Bài 4.14 trang 58 Toán 10 tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Thảo Ngày: 23-08-2024 Lớp 10

6.5 K

Với giải Bài 4.14 trang 58 Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống trong Bài 9: Tích của một vecto với một số giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vecto với một số

Bài 4.14 trang 58 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC

a) Hãy xác định điểm M để $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0}$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = 4 \vec{O M}$

Phương pháp giải:

Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có: $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{M A} + (\vec{M A} + \vec{A B}) + 2 (\vec{M A} + \vec{A C}) = \vec{0}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \vec{M A} + (\vec{M A} + \vec{A B}) + 2 (\vec{M A} + \vec{A C}) = \vec{0} \\ \Leftrightarrow 4 \vec{M A} + \vec{A B} + 2 \vec{A C} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow 4 \vec{A M} = \vec{A B} + 2 \vec{A C} \\ \Leftrightarrow \vec{A M} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} \end{array}$

Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E sao cho $A D = \frac{1}{4} A B; A E = \frac{1}{2} A C$

Bài 4.13 trang 53 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Khi đó $\vec{A M} = \vec{A D} + \vec{A E}$ hay M là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEMD.

Cách 2:

Ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0} \Leftrightarrow (\vec{M C} + \vec{C A}) + (\vec{M C} + \vec{C B}) + 2 \vec{M C} = \vec{0}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4 \vec{M C} + \vec{C A} + \vec{C B} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow 4. \vec{C M} = \vec{C A} + \vec{C B} \end{array}$

Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBD.

Khi đó: $\vec{C D} = \vec{C A} + \vec{C B}$ $\Rightarrow 4. \vec{C M} = \vec{C D}$

$\Leftrightarrow \vec{C M} = \frac{1}{4} \vec{C D} \Leftrightarrow \vec{C M} = \frac{1}{2} \vec{C O}$

Với O là tâm hình bình hành ACBD, cũng là trung điểm đoạn AB.

Bài 4.13 trang 53 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

Vậy M là trung điểm của trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = 4 \vec{O M}$

Với mọi điểm O, ta có: ${\begin{cases} \vec{O A} = \vec{O M} + \vec{M A}; \\ \vec{O B} = \vec{O M} + \vec{M B}; \\ \vec{O C} = \vec{O M} + \vec{M C} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = (\vec{O M} + \vec{M A}) + (\vec{O M} + \vec{M B}) + 2 (\vec{O M} + \vec{M C}) \\ = 4 \vec{O M} + (\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}) = 4 \vec{O M} + \vec{0} = 4 \vec{O M} . \end{array}$

Vậy với mọi điểm O, ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = 4 \vec{O M}$ .

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho $\vec{a}$ và điểm O không thuộc giá của $\vec{a}$ . Xác định hai điểm M và N sao cho $\vec{O M} = 3 \vec{a}, \vec{O N} = - 4 \vec{a}$ .

Hướng dẫn giải

Tích của một vectơ với một số

Vẽ đường thẳng d đi qua O và song song với giá của $\vec{a}$ .

Trên d lấy điểm M sao cho OM= 3| $\vec{a}$ |, $\vec{O M}$ và $\vec{a}$ cùng hướng khi đó $\vec{O M} = 3 \vec{a}$ .

Trên d lấy điểm N sao cho ON = 4| $\vec{a}$ |, $\vec{O N}$ và $\vec{a}$ ngược hướng, khi đó $\vec{O N} = - 4 \vec{a}$ .

Bài 2: Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích vectơ $\vec{A M}$ theo hai vectơ $\vec{u} = \vec{A B}, \vec{v} = \vec{A C}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{B C}$

= $\vec{A B} + \frac{2}{3} (\vec{A C} - \vec{A B}) = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

Vậy $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{u} + \frac{2}{3} \vec{v}$ .

Bài 3: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức: $\vec{B C} + \vec{M A} = \vec{0}, \vec{A B} - \vec{N A} - 3 \vec{A C} = \vec{0}$ . Chứng minh MN // AC.

Hướng dẫn giải

Vì $\vec{B C} + \vec{M A} = \vec{0}, \vec{A B} - \vec{N A} - 3 \vec{A C} = \vec{0}$

Do đó ta có: $\vec{B C} + \vec{M A} + \vec{A B} - \vec{N A} - 3 \vec{A C} = \vec{0}$

Hay $(\vec{A B} + \vec{B C}) + (\vec{M A} + \vec{A N}) - 3 \vec{A C} = \vec{0}$

⇔ $\vec{A C} + \vec{M N} - 3 \vec{A C} = \vec{0}$

⇔ $\vec{M N} = 2 \vec{A C}$

Vậy $\vec{M N}$ và $\vec{A C}$ cùng phương.

Từ giả thiết $\vec{B C} + \vec{M A} = \vec{0}$ suy ra $\vec{B C} = \vec{A M}$ , mà A, B, C không thẳng hàng nên bốn điểm A, B, C, M là 4 đỉnh của một hình bình hành.