HĐ3 trang 57 Toán 10 tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Thảo Ngày: 23-08-2024 Lớp 10

1.3 K

Với giải HĐ3 trang 57 Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống trong Bài 9: Tích của một vecto với một số giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vecto với một số

HĐ3 trang 57 Toán lớp 10: Với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ có cùng độ dài bằng $| k t | . | \vec{u} |$

b) Nếu $k t \geq 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$

c) Nếu $k t < 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$

d) Hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ bằng nhau.

Phương pháp giải:

Vecto $k \vec{a}$ (với $k > 0, \vec{a} \neq \vec{0}$ ) cùng hướng với vecto $\vec{a}$ và có độ đài bằng $k | \vec{a} |$ .

Vecto $k \vec{a}$ (với $k < 0, \vec{a} \neq \vec{0}$ ) ngược hướng với vecto $\vec{a}$ và có độ đài bằng $| k | | \vec{a} |$ .

Lời giải:

a) Hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ có cùng độ dài bằng $| k t | . | \vec{u} |$

Ta có: $| t \vec{u} | = | t | | \vec{u} | \Rightarrow | k (t \vec{u}) | = | k | | (t \vec{u}) | = | k | . | t | | \vec{u} | = | k t | | \vec{u} |$

Và $| (k t) \vec{u} | = | k t | | \vec{u} |$

null

b) Nếu $k t \geq 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $k \geq 0, t \geq 0$

Vecto $k (t \vec{u})$ cùng hướng với vecto $t \vec{u}$ (vì $k \geq 0$ ), mà vecto $t \vec{u}$ cùng hướng với vecto $\vec{u}$ (vì $t \geq 0$ )

Do đó vecto $k (t \vec{u})$ cùng hướng với vecto $\vec{u}$ .

Trường hợp 2: $k < 0, t < 0$

Vecto $k (t \vec{u})$ ngược hướng với vecto $t \vec{u}$ (vì $k < 0$ ), mà vecto $t \vec{u}$ ngược hướng với vecto $\vec{u}$ (vì $t < 0$ )

Do đó vecto $k (t \vec{u})$ cùng hướng với vecto $\vec{u}$ .

Vậy vecto $k (t \vec{u})$ luôn cùng hướng với vecto $\vec{u}$ nếu $k t \geq 0$ .

Lại có: $k t \geq 0$ nên $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$

Vậy $k t \geq 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$

c) Nếu $k t < 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $k > 0, t < 0$

Vecto $k (t \vec{u})$ cùng hướng với vecto $t \vec{u}$ (vì $k > 0$ ), mà vecto $t \vec{u}$ ngược hướng với vecto $\vec{u}$ (vì $t < 0$ )

Do đó vecto $k (t \vec{u})$ ngược hướng với vecto $\vec{u}$ .

Trường hợp 2: $k < 0, t > 0$

Vecto $k (t \vec{u})$ ngược hướng với vecto $t \vec{u}$ (vì $k < 0$ ), mà vecto $t \vec{u}$ cùng hướng với vecto $\vec{u}$ (vì $t > 0$ )

Do đó vecto $k (t \vec{u})$ ngược hướng với vecto $\vec{u}$ .

Vậy vecto $k (t \vec{u})$ luôn ngược hướng với vecto $\vec{u}$ nếu $k t < 0$ .

Lại có: $k t < 0$ nên $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$

Vậy $k t < 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$

Từ ý b) và c), ra suy ra hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ luôn cùng hướng.

Theo câu a) ta có: $| k (t \vec{u}) | = | (k t) \vec{u} | = | k t | | \vec{u} |$

$\Rightarrow$ Hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ bằng nhau

Lý thuyết Các tính chất của phép nhân vectơ với một số

Với hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ và hai số thực k, t, ta luôn có :

+) k(t $\vec{a}$ ) = (kt) $\vec{a}$ ;

+) k ( $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ) = k $\vec{a}$ + k $\vec{b}$ ; k ( $\vec{a}$ – $\vec{b}$ ) = k $\vec{a}$ – k $\vec{b}$ ;

+) (k + t) $\vec{a}$ = k $\vec{a}$ + t $\vec{a}$ ;

+) 1 $\vec{a}$ = $\vec{a}$ ; (–1) $\vec{a}$ = – $\vec{a}$ .

Nhận xét:

Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ .

Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Ví dụ:

a) Cho đoạn thẳng CD có trung điểm I. Chứng minh với điểm O tùy ý, ta có $\vec{O C} + \vec{O D} = 2 \vec{O I}$ .

b) Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh rằng với điểm O tùy ý, ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 3 \vec{O G}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì I là trung điểm của CD nên ta có $\vec{I C} + \vec{I D} = \vec{0}$ .

Do đó $\vec{O C} + \vec{O D} = (\vec{O I} + \vec{I C}) + (\vec{O I} + \vec{I D})$ = 2 $\vec{O I}$ + ( $\vec{I C} + \vec{I D}$ )= 2 $\vec{O I}$ + $\vec{0}$ = 2 $\vec{O I}$ .

Vậy, $\vec{O C} + \vec{O D} = 2 \vec{O I}$ .

b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = (\vec{O G} + \vec{G A}) + (\vec{O G} + \vec{G B}) + (\vec{O G} + \vec{G C})$

= $3 \vec{O G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) = 3 \vec{O G} + \vec{0} = 3 \vec{O G}$

Vậy $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 3 \vec{O G}$ .

Chú ý : Cho hai vectơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Khi đó, mọi vectơ $\vec{u}$ đều biểu thị (phân tích) được một cách duy nhất theo hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , nghĩa là có duy nhất cặp số (x; y) sao cho $\vec{u}$ = x $\vec{a}$ + y $\vec{b}$ .