Hoạt động khám phá 2 trang 7 Toán 9 Tập 1: Xét hai phương trình

$2x+\frac{1}{x-2}-4=\frac{1}{x-2}(1)$ và $2x-4=0(2)$

a) Có thể biến đổi như thế nào để chuyển phương trình (1) về phương trình (2)?

b) $x=2$ có là nghiệm của phương trình (2) không? Tại sao?

c) $x=2$ có là nghiệm của phương trình (1) không? Tại sao?

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}2x+\frac{1}{x-2}-4=\frac{1}{x-2}\\ \frac{2x(x-2)}{x-2}+\frac{1}{x-2}-\frac{4(x-2)}{x-2}=\frac{1}{x-2}\\ \frac{2x(x-2)+1-4(x-2)}{x-2}=\frac{1}{x-2}\\ \frac{2x^2-4x+1-4x+8}{x-2}=\frac{1}{x-2}\\ \frac{2x^2-8x+8}{x-2}=0\\ \frac{2(x^2-4x+4)}{x-2}=0\\ \frac{2{(x-2)}^2}{x-2}=0\end{array}$

Nếu $x-2=0$ thì phương trình vô nghĩa.

Nếu $x-2\ne 0$ suy ra $x\ne 2$ thì phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}2(x-2)=0\\ 2x-4=0\end{array}$

Vậy để biến đổi phương trình (1) về phương trình (2) thì $x\ne 2$.

b) Thay $x=2$ vào phương trình (1) ta được:

$\begin{array}{l}2.2+\frac{1}{2-2}-4=\frac{1}{2-2}\\ 0+\frac{1}{0}-4=\frac{1}{0}\end{array}$

Điều này là vô lí nên $x=2$ không phải là nghiệm của phương trình (1).

c) Thay $x=2$ vào phương trình (2) ta được:

$\begin{array}{l}2.2-4=0\\ 4-4=0\\ 0=0\end{array}$

Điều này luôn đúng nên $x=2$ là nghiệm của phương trình (2).

Thực hành 3 trang 8 Toán 9 Tập 1: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) $\frac{5}{x+7}=\frac{-14}{x-5}$

b) $\frac{3}{3x-2}=\frac{x}{x+2}-1$

Lời giải:

a) $\frac{5}{x+7}=\frac{-14}{x-5}$

Điều kiện xác định: $x+7\ne 0$ và $x-5\ne 0$

khi $x\ne -7$ và $x\ne 5$.

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x\ne -7$ và $x\ne 5$.

b) $\frac{3}{3x-2}=\frac{x}{x+2}-1$

Điều kiện xác định: $3x-2\ne 0$ và $x+2\ne 0$

khi $x\ne \frac{2}{3}$ và $x\ne -2$.

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x\ne \frac{2}{3}$ và $x\ne -2$.

Hoạt động khám phá 3 trang 8 Toán 9 Tập 1: Cho phương trình $\frac{x}{x-2}=\frac{1}{x+1}+1$.

a) Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.

b) Xét các phép biến đổi như sau:

$\begin{array}{l}\frac{x}{x-2}=\frac{1}{x+1}+1\\ \frac{x}{x-2}=\frac{x+2}{x+1}\end{array}$

$\frac{x(x+1)}{(x-2)(x+1)}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+1)(x-2)}$

$x^2+x=x^2-4$

$x=-4$

Hãy giải thích cách thực hiện mỗi phép biến đổi trên.

c) $x=-4$ có là nghiệm của phương trình đã cho không?

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: $x-2\ne 0$ và $x+1\ne 0$

khi    $x\ne 2$ và $x\ne -1$.

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x\ne 2$ và $x\ne -1$.

b) $\frac{x}{x-2}=\frac{1}{x+1}+1$

Quy đồng vế phải với mẫu thức chung là $x+1$: $\frac{x}{x-2}=\frac{x+2}{x+1}$

Quy đồng cả hai vế với mẫu thức chung là $(x-2)(x+1)$: $\frac{x(x+1)}{(x-2)(x+1)}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+1)(x-2)}$

Hai phân thức bằng nhau có cùng mẫu thì tử bằng nhau.$x^2+x=x^2-4$

Giải phương trình ta được $x=-4$

c) Thay $x=-4$ vào phương trình, ta được:

$\begin{array}{l}\frac{-4}{(-4)-2}=\frac{1}{(-4)+1}+1\\ \frac{-4}{-6}=\frac{1}{-3}+1\\ \frac{2}{3}=\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}-\frac{2}{3}=0\\ 0=0\end{array}$

Điều này luôn đúng nên $x=-4$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy $x=-4$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Thực hành 4 trang 9 Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình:

a) $\frac{x+6}{x+5}+\frac{3}{2}=2$;

b) $\frac{2}{x-2}-\frac{3}{x-3}=\frac{3x-20}{(x-3)(x-2)}$.

Lời giải:

a) $\frac{x+6}{x+5}+\frac{3}{2}=2$

Điều kiện xác định: $x\ne -5$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x+6}{x+5}+\frac{3}{2}=2\\ \frac{2(x+6)}{2(x+5)}+\frac{3(x+5)}{2(x+5)}=\frac{2.2(x+5)}{2(x+5)}\\ 2x+12+3x+15=4x+20\\ x=-7\end{array}$

Ta thấy: $x=-7$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=-7$.

b) $\frac{2}{x-2}-\frac{3}{x-3}=\frac{3x-20}{(x-3)(x-2)}$

Điều kiện xác định: $x\ne 2$ và $x\ne 3$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{2}{x-2}-\frac{3}{x-3}=\frac{3x-20}{(x-3)(x-2)}\\ \frac{2(x-3)}{(x-2)(x-3)}-\frac{3(x-2)}{(x-2)(x-3)}=\frac{3x-20}{(x-2)(x-3)}\\ 2x-6-3x+6=3x-20\\ 4x=20\\ x=5\end{array}$

Ta thấy $x=5$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=5$.

Vận dụng 2 trang 9 Toán 9 Tập 1: Hai thành phố A và B cách nhau 120km. Một ô tô di chuyển từ A đến B, rồi quay trở về A với tổng thời gian đi và về là 4 giờ 24 phút. Tính tốc độ lúc đi của ô tô, biết tốc độ lúc về lớn hơn tốc độ lúc đi là 20%.

Lời giải:

Gọi tốc độ lúc đi của ô tô là $x$ (km/h), $x>0$.

Thời gian lúc đi của ô tô là $\frac{120}{x}$ (giờ).

Tốc độ lúc về của ô tô là $x+20\mathrm{\%}x=1,2x$ (km/h).

Thời gian lúc về của ô tô là $\frac{120}{1,2x}$ (giờ).

Đổi 4 giờ 24 phút = $\frac{22}{5}$ giờ.

Vì tổng thời gian đi và về của ô tô là 4 giờ 24 phút nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\frac{120}{x}+\frac{120}{1,2x}=\frac{22}{5}\\ \frac{120.6}{6x}+\frac{120.5}{6x}=\frac{22.1,2x}{6x}\\ 720+600=\frac{132}{5}x\\ x=50\end{array}$

Ta thấy $x=50$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy tốc độ lúc đi của ô tô là 50km/h.

Bài tập

Bài 1 trang 9 Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình:

a) $5x(2x-3)=0$;

b) $(2x-5)(3x+6)=0$;

c) $\left(\frac{2}{3}x-1\right)\left(\frac{1}{2}x+3\right)=0$;

d) $(2,5t-7,5)(0,2t+5)=0$.

a) $5x(2x-3)=0$

$5x=0$ hoặc $2x-3=0$

$x=0$ hoặc $x=\frac{3}{2}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=0$ và $x=\frac{3}{2}$.

b) $(2x-5)(3x+6)=0$

$2x-5=0$ hoặc $3x+6=0$

$x=\frac{5}{2}$ hoặc $x=-2$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{5}{2}$ và $x=-2$.

c) $\left(\frac{2}{3}x-1\right)\left(\frac{1}{2}x+3\right)=0$

$\frac{2}{3}x-1=0$ hoặc $\frac{1}{2}x+3=0$

$x=\frac{3}{2}$ hoặc $x=-6$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{3}{2}$ và $x=-6$.

d) $(2,5t-7,5)(0,2t+5)=0$

$2,5t-7,5=0$ hoặc $0,2t+5=0$

$x=3$ hoặc $x=-25$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=3$ và $x=-25$.

Bài 2 trang 9 Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình:

a) $3x(x-4)+7(x-4)=0$;

b) $5x(x+6)-2x-12=0$;

c) $x^2-x-(5x-5)=0$;

d) $(3x-2{)}^2-(x+6{)}^2=0$.

a) $3x(x-4)+7(x-4)=0$

$(x-4)(3x+7)=0$

$x-4=0$ hoặc $3x+7=0$

$x=4$ hoặc $x=\frac{-7}{3}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=4$ và $x=\frac{-7}{3}$.

b) $5x(x+6)-2x-12=0$

$5x(x+6)-2(x+6)=0$

$(x+6)(5x-2)=0$

$x+6=0$ hoặc $5x-2=0$

$x=-6$ hoặc $x=\frac{2}{5}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-6$ và $x=\frac{2}{5}$.

c) $x^2-x-(5x-5)=0$

$x(x-1)-5(x-1)=0$

$(x-1)(x-5)=0$

$x-1=0$ hoặc $x-5=0$

$x=1$ hoặc $x=5$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=1$ và $x=5$.

d) $(3x-2{)}^2-(x+6{)}^2=0$

$9x^2-12x+4-x^2-12x-36=0$

$8x^2-24x-32=0$

$8(x^2-3x-4)=0$

$x^2-4x+x-4=0$

$x(x-4)+(x-4)=0$

$(x+1)(x-4)=0$

$x+1=0$ hoặc $x-4=0$

$x=-1$ hoặc $x=4$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-1$ và $x=4$.

Bài 3 trang 9 Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình:

a) $\frac{x+5}{x-3}+2=\frac{2}{x-3}$;

b) $\frac{3x+5}{x+1}+\frac{2}{x}=3$;

c) $\frac{x+3}{x-2}+\frac{x+2}{x-3}=2$;

d) $\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{16}{x^2-4}$.

a) $\frac{x+5}{x-3}+2=\frac{2}{x-3}$

Điều kiện xác định: $x\ne 3$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x+5}{x-3}+2=\frac{2}{x-3}\\ \frac{x+5}{x-3}+\frac{2(x-3)}{x-3}=\frac{2}{x-3}\\ x+5+2x-6=2\\ 3x=3\\ x=1\end{array}$

Ta thấy $x=1$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=1$.

b) $\frac{3x+5}{x+1}+\frac{2}{x}=3$

Điều kiện xác định: $x\ne 0$ và $x\ne -1$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{3x+5}{x+1}+\frac{2}{x}=3\\ \frac{(3x+5)x}{(x+1)x}+\frac{2(x+1)}{(x+1)x}=\frac{3x(x+1)}{(x+1)x}\\ 3x^2+5x+2x+2=3x^2+3x\\ 4x=-2\\ x=\frac{-1}{2}\end{array}$

Ta thấy $x=\frac{-1}{2}$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{-1}{2}$.

c) $\frac{x+3}{x-2}+\frac{x+2}{x-3}=2$

Điều kiện xác định: $x\ne 2$ và $x\ne 3$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x+3}{x-2}+\frac{x+2}{x-3}=2\\ \frac{(x+3)(x-3)}{(x-2)(x-3)}+\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)(x-3)}=\frac{2(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-3)}\\ x^2-9+x^2-4=2x^2-10x+12\\ 10x=25\\ x=\frac{5}{2}\end{array}$

Ta thấy $x=\frac{5}{2}$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{5}{2}$.

d) $\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{16}{x^2-4}$

$\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{16}{(x-2)(x+2)}$

Điều kiện xác định: $x\ne \pm 2$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{16}{x^2-4}\\ \frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{16}{(x-2)(x+2)}\\ \frac{{(x+2)}^2}{(x-2)(x+2)}-\frac{{(x-2)}^2}{(x-2)(x+2)}=\frac{16}{(x-2)(x+2)}\\ (x+2-x+2)(x+2+x-2)=16\\ 4.2x=16\\ x=2\end{array}$

Ta thấy $x=2$ không thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 4 trang 10 Toán 9 Tập 1: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60km. Sau 1 giờ 40 phút, trên cùng quãng đường đó, một xe máy cũng đi từ A đến B và đến B sớm hơn xe đạp 1 giờ. Tính tốc độ của mỗi xe, biết rằng tốc độ của xe máy gấp 3 lần tốc độ của xe đạp.

Gọi tốc độ của xe đạp là $x$ (km/h), $x>0$.

Thời gian xe đạp đi quãng đường từ A đến B là $\frac{60}{x}$ (giờ).

Tốc độ của xe máy là $3x$ (km/h).

Thời gian xe máy đi quãng đường từ A đến B là $\frac{60}{3x}=\frac{20}{x}$ (giờ).

Đổi 1 giờ 40 phút = $\frac{5}{3}$ giờ.

Vì xe máy xuất phát sau xe đáp 1 giờ 40 phút và đến sớm hơn xe đạp 1 giờ nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\frac{60}{x}-\frac{20}{x}=\frac{5}{3}+1\\ \frac{40}{x}=\frac{8}{3}\\ \frac{40.3}{3x}=\frac{8x}{3x}\\ 120=8x\\ x=15\end{array}$

Ta thấy $x=15$ thỏa mãn điều kiện $x>0$.

Vậy tốc độ của xe đạp là 15km/h; tốc độ của xe máy là 45km/h.

Bài 5 trang 10 Toán 9 Tập 1: Một xí nghiệp dự định chia đều 12 600 000 đồng để thưởng cho các công nhân tham gia hội thao nhân ngày thành lập xí nghiệp. Khi đến ngày hội thao chỉ có 80% số công nhân tham gia, vì thế mỗi người tham gia hội thao được nhận thêm 105 000 đồng. Tính số công nhân dự định tham gia lúc đầu.

Gọi số công nhân dự định tham gia lúc đầu là $x$ (người), $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Số tiền thưởng dự định mỗi công nhân nhận được là $\frac{12600000}{x}$ (đồng).

Số công nhận thực tế tham gia là $80\mathrm{\%}x=0,8x$ (người).

Số tiền thưởng thực tế mỗi công nhân nhận được là $\frac{12600000}{0,8x}=\frac{15750000}{x}$ (đồng).

Vì thực tế mỗi người tham gia hội thảo được nhận thêm 105 000 đồng nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\frac{15750000}{x}-\frac{12600000}{x}=105000\\ \frac{3150000}{x}=\frac{105000x}{x}\\ 3150000=105000x\\ x=30\end{array}$

Ta thấy $x=30$ thỏa mãn điều kiện $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Vậy số công nhân dự định tham gia lúc đầu là 30 người.