vec{v}$ ⊥ $\vec{u}$ . Đặc biệt được coi là vuông góc với mọi vectơ.

Ví dụ : Cho tam giác ABC vuông tại A và $\hat{B} = 30 °$ . Tính $(\vec{A B}, \vec{A C})$ , $(\vec{C A}, \vec{C B})$ , $(\vec{A B}, \vec{B C})$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $(\vec{A B}, \vec{A C})$ = $\hat{B A C} = 90 °$ .

Tam giác ABC vuông tại A nên ta có .

$\hat{A C B} + \hat{A B C} = 90 ° \Rightarrow \hat{A C B} = 90 ° - \hat{A B C} = 90 ° - 30 ° = 60 °$

Suy ra: $(\vec{C A}, \vec{C B}) = \hat{A C B} = 60 °$ .

Vẽ $\vec{B D}$ sao cho $\vec{B D}$ = $\vec{A B}$ . Khi đó $(\vec{A B}, \vec{B C})$ = $(\vec{B D}, \vec{B C})$ = $\hat{C B D}$ .

Mặt khác $\hat{A B C} + \hat{C B D} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\hat{C B D} = 180 ° - \hat{A B C} = 180 ° - 30 ° = 150 °$ .

Do đó, $(\vec{A B}, \vec{B C})$ = $\hat{C B D}$ = 150°.

Vậy $(\vec{A B}, \vec{A C})$ = 90°, $(\vec{C A}, \vec{C B})$ = 60°, $(\vec{A B}, \vec{B C})$ = 150°.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là một số, kí hiệu là $\vec{u}$ . $\vec{v}$ , được xác định bởi công thức sau:

$\vec{u}$ . $\vec{v}$ = | $\vec{u}$ |.| $\vec{v}$ |.cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ )

Chú ý:

+) $\vec{u}$ ⊥ $\vec{v}$ ⇔ $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = 0.

+) $\vec{u}$ . $\vec{u}$ còn được viết là ${\vec{u}}^{2}$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\vec{u}$ .

Ta có ${\vec{u}}^{2} = | \vec{u} | . | \vec{u} | . \cos 0 ° = {(\vec{u})}^{2}$ .

(Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.)

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2 và có đường cao AH. Tính các tích vô hướng:

a) $\vec{A B} . \vec{A C}$ ;

b) $\vec{A H} . \vec{B C}$ .

Hướng dẫn giải

Lý thuyết Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

a) Vì tam giác ABC đều nên $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C} = 60 °$ .

Suy ra: $\vec{A B} . \vec{A C} = | \vec{A B} | . | \vec{A C} | \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = 2.2. \cos 60 ° = 2.2. \frac{1}{2} = 2$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C}$ = 2.

b) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

Do đó $(\vec{A H}, \vec{B C}) = 90 °$ .

Ta có: $\vec{A H} . \vec{B C} = | \vec{A H} | . | \vec{B C} | \cos (\vec{A H}, \vec{B C}) = | \vec{A H} | . | \vec{B C} | \cos 90 ° = | \vec{A H} | . | \vec{B C} | .0 = 0$ .

Vậy $\vec{A H} . \vec{B C}$ = 0.

3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

• Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x'; y')$ được tính theo công thức :

$\vec{u}$ . $\vec{v}$ = x.x' + y.y'.

Nhận xét:

+ Hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi x.x' + y.y' = 0.

+ Bình phương vô hướng của $\vec{u} = (x; y)$ là ${\vec{u}}^{2}$ = x² + y².

+ Nếu $\vec{u}$ ≠ $\vec{0}$ và $\vec{v}$ ≠ $\vec{0}$ thì cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = $\frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |} = \frac{x x' + y y'}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{x'^{2} + y'^{2}}}$ .

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ $\vec{u} = (0; - 5)$ và $\vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$ .

a) Tính tích vô hướng của hai vectơ trên.

b) Tìm góc giữa của hai vectơ trên.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = 0. $\sqrt{3}$ + (–5).1= –5;

Vậy $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = –5.

b) Ta có $| \vec{u |} = \sqrt{0^{2} + {(- 5)}^{2}} = 5$ ; $| \vec{v} | = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2}} = 2$

Suy ra : cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = $\frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |} = \frac{- 5}{5.2} = \frac{- 5}{10} = \frac{- 1}{2}$ .

Suy ra ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 120°.

Vậy ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 120°.

• Tính chất của tích vô hướng :

Với ba vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ bất kì và mọi số thực k, ta có :

+) $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = $\vec{v}$ . $\vec{u}$ (tính chất giao hoán);

+) $\vec{u}$ . ( $\vec{v}$ + $\vec{w}$ ) = $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + $\vec{u}$ . $\vec{w}$ (tính chất phân phối đối với phép cộng) ;

+) (k $\vec{u}$ ). $\vec{v}$ = k ( $\vec{u}$ . $\vec{v}$ ) = $\vec{u}$ .( k $\vec{v}$ ).

Chú ý: Từ tính trên, ta có thể chứng minh được :

$\vec{u}$ . ( $\vec{v}$ – $\vec{w}$ )= $\vec{u}$ . $\vec{v}$ – $\vec{u}$ . $\vec{w}$ (tính chất phân phối đối với phép trừ) ;

( $\vec{u}$ + $\vec{v}$ )² = ${\vec{u}}^{2}$ + 2 $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + ${\vec{v}}^{2}$ ; ( $\vec{u}$ – $\vec{v}$ )² = ${\vec{u}}^{2}$ –2 $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + ${\vec{v}}^{2}$ ;