Giải SGK Toán 10 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 4

Thảo Ngày: 23-02-2023 Lớp 10

8.6 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương IV chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức với cuộc sống giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương IV

A. Trắc nghiệm

Giải Toán 10 trang 71 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.27 trang 71 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. $\vec{u} = (2; 3)$ và $\vec{v} = (\frac{1}{2}; 6)$

B. $\vec{a} = (\sqrt{2}; 6)$ và $\vec{b} = (1; 3 \sqrt{2})$

C. $\vec{i} = (0; 1)$ và $\vec{j} = (1; 0)$

D. $\vec{c} = (1; 3)$ và $\vec{d} = (2; - 6)$

Phương pháp giải:

Cho $\vec{a} = (x; y)$ và $\vec{b} = (z, t)$ ( $z, t \neq 0$ )

+) Nếu $\frac{x}{z} = \frac{y}{t} = k$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương

+) Nếu $\frac{x}{z} \neq \frac{y}{t}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương.

Lời giải:

A. Ta có: $\frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 \neq \frac{3}{6}$ nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ không cùng phương.

B. Ta có: $\frac{\sqrt{2}}{1} = \frac{6}{3 \sqrt{2}} = \sqrt{2} > 0$ nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương, hơn nữa là cùng hướng

Chọn đáp án B.

C. Ta có: $\vec{i} . \vec{j} = 0.1 + 1.0 = 0 \Rightarrow \vec{i} ⊥ \vec{j}$

Vậy $\vec{i}$ và $\vec{j}$ không cùng phương.

D. Ta có: $\frac{1}{2} \neq \frac{3}{- 6}$ nên $\vec{c}$ và $\vec{d}$ không cùng phương.

Bài 4.28 trang 71 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. $\vec{u} = (2; 3)$ và $\vec{v} = (4; 6)$

B. $\vec{a} = (1; - 1)$ và $\vec{b} = (- 1; 1)$

C. $\vec{z} = (a; b)$ và $\vec{t} = (- b; a)$

D. $\vec{n} = (1; 1)$ và $\vec{k} = (2; 0)$

Phương pháp giải:

+) Cho $\vec{u} (x; y), \vec{v} (z; t)$ thì $\vec{u} . \vec{v} = x . z + y . t$

+) $\vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0$

Lời giải:

A. Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = 2.4 + 3.6 = 26 \neq 0$ nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ không vuông góc với nhau.

B. Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 1. (- 1) + (- 1) .1 = - 2 \neq 0$ nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không vuông góc với nhau.

C. Ta có: $\vec{z} . \vec{t} = a . (- b) + b . a = 0$ nên $\vec{z}$ và $\vec{t}$ vuông góc với nhau.

Chọn đáp án C

D. Ta có: $\vec{n} . \vec{k} = 1.2 + 1.0 = 2 \neq 0$ nên $\vec{n}$ và $\vec{k}$ không vuông góc với nhau.

Bài 4.29 trang 71 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?

A. $\vec{a} = (1; 1)$

B. $\vec{b} = (1; - 1)$

C. $\vec{c} = (2; \frac{1}{2})$

D. $\vec{d} = (\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{- 1}{\sqrt{2}})$

Phương pháp giải:

Tính độ dài vectơ $\vec{a} (x; y)$ theo công thức: $| \vec{a} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

Lời giải:

A. Ta có: $\vec{a} = (1; 1) \Rightarrow | \vec{a} | = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} \neq 1$ . (Loại)

B. Ta có: $\vec{b} = (1; - 1) \Rightarrow | \vec{b} | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2} \neq 1$ . (Loại)

C. Ta có: $\vec{c} = (2; \frac{1}{2}) \Rightarrow | \vec{c} | = \sqrt{2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{17}}{2} \neq 1$ . (Loại)

D. Ta có: $\vec{d} = (\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{- 1}{\sqrt{2}}) \Rightarrow | \vec{a} | = \sqrt{{(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{11}{\sqrt{2}})}^{2}} = 1$ . (Thỏa mãn yc)

Chọn D

Bài 4.30 trang 71 Toán lớp 10: Góc giữa vectơ $\vec{a} = (1; - 1)$ và vectơ $\vec{b} = (- 2; 0)$ có số đo bằng:

A. $90^{o}$

B. $0^{o}$

C. $135^{o}$

D. $45^{o}$

Phương pháp giải:

Tính $\vec{a} . \vec{b}$ .

+) Nếu $\vec{a} . \vec{b} = 0$ thì góc giữa 2 vectơ bằng $90^{o}$ .

+) Nếu $\vec{a} . \vec{b} \neq 0$ thì $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$

Lời giải:

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 1. (- 2) + (- 1) .0 = - 2 \neq 0$ .

Lại có: $| \vec{a} | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}; | \vec{b} | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2}} = 2.$

$\Rightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{- 2}{\sqrt{2} .2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 135^{o}$

Chọn C

Bài 4.31 trang 71 Toán lớp 10: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(\vec{a} . \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} . \vec{c})$

B. $(\vec{a} . \vec{b})^{2} = {\vec{a}}^{2} . {\vec{b}}^{2}$

C. $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \sin (\vec{a}, \vec{b})$

D. $\vec{a} (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{c}$

Phương pháp giải:

+) $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})$

Lời giải:

Chọn D. Đây là một tính chất của tích vô hướng.

A. Sai vì $(\vec{a} . \vec{b}) \vec{c} = [| \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})] . \vec{c} \neq$ $\vec{a} (\vec{b} . \vec{c}) = \vec{a} [| \vec{b} | . | \vec{c} | \cos (\vec{b}, \vec{c})]$

B. Sai vì $(\vec{a} . \vec{b})^{2} = [\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})]^{2} = {\vec{a}}^{2} . {\vec{b}}^{2} . \cos^{2} (\vec{a}, \vec{b})$ $\neq {\vec{a}}^{2} . {\vec{b}}^{2}$

C. Sai vì $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b}) \neq | \vec{a} | . | \vec{b} | \sin (\vec{a}, \vec{b})$

Bài 4.32 trang 71 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(\vec{A B}, \vec{B D}) = 45^{o}$

B. $(\vec{A C}, \vec{B C}) = 45^{o}$ và $\vec{A C} . \vec{B C} = a^{2}$

C. $\vec{A C} . \vec{B D} = a^{2} \sqrt{2}$

D. $\vec{B A} . \vec{B D} = - a^{2}$

Phương pháp giải:

Tính tích vô hướng bằng công thức: $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

Lời giải:

A. Ta có: $(\vec{A B}, \vec{B D}) = (\vec{B E}, \vec{B D}) = 135^{o} \neq 45^{o} .$ Vậy A sai.

Bài 4.31 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

B. Ta có: $(\vec{A C}, \vec{B C}) = (\vec{C F}, \vec{C G}) = 45^{o}$ và $\vec{A C} . \vec{B C} = A C . B C . \cos 45^{o} = a \sqrt{2} . a . \frac{\sqrt{2}}{2} = a^{2} .$

Vậy B đúng.

Bài 4.31 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

Chọn B

C. Dễ thấy $A C ⊥ B D$ nên $\vec{A C} . \vec{B D} = 0 \neq a^{2} \sqrt{2} .$ Vậy C sai.

Bài 4.31 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 3)

D. Ta có: $(\vec{B A} . \vec{B D}) = 45^{o}$ $\Rightarrow \vec{B A} . \vec{B D} = B A . B D . \cos 45^{o} = a . a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = a^{2} \neq - a^{2} .$ Vậy D sai.

Bài 4.31 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 4)

B. Tự luận

Bài 4.33 trang 71 Toán lớp 10: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3 MC.

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\vec{M B}$ và $\vec{M C}$

b) Biểu thị vectơ $\vec{A M}$ theo hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ .

Phương pháp giải:

+) Nếu $M B = k . M C$ và $\vec{M B}$ và $\vec{M C}$ ngược hướng thì $\vec{M B} = - k . \vec{M C}$

+) $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M}$ (quy tắc cộng)

+) $\vec{B C} = \vec{A C} - \vec{A B}$ (quy tắc hiệu)

Lời giải:

Bài 4.32 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) M thuộc cạnh BC nên vectơ $\vec{M B}$ và $\vec{M C}$ ngược hướng với nhau.

Lại có: MB = 3 MC $\Rightarrow \vec{M B} = - 3. \vec{M C}$

b) Ta có: $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M}$

Mà $B M = \frac{3}{4} B C$ nên $\vec{B M} = \frac{3}{4} \vec{B C}$

$\Rightarrow \vec{A M} = \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{B C}$

Lại có: $\vec{B C} = \vec{A C} - \vec{A B}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \vec{A M} = \vec{A B} + \frac{3}{4} (\vec{A C} - \vec{A B}) = \frac{1}{4} . \vec{A B} + \frac{3}{4} . \vec{A C}$

Vậy $\vec{A M} = \frac{1}{4} . \vec{A B} + \frac{3}{4} . \vec{A C}$

Giải Toán 10 trang 72 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.34 trang 72 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

$\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D}$ .

Phương pháp giải:

+) ABCD là hình bình hành thì: $\vec{A B} = \vec{D C}$

Lời giải:

Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{A B} = \vec{D C}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{A M} + \vec{M B} = \vec{D M} + \vec{M C} \\ \Leftrightarrow - \vec{M A} + \vec{M B} = - \vec{M D} + \vec{M C} \\ \Leftrightarrow \vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D} \end{array}$

Cách 2:

Ta có: $\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D} \Leftrightarrow \vec{M A} - \vec{M B} = \vec{M D} - \vec{M C}$ (*)

Áp dụng quy tắc hiệu ta có: $\vec{M A} - \vec{M B} = \vec{B A}; \vec{M D} - \vec{M C} = \vec{C D}$

Do đó (*) $\Leftrightarrow \vec{B A} = \vec{C D}$ (luôn đúng do ABCD là hình bình hành)

Cách 3:

Ta có:

$\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{B A} + \vec{M D} + \vec{D C} = \vec{M B} + \vec{M D} + (\vec{B A} + \vec{D C})$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{A B} = \vec{D C}$ $\Rightarrow - \vec{B A} = \vec{D C}$ hay $\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D}$ (đpcm)

Bài 4.35 trang 72 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (2; 1), B (-2; 5) và C (-5; 2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{B A}$ và $\vec{B C}$

b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Phương pháp giải:

a) Tọa độ của vectơ: $\vec{B A} = (x_{A} - x_{B}; y_{A} - y_{B})$

b) Tính $\vec{B A} . \vec{B C} = 0$ , chỉ ra góc vuông trong tam giác ABC.

c) Công thức tọa độ của trọng tâm G là $(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})$

d) BCAD là một hình bình hành $\Leftrightarrow \vec{B C} = \vec{A D}$

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{B A} = (2 - (- 2); 1 - 5) = (4; - 4)$ và $\vec{B C} = (- 5 - (- 2); 2 - 5) = (- 3; - 3)$

Ta có: $\vec{B A} . \vec{B C} = 4. (- 3) + (- 4) . (- 3) = 0$

$\Rightarrow \vec{B A} ⊥ \vec{B C}$ hay $\hat{A B C} = 90^{o}$

Vậy tam giác ABC vuông tại B.

Lại có: $A B = | \vec{B A} | = \sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2}} = 4 \sqrt{2}$ ; $B C = | \vec{B C} | = \sqrt{3^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{2}$

Và $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = 5 \sqrt{2}$ (do $Δ A B C$ vuông tại B).

Diện tích tam giác ABC là: $S_{A B C} = \frac{1}{2} . A B . B C = \frac{1}{2} .4 \sqrt{2} .3 \sqrt{2} = 12$

Chu vi tam giác ABC là: $A B + B C + A C = 4 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} = 12 \sqrt{2}$

c) Tọa độ của trọng tâm G là $(\frac{2 + (- 2) + (- 5)}{3}; \frac{1 + 5 + 2}{3}) = (\frac{- 5}{3}; \frac{8}{3})$

d) Giả sử điểm D thỏa mãn BCAD là một hình bình hành có tọa độ là (a; b).

Ta có: $\vec{B C} = (- 3; - 3)$ và $\vec{A D} = (a - 2; b - 1)$

Vì BCAD là một hình bình hành nên $\vec{A D} = \vec{B C}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (a - 2; b - 1) = (- 3; - 3) \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} a - 2 = - 3 \\ b - 1 = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = - 1 \\ b = - 2 \end{cases} \end{array}$

Vậy D có tọa độ (-1; -2)

Bài 4.36 trang 72 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (1; 2), B (3; 4), C (-2; -2) và D (6;5).

a) Hãy tìm tọa độ của các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để các vectơ $\vec{A C}$ và $\vec{B E}$ cùng phương.

d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ $\vec{A E}$ theo các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ .

Phương pháp giải:

a) Tọa độ của vectơ: $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$

b) Tìm $k \neq 0$ sao cho: $\vec{A B} = k . \vec{C D}$

c) Vectơ $\vec{u} (a; b)$ và $\vec{v} (x; y)$ $(x; y \neq 0)$ cùng phương $\Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ $(x; y \neq 0)$

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{A B} = (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2)$ và $\vec{C D} = (6 - (- 1); 5 - (- 2)) = (7; 7)$

b) Dễ thấy: $(2; 2) = \frac{2}{7} . (7; 7)$ $\Rightarrow \vec{A B} = \frac{2}{7} . \vec{C D}$

Vậy hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ cùng phương.

c) Ta có: $\vec{A C} = (- 1 - 1; - 2 - 2) = (- 2; - 4)$ và $\vec{B E} = (a - 3; 1 - 4) = (a - 3; - 3)$

Để $\vec{A C}$ và $\vec{B E}$ cùng phương thì $\frac{a - 3}{- 2} = \frac{- 3}{- 4}$ $\Leftrightarrow a - 3 = - \frac{3}{2}$ $\Leftrightarrow a = \frac{3}{2}$

Vậy $a = \frac{3}{2}$ hay $E (\frac{3}{2}; 1)$ thì hai vectơ $\vec{A C}$ và $\vec{B E}$ cùng phương

Cách 1:

Ta có: $\vec{B E} = (\frac{3}{2} - 3; - 3) = (- \frac{3}{2}; - 3)$ ; $\vec{A C} = (- 2; - 4)$

$\Rightarrow \vec{B E} = \frac{3}{4} . \vec{A C}$

Mà $\vec{A E} = \vec{A B} + \vec{B E}$ (quy tắc cộng)

$\Rightarrow \vec{A E} = \vec{A B} + \frac{3}{4} . \vec{A C}$

Cách 2:

Giả sử $\vec{A E} = m . \vec{A B} + n . \vec{A C}$ (*)

Ta có: $\vec{A E} = (\frac{1}{2}; - 1)$ , $m . \vec{A B} = m (2; 2) = (2 m; 2 m)$ , $n . \vec{A C} = n (- 2; - 4) = (- 2 n; - 4 n)$

Do đó (*) $\Leftrightarrow (\frac{1}{2}; - 1) = (2 m; 2 m) + (- 2 n; - 4 n)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (\frac{1}{2}; - 1) = (2 m - 2 n; 2 m - 4 n) \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} \frac{1}{2} = 2 m - 2 n \\ - 1 = 2 m - 4 n \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} m = 1 \\ n = \frac{3}{4} \end{cases} \end{array}$

Vậy $\vec{A E} = \vec{A B} + \frac{3}{4} . \vec{A C}$

Bài 4.37 trang 72 Toán lớp 10: Cho vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a}$ (hay còn được viết là $\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$ ) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ .

Phương pháp giải:

Cho vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a}$ (hay còn được viết là $\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$ ) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ .

Lời giải:

Cách 1:

Gọi tọa độ của vectơ $\vec{a}$ là (x; y).

Ta có: $| \vec{a} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

Đặt $\vec{i} = \frac{1}{| \vec{a} |} . \vec{a}$

$\Rightarrow \vec{i} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} . (x; y) = (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}; \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})$

$\Rightarrow | \vec{i} | = \sqrt{{(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + {(\frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2}} = \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2}}} = 1$

Mặt khác:

$\vec{i} = \frac{1}{| \vec{a} |} . \vec{a} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} . \vec{a}$ và $\frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} > 0$ với mọi $x, y \neq 0$

Do đó vectơ $\vec{i}$ và $\vec{a}$ cùng hướng.

Vậy $\frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a}$ (hay $\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$ ) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ .

Cách 2:

Với mọi vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ , ta có: $| \vec{a} | > 0 \Rightarrow k = \frac{1}{| \vec{a} |} > 0$ . Đặt $\vec{i} = \frac{1}{| \vec{a} |} . \vec{a} = k . \vec{a}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow | \vec{i} | = | k . \vec{a} | = | k | . | \vec{a} | \\ \Leftrightarrow | \vec{i} | = k . | \vec{a} | = \frac{1}{| \vec{a} |} . | \vec{a} | = 1 \end{array}$

Mặt khác: $\vec{i} = \frac{1}{| \vec{a} |} . \vec{a} = k . \vec{a}$ và $k > 0$

Do đó vectơ $\vec{i}$ và $\vec{a}$ cùng hướng.

Vậy $\frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a}$ (hay $\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$ ) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ .

Bài 4.38 trang 72 Toán lớp 10: Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u}$ với $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ và $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ . Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị $\vec{i} = \vec{a}, \vec{j} = \vec{b} .$ Chứng minh rằng:

a) Vectơ $\vec{u}$ có tọa độ là $(\vec{u} . \vec{a}; \vec{u} . \vec{b})$

b) $\vec{u} = (\vec{u} . \vec{a}) . \vec{a} + (\vec{u} . \vec{b}) . \vec{b}$

Phương pháp giải:

a) Trên hệ trục Oxy mới, xác định hoành độ, tung độ của vectơ $\vec{u}$

+) $\vec{u} . \vec{a} = | \vec{u} | . | \vec{a} | . c o s (o v e r r i g h t a r r o w u . \vec{a})$

b) Vectơ $\vec{u}$ có tọa độ $(x; y)$ trong hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị $\vec{i}; \vec{j}$ thì $\vec{u} = x . \vec{i} + y . \vec{j}$

Lời giải:

Bài 4.37 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A, B, C sao cho $\vec{O A} = \vec{a}; \vec{O B} = \vec{b}; \vec{O C} = \vec{u}$

Trên hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị $\vec{i} = \vec{a}, \vec{j} = \vec{b}$ , lấy M, N là hình chiếu của C trên Ox, Oy.

Gọi tọa độ của $\vec{u}$ là $(x; y)$ . Đặt $α = (\vec{u}, \vec{a})$ .

+) Nếu $0^{o} < α < 90^{o}$ : $x = O M = | \vec{u} | . \cos α = | \vec{u} | . \cos α . | \vec{a} | = \vec{u} . \vec{a};$

Bài 4.37 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

+) Nếu $90^{o} < α < 180^{o}$ : $x = - O M = - | \vec{u} | . \cos (180^{o} - α) = | \vec{u} | . \cos α = \vec{u} . \vec{a};$

Bài 4.37 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 3)

Như vậy ta luôn có: $x = \vec{u} . \vec{a}$

Chứng minh tương tự, ta có: $y = \vec{u} . \vec{b}$

Vậy vectơ $\vec{u}$ có tọa độ là $(\vec{u} . \vec{a}; \vec{u} . \vec{b})$

b) Trong hệ trục Oxy với các vectơ vectơ đơn vị $\vec{i} = \vec{a}, \vec{j} = \vec{b}$ , vectơ $\vec{u}$ có tọa độ là $(\vec{u} . \vec{a}; \vec{u} . \vec{b})$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{u} = (\vec{u} . \vec{a}) . \vec{i} + (\vec{u} . \vec{b}) . \vec{j} \\ \Leftrightarrow \vec{u} = (\vec{u} . \vec{a}) . \vec{a} + (\vec{u} . \vec{b}) . \vec{b} \end{array}$

Bài 4.39 trang 72 Toán lớp 10: Trên sông, một cano chuyển động thẳng đều theo hướng $S 15^{o} E$ với vận tốc có độ lớn bằng 20 km/h. Tính vận tốc riêng của cano, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3 km/h.

Phương pháp giải:

Định lí cosin trong tam giác OAC: $A C^{2} = O A^{2} + O C^{2} - 2. O A . O C . \cos \hat{A O C}$

Lời giải:

Lấy các điểm: A, C sao cho:

Vectơ vận tốc dòng nước $\vec{v_{n}} = \vec{O A}$

Vectơ vận tốc chuyển động $\vec{v_{c a n o}} = \vec{O C}$

Ta có: $\vec{v_{c a n o}} = \vec{v_{n}} + \vec{v}$ , với $\vec{v}$ là vectơ vận tốc riêng của cano.

Gọi B là điểm sao cho $\vec{v} = \vec{O B}$ thì OACB là hình bình hành.

Bài 4.38 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vì tàu chuyển động theo hướng $S 15^{o} E$ nên vectơ $\vec{O C}$ tạo với hướng Nam (tia OS) góc $15^{o}$ và tạo với hướng Đông (tia OE) góc $90^{o} - 15^{o} = 75^{o}$ .

Mà nước trên sông chảy về hướng đông nên vectơ $\vec{O A}$ cùng hướng với vectơ $\vec{O E}$

Do đó góc tạo bởi vectơ $\vec{O C}$ và vectơ $\vec{O A}$ là $75^{o}$

Xét tam giác OAC ta có:

$O A = | \vec{v_{n}} | = 3$ ; $O C = | \vec{v_{c a n o}} | = 20$ và $\hat{A O C} = 75^{o}$

Áp dụng định lí cosin tại đỉnh O ta được:

$\begin{array}{l} A C^{2} = O A^{2} + O C^{2} - 2. O A . O C . \cos \hat{A O C} \\ \Leftrightarrow A C^{2} = 3^{2} + 20^{2} - 2.3.20. \cos 75^{o} \approx 378 \\ \Leftrightarrow O B = A C \approx 19, 44 \end{array}$