Hoạt động khám phá 3 trang 8 Toán 9 Tập 1: Cho phương trình $\frac{x}{x-2}=\frac{1}{x+1}+1$.

a) Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.

b) Xét các phép biến đổi như sau:

$\begin{array}{l}\frac{x}{x-2}=\frac{1}{x+1}+1\\ \frac{x}{x-2}=\frac{x+2}{x+1}\end{array}$

$\frac{x(x+1)}{(x-2)(x+1)}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+1)(x-2)}$

$x^2+x=x^2-4$

$x=-4$

Hãy giải thích cách thực hiện mỗi phép biến đổi trên.

c) $x=-4$ có là nghiệm của phương trình đã cho không?

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: $x-2\ne 0$ và $x+1\ne 0$

khi    $x\ne 2$ và $x\ne -1$.

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x\ne 2$ và $x\ne -1$.

b) $\frac{x}{x-2}=\frac{1}{x+1}+1$

Quy đồng vế phải với mẫu thức chung là $x+1$: $\frac{x}{x-2}=\frac{x+2}{x+1}$

Quy đồng cả hai vế với mẫu thức chung là $(x-2)(x+1)$: $\frac{x(x+1)}{(x-2)(x+1)}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+1)(x-2)}$

Hai phân thức bằng nhau có cùng mẫu thì tử bằng nhau.$x^2+x=x^2-4$

Giải phương trình ta được $x=-4$

c) Thay $x=-4$ vào phương trình, ta được:

$\begin{array}{l}\frac{-4}{(-4)-2}=\frac{1}{(-4)+1}+1\\ \frac{-4}{-6}=\frac{1}{-3}+1\\ \frac{2}{3}=\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}-\frac{2}{3}=0\\ 0=0\end{array}$

Điều này luôn đúng nên $x=-4$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy $x=-4$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Lý Thuyết Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ:

- Phương trình $\frac{5x+2}{x-1}=0$ có điều kiện xác định là $x\ne 1$ vì $x-1\ne 0$ khi $x\ne 1$.

- Phương trình $\frac{1}{x+1}=1+\frac{1}{x-2}$ có điều kiện xác định là $x\ne -1$ và $x\ne 2$ vì $x+1\ne 0$ khi $x\ne -1$, $x-2\ne 0$ khi $x\ne 2$.

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ: Giải phương trình $\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

Lời giải:

Điều kiện xác định $x\ne -1$ và $x\ne 2$.

Ta có: $\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

$\frac{2\left(x-2\right)+\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

$2\left(x-2\right)+\left(x+1\right)=3$

$\begin{array}{l}2\left(x-2\right)+\left(x+1\right)=3\\ 2x-4+x+1=3\\ 3x-3=3\\ 3x=6\\ x=2\end{array}$

Giá trị $x=2$ không thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình $\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$ vô nghiệm.