Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức: Giải chuyên đề học tập đầy đủ

Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức gồm những gì?

Khác với sách giáo khoa chính (Tập 1, Tập 2), Chuyên đề học tập là phần nâng cao, dành cho học sinh muốn học sâu hơn hoặc thi theo định hướng khối tự nhiên. Ba chuyên đề này cũng là nền tảng cho Đại số tổ hợp, hình học giải tích ở lớp 11 và 12.

• Chuyên đề 1: giải hệ ba phương trình ba ẩn và dùng nó để giải bài toán thực tế.
• Chuyên đề 2: chứng minh mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n, khai triển lũy thừa của một tổng.
• Chuyên đề 3: elip, hypebol, parabol trong mặt phẳng tọa độ.

Mục lục giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức

Chuyên đề 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

• Bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
• Bài 2: Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
• Bài tập cuối chuyên đề 1

Chuyên đề 2: Phương pháp quy nạp toán học. Nhị thức Newton

• Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học
• Bài 4: Nhị thức Newton
• Bài tập cuối chuyên đề 2

Chuyên đề 3: Ba đường conic và ứng dụng

• Bài 5: Elip
• Bài 6: Hypebol
• Bài 7: Parabol
• Bài 8: Sự thống nhất giữa ba đường conic
• Bài tập cuối chuyên đề 3

Chuyên đề 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Hệ có dạng ba phương trình mà mỗi phương trình là ax + by + cz = d. Cách làm chủ đạo là khử dần ẩn (phương pháp Gauss): dùng một phương trình để rút một ẩn, thế vào hai phương trình còn lại, đưa về hệ hai ẩn rồi giải tiếp.

Ví dụ. Giải hệ: x + y + z = 6; 2x − y + z = 3; x + 2y − z = 2.

1. Từ phương trình đầu: z = 6 − x − y.
2. Thế vào phương trình hai: 2x − y + 6 − x − y = 3, tức x − 2y = −3.
3. Thế vào phương trình ba: x + 2y − 6 + x + y = 2, tức 2x + 3y = 8.
4. Từ x = 2y − 3 suy ra 4y − 6 + 3y = 8, nên y = 2, x = 1, z = 3.

Thử lại: 1 + 2 + 3 = 6; 2 − 2 + 3 = 3; 1 + 4 − 3 = 2. Nghiệm (1; 2; 3) thỏa cả ba phương trình.

Ứng dụng (ví dụ tự đặt). Tìm parabol y = ax² + bx + c đi qua A(1; 2), B(−1; 6), C(2; 3). Ta có hệ a + b + c = 2; a − b + c = 6; 4a + 2b + c = 3. Trừ hai phương trình đầu được b = −2; khi đó a + c = 4 và 4a + c = 7, suy ra a = 1, c = 3. Parabol cần tìm là y = x² − 2x + 3. Mọi bài toán “tìm đa thức qua ba điểm”, “pha trộn ba loại hàng”, “phân bổ ngân sách” đều quy về bước đặt ẩn rồi lập hệ như vậy.

Lỗi hay gặp: khi nhân cả phương trình với một số, quên nhân vế phải; đặt ẩn nhưng không ghi đơn vị và điều kiện (ví dụ số lượng phải là số không âm).

Chuyên đề 2: Quy nạp toán học và nhị thức Newton

Phương pháp quy nạp

Để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ n₀, làm hai bước:

• Bước cơ sở: kiểm tra P(n₀) đúng.
• Bước quy nạp: giả sử P(k) đúng với k ≥ n₀ (giả thiết quy nạp), chứng minh P(k + 1) đúng.

Ví dụ. Chứng minh 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6.

Với n = 1: vế trái bằng 1, vế phải bằng 1·2·3/6 = 1, đúng. Giả sử đúng với n = k. Cộng thêm (k + 1)² vào hai vế:

k(k + 1)(2k + 1)/6 + (k + 1)² = (k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)]/6 = (k + 1)(2k² + 7k + 6)/6 = (k + 1)(k + 2)(2k + 3)/6.

Đây đúng là biểu thức với n = k + 1, nên công thức đúng với mọi n ≥ 1.

Mẹo: luôn viết rõ “vế phải của P(k + 1) phải ra dạng nào” trước khi biến đổi, để biết đích đến. Quên bước cơ sở là lỗi khiến bài mất điểm nhiều nhất.

Nhị thức Newton

(a + b)ⁿ = C_n⁰aⁿ + C_n¹aⁿ⁻¹b + … + C_nⁿbⁿ. Số hạng tổng quát là C_n^ka^n−kb^k, gồm n + 1 số hạng.

Ví dụ. Tìm hệ số của x³ trong khai triển (2x + 1)⁵. Số hạng chứa x³ ứng với k = 3: C₅³·(2x)³·1² = 10·8·x³ = 80x³. Hệ số là 80.

Lỗi hay gặp: quên lũy thừa hóa cả hệ số (viết 2x³ thay vì 8x³); nhầm dấu khi khai triển (a − b)ⁿ (dấu đan xen +, −).

Chuyên đề 3: Ba đường conic và ứng dụng

Elip, hypebol, parabol đều là giao của mặt nón với một mặt phẳng, và đều có thể định nghĩa qua tiêu điểm. Hình dưới minh họa mối liên hệ a, b, c của elip, thứ học sinh hay nhầm nhất.

Đường	Phương trình chính tắc	Quan hệ	Tiêu điểm	Tâm sai e
Elip	x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0)	c² = a² − b²	F1(−c; 0), F2(c; 0)	e = c/a < 1
Hypebol	x²/a² − y²/b² = 1	c² = a² + b²	F1(−c; 0), F2(c; 0)	e = c/a > 1
Parabol	y² = 2px (p > 0)	không có	F(p/2; 0)	e = 1

Mẹo nhớ: elip có dấu “+” thì c² = a² − b² (c nhỏ hơn a); hypebol có dấu “−” thì c² = a² + b² (c lớn hơn a). Dấu của phương trình ngược với dấu trong quan hệ c.

Ví dụ ba đường

• Elip x²/25 + y²/9 = 1: a = 5, b = 3, c = √(25 − 9) = 4. Tiêu điểm (±4; 0), tiêu cự 8, độ dài trục lớn 10, e = 4/5.
• Hypebol x²/16 − y²/9 = 1: a = 4, b = 3, c = √(16 + 9) = 5. Tiêu điểm (±5; 0), tiệm cận y = ±(3/4)x, e = 5/4.
• Parabol y² = 8x: 2p = 8 nên p = 4. Tiêu điểm F(2; 0), đường chuẩn x = −2.

Bài 8 gom cả ba về một định nghĩa: tập hợp điểm M có tỉ số MF / d(M, Δ) = e không đổi. Khi e < 1 là elip, e = 1 là parabol, e > 1 là hypebol. Phần ứng dụng (gương parabol, quỹ đạo hành tinh, tháp làm mát hình hypebol) thường xuất hiện trong bài tập cuối chuyên đề.

Lộ trình học Chuyên đề Toán 10 hiệu quả

1. Đọc kiến thức trọng tâm trong tổng hợp lý thuyết Toán 10 Kết nối tri thức.
2. Tự làm bài trong sách trước, sau đó mới đối chiếu lời giải từng bài ở mục lục trên.
3. Làm bài tập cuối mỗi chuyên đề để kiểm tra khả năng tổng hợp.
4. Luyện thêm ở giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức và trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức.

Phần chương trình chính xem tại giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức; muốn ôn thi có thể tham khảo đề thi Toán 10 Kết nối tri thức và chuyên đề dạy thêm Toán 10.

Bài luyện tập tự kiểm tra

1. Giải hệ x + y + z = 3; x − y + 2z = 5; 2x + y − z = 0.
2. Tìm hệ số của x² trong khai triển (x + 3)⁴.
3. Tìm tiêu điểm và tâm sai của elip x²/13 + y²/4 = 1… hãy thử với x²/25 + y²/16 = 1.

Đáp án.

1. Cộng phương trình 1 và 3: 3x = 3 nên x = 1. Khi đó y + z = 2 và −y + 2z = 4, cộng lại: 3z = 6, z = 2, y = 0. Nghiệm (1; 0; 2). Thử lại phương trình ba: 2 + 0 − 2 = 0 đúng.
2. Số hạng chứa x² ứng với x²·3²: C₄²·9 = 6·9 = 54.
3. Với x²/25 + y²/16 = 1: a = 5, b = 4, c = 3. Tiêu điểm (±3; 0), tâm sai e = 3/5.

Câu hỏi thường gặp

Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức có bao nhiêu chuyên đề?

Có 3 chuyên đề: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn; Phương pháp quy nạp toán học và Nhị thức Newton; Ba đường conic và ứng dụng. Mỗi chuyên đề có các bài học và một bài tập cuối chuyên đề.

Chuyên đề học tập Toán 10 có bắt buộc học không?

Đây là phần học tập tự chọn theo định hướng nghề nghiệp, nội dung do nhà trường và giáo viên bố trí. Học sinh định thi khối tự nhiên nên học kỹ vì kiến thức nền cho lớp 11, 12.

Học bài Elip, Hypebol, Parabol thế nào cho nhanh nhớ?

Nhớ bảng ba đường, đặc biệt quan hệ c² = a² − b² với elip và c² = a² + b² với hypebol. Sau đó luyện cách xác định a, b, c, tiêu điểm, tâm sai từ phương trình cho trước.

Khi dùng quy nạp toán học, lỗi nào hay mất điểm nhất?

Thường là bỏ bước cơ sở hoặc không dùng giả thiết quy nạp trong bước chuyển từ k sang k + 1. Hãy ghi rõ cả hai bước và nêu kết luận cuối bài.

Bài học liên quan

• Giải SGK Toán 10 Bài 10 (Kết nối tri thức): Vectơ trong mặt phẳng tọa độ
• Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác Toán 10 Kết nối tri thức
• Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo: Giải bài tập Chuyên đề học tập
• Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ (Chân trời sáng tạo) Toán 10
• Cho hình vuông ABCD cạnh a, tính P = AC·(CD + CA)
• Lý thuyết Các số đặc trưng đo độ phân tán – Toán 10 Kết nối tri thức