Giải SGK Toán 10 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 4

6.2 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương IV chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức với cuộc sống giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương IV

A. Trắc nghiệm

Giải Toán 10 trang 71 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.27 trang 71 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. u=(2;3) và v=(12;6)

B. a=(2;6) và b=(1;32)

C. i=(0;1) và j=(1;0)

D. c=(1;3) và d=(2;6)

Phương pháp giải:

Cho a=(x;y) và b=(z,t) (z,t0)

+) Nếu xz=yt=k thì a và b cùng phương

+) Nếu xzyt thì a và b không cùng phương.

Lời giải:

A. Ta có: 212=436 nên u và v không cùng phương.

B.  Ta có: 21=632=2>0 nên a và b cùng phương, hơn nữa là cùng hướng

Chọn đáp án B.

C. Ta có: i.j=0.1+1.0=0ij

Vậy i và j không cùng phương.

D. Ta có: 1236 nên c và d không cùng phương.

Bài 4.28 trang 71 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. u=(2;3) và v=(4;6)

B. a=(1;1) và b=(1;1)

C. z=(a;b) và t=(b;a)

D. n=(1;1) và k=(2;0)

Phương pháp giải:

+) Cho u(x;y),v(z;t) thì u.v=x.z+y.t

+) uvu.v=0

Lời giải:

A. Ta có: u.v=2.4+3.6=260 nên u và v không vuông góc với nhau.

B.  Ta có: a.b=1.(1)+(1).1=20 nên a và b không vuông góc với nhau.

C. Ta có: z.t=a.(b)+b.a=0 nên z và t vuông góc với nhau.

Chọn đáp án C

D. Ta có: n.k=1.2+1.0=20 nên n và k không vuông góc với nhau.

Bài 4.29 trang 71 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?

A. a=(1;1)

B. b=(1;1)

C. c=(2;12)

D. d=(12;12)

Phương pháp giải:

Tính độ dài vectơ a(x;y) theo công thức: |a|=x2+y2.

Lời giải:

A. Ta có: a=(1;1)|a|=12+12=21. (Loại)

B. Ta có: b=(1;1)|b|=12+(1)2=21. (Loại)

C. Ta có: c=(2;12)|c|=22+(12)2=1721. (Loại)

D. Ta có: d=(12;12)|a|=(12)2+(112)2=1. (Thỏa mãn yc)

Chọn D

Bài 4.30 trang 71 Toán lớp 10: Góc giữa vectơ a=(1;1) và vectơ b=(2;0) có số đo bằng:

A. 90o

B. 0o

C. 135o

D. 45o

Phương pháp giải:

Tính a.b.

+) Nếu a.b=0 thì góc giữa 2 vectơ bằng 90o.

+) Nếu a.b0 thì  cos(a,b)=a.b|a|.|b|

Lời giải:

Ta có: a.b=1.(2)+(1).0=20.

Lại có: |a|=12+(1)2=2;|b|=(2)2+02=2.

cos(a,b)=a.b|a|.|b|=22.2=22

(a,b)=135o

Chọn C

Bài 4.31 trang 71 Toán lớp 10: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. (a.b)c=a(b.c)

B. (a.b)2=a2.b2

C. a.b=|a|.|b|sin(a,b)

D. a(bc)=a.ba.c

Phương pháp giải:

+) a.b=|a|.|b|cos(a,b)

Lời giải:

Chọn D. Đây là một tính chất của tích vô hướng.

A. Sai vì (a.b)c=[|a|.|b|cos(a,b)].ca(b.c)=a[|b|.|c|cos(b,c)]

B. Sai vì (a.b)2=[a.b=|a|.|b|cos(a,b)]2=a2.b2.cos2(a,b)a2.b2

C. Sai vì a.b=|a|.|b|cos(a,b)|a|.|b|sin(a,b)

Bài 4.32 trang 71 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. (AB,BD)=45o

B. (AC,BC)=45o và AC.BC=a2

C. AC.BD=a22

D. BA.BD=a2

Phương pháp giải:

Tính tích vô hướng bằng công thức: a.b=|a|.|b|cos(a,b).

Lời giải:

A. Ta có: (AB,BD)=(BE,BD)=135o45o. Vậy A sai.

 Bài 4.31 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

B. Ta có: (AC,BC)=(CF,CG)=45o và  AC.BC=AC.BC.cos45o=a2.a.22=a2.

Vậy B đúng.

 Bài 4.31 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

Chọn B

C. Dễ thấy ACBD nên AC.BD=0a22. Vậy C sai.

 Bài 4.31 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 3)

D. Ta có: (BA.BD)=45o BA.BD=BA.BD.cos45o=a.a2.22=a2a2. Vậy D sai.

 Bài 4.31 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 4)

B. Tự luận

Bài 4.33 trang 71 Toán lớp 10: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3 MC.

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ MB và MC

b) Biểu thị vectơ AM theo hai vectơ AB và AC.

Phương pháp giải:

+) Nếu MB=k.MC và MB và MC ngược hướng thì  MB=k.MC 

+) AM=AB+BM (quy tắc cộng)

+) BC=ACAB (quy tắc hiệu)

Lời giải:

Bài 4.32 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

a)  M thuộc cạnh BC nên vectơ MB và MC ngược hướng với nhau.

Lại có: MB = 3 MC MB=3.MC

b) Ta có: AM=AB+BM

Mà BM=34BC nên BM=34BC

AM=AB+34BC

Lại có: BC=ACAB (quy tắc hiệu)

AM=AB+34(ACAB)=14.AB+34.AC

Vậy AM=14.AB+34.AC

Giải Toán 10 trang 72 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.34 trang 72 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

MA+MC=MB+MD.

Phương pháp giải:

+) ABCD là hình bình hành thì: AB=DC

Lời giải:

Do ABCD là hình bình hành nên AB=DC

AM+MB=DM+MCMA+MB=MD+MCMA+MC=MB+MD

Cách 2:

Ta có: MA+MC=MB+MDMAMB=MDMC (*)

Áp dụng quy tắc hiệu ta có: MAMB=BA;MDMC=CD

Do đó (*) BA=CD (luôn đúng do ABCD là hình bình hành)

Cách 3:

Ta có:

MA+MC=MB+BA+MD+DC=MB+MD+(BA+DC)

Vì ABCD là hình bình hành nên AB=DCBA=DC hay BA+DC=0

MA+MC=MB+MD (đpcm)

Bài 4.35 trang 72 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (2; 1), B (-2; 5) và C (-5; 2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ BA và BC

b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Phương pháp giải:

a) Tọa độ của vectơ: BA=(xAxB;yAyB)

b) Tính BA.BC=0, chỉ ra góc vuông trong tam giác ABC.

c) Công thức tọa độ của trọng tâm G là (xA+xB+xC3;yA+yB+yC3)

d) BCAD là một hình bình hành BC=AD

Lời giải:

a) Ta có:  BA=(2(2);15)=(4;4) và BC=(5(2);25)=(3;3)

b)

Ta có: BA.BC=4.(3)+(4).(3)=0

BABC hay ABC^=90o

Vậy tam giác ABC vuông tại B.

Lại có: AB=|BA|=42+(4)2=42BC=|BC|=32+(3)2=32

Và AC=AB2+BC2=52 (do ΔABCvuông tại B).

Diện tích tam giác ABC là: SABC=12.AB.BC=12.42.32=12

Chu vi tam giác ABC là: AB+BC+AC=42+32+52=122

c) Tọa độ của trọng tâm G là (2+(2)+(5)3;1+5+23)=(53;83)

d) Giả sử điểm D thỏa mãn BCAD là một hình bình hành có tọa độ là (a; b).

Ta có: BC=(3;3) và AD=(a2;b1)

Vì BCAD là một hình bình hành  nên AD=BC

(a2;b1)=(3;3){a2=3b1=3{a=1b=2

Vậy D có tọa độ (-1; -2)

Bài 4.36 trang 72 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (1; 2), B (3; 4), C (-2; -2) và D (6;5).

a) Hãy tìm tọa độ của các vectơ AB và CD

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ AB và CD cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để các vectơ AC và BE cùng phương.

d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ AE theo các vectơ AB và AC.

Phương pháp giải:

a) Tọa độ của vectơ: AB=(xBxA;yByA)

b) Tìm k0 sao cho: AB=k.CD

c) Vectơ u(a;b) và v(x;y)(x;y0) cùng phương ax=by (x;y0)

d)

Lời giải:

a) Ta có:  AB=(31;42)=(2;2) và CD=(6(1);5(2))=(7;7)

b) Dễ thấy: (2;2)=27.(7;7)AB=27.CD

Vậy hai vectơ AB và CD cùng phương.

c) Ta có: AC=(11;22)=(2;4) và BE=(a3;14)=(a3;3)

Để AC và BE cùng phương thì a32=34a3=32a=32

Vậy a=32 hay E(32;1) thì hai vectơ AC và BE cùng phương

d)

Cách 1:

Ta có: BE=(323;3)=(32;3) ; AC=(2;4)

BE=34.AC

Mà AE=AB+BE (quy tắc cộng)

AE=AB+34.AC

Cách 2:

Giả sử AE=m.AB+n.AC(*)

Ta có:  AE=(12;1)m.AB=m(2;2)=(2m;2m)n.AC=n(2;4)=(2n;4n)

Do đó (*) (12;1)=(2m;2m)+(2n;4n)

(12;1)=(2m2n;2m4n){12=2m2n1=2m4n{m=1n=34

Vậy AE=AB+34.AC

Bài 4.37 trang 72 Toán lớp 10: Cho vectơ a0. Chứng minh rằng 1|a|a (hay còn được viết là a|a|) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ a.

Phương pháp giải:

Cho vectơ a0. Chứng minh rằng 1|a|a (hay còn được viết là a|a|) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ a.

Lời giải:

Cách 1:

Gọi tọa độ của vectơ a là (x; y).

Ta có: |a|=x2+y2.

Đặt i=1|a|.a

i=1x2+y2.(x;y)=(xx2+y2;yx2+y2)

|i|=(xx2+y2)2+(yx2+y2)2=x2x2+y2+y2x2+y2=1

Mặt khác:

 i=1|a|.a=1x2+y2.a và 1x2+y2>0 với mọi x,y0

Do đó vectơ i và a cùng hướng.

Vậy 1|a|a (hay a|a|) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ a.

Cách 2:

Với mọi vectơ a0, ta có:  |a|>0k=1|a|>0. Đặt i=1|a|.a=k.a

|i|=|k.a|=|k|.|a||i|=k.|a|=1|a|.|a|=1

Mặt khác: i=1|a|.a=k.a và k>0

Do đó vectơ i và a cùng hướng.

Vậy 1|a|a (hay a|a|) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ a.

Bài 4.38 trang 72 Toán lớp 10: Cho ba vectơ a,b,u với |a|=|b|=1 và ab. Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị i=a,j=b. Chứng minh rằng:

a) Vectơ u có tọa độ là (u.a;u.b)

b) u=(u.a).a+(u.b).b

Phương pháp giải:

a) Trên hệ trục Oxy mới, xác định hoành độ, tung độ của vectơ u

+) u.a=|u|.|a|.cos(overrightarrowu.a)

b) Vectơ u có tọa độ (x;y) trong hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị i;j thì u=x.i+y.j

Lời giải:

Bài 4.37 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A, B, C sao cho OA=a;OB=b;OC=u

Trên hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị i=a,j=b, lấy M, N là hình chiếu của C trên Ox, Oy.

Gọi tọa độ của ulà (x;y). Đặt α=(u,a).

+) Nếu 0o<α<90ox=OM=|u|.cosα=|u|.cosα.|a|=u.a;

 Bài 4.37 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

+) Nếu 90o<α<180ox=OM=|u|.cos(180oα)=|u|.cosα=u.a;

 Bài 4.37 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 3)

Như vậy ta luôn có: x=u.a

Chứng minh tương tự, ta có: y=u.b

Vậy vectơ u có tọa độ là (u.a;u.b)

b) Trong hệ trục Oxy với các vectơ vectơ đơn vị i=a,j=b, vectơ u có tọa độ là (u.a;u.b)

u=(u.a).i+(u.b).ju=(u.a).a+(u.b).b

Bài 4.39 trang 72 Toán lớp 10: Trên sông, một cano chuyển động thẳng đều theo hướng S15oE với vận tốc có độ lớn bằng 20 km/h. Tính vận tốc riêng của cano, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3 km/h.

Phương pháp giải:

Định lí cosin trong tam giác OAC: AC2=OA2+OC22.OA.OC.cosAOC^

Lời giải:

Lấy các điểm: A, C sao cho:

Vectơ vận tốc dòng nướcvn=OA

Vectơ vận tốc chuyển động vcano=OC

Ta có: vcano=vn+v, với v là vectơ vận tốc riêng của cano.

Gọi B là điểm sao cho v=OB thì OACB là hình bình hành.

 Bài 4.38 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vì tàu chuyển động theo hướng S15oE nên vectơ OC tạo với hướng Nam (tia OS) góc 15o và tạo với hướng Đông (tia OE) góc 90o15o=75o.

Mà nước trên sông chảy về hướng đông nên vectơ OA cùng hướng với vectơ OE

Do đó góc tạo bởi vectơ OC và vectơ OA là 75o

Xét tam giác OAC ta có:

OA=|vn|=3OC=|vcano|=20 và AOC^=75o

Áp dụng định lí cosin tại đỉnh O ta được:

AC2=OA2+OC22.OA.OC.cosAOC^AC2=32+2022.3.20.cos75o378OB=AC19,44

Vậy vận tốc riêng của cano là 19,44 km/h

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

Bài 12: Số gần đúng và sai số

Bài 13: Các số đặc trưng đo trung tâm xu thế

Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán

Đánh giá

0

0 đánh giá