Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Diện tích xung quanh của hình nón: $S_{xq}=\pi rl$.

- Thể tích hình nón: ${\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h}$.

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $l$ là đường sinh, $h$ là chiều cao)..

Lời giải:

Khi quay tam giác vuông $ABC$ một vòng xung quanh cạnh huyền $BC$ ta thu được hai hình nón có đáy úp vào nhau, bán kính đường tròn đáy bằng đường cao $AH$ kẻ từ $A$ đến cạnh huyền $BC$.

Trong tam giác vuông $ABC$ ta có:

+) $AB=BC.\cos B=2a.\cos {60}^o$${\displaystyle =2a.\frac{1}{2}=a}$

+) $AC=BC.\sin B=2a.\sin {60}^o$${\displaystyle =2a.\frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}}$

+) $AB.AC=AH.BC$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\Rightarrow AH={\displaystyle \frac{AB.AC}{BC}=\frac{a.a\sqrt{3}}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}}$

Diện tích xung quanh hình tạo thành là:

$S=\pi .AH.AB+\pi AH.AC$$=\pi .AH.(AB+AC)$

${\displaystyle =\pi .\frac{a\sqrt{3}}{2}(a+a\sqrt{3})}$${\displaystyle =\frac{\pi a^2(3+\sqrt{3})}{2}}$ (đơn vị diện tích)

Thể tích hình tạo thành là:

$V={\displaystyle \frac{1}{3}\pi A{H}^2.BH+\frac{1}{3}\pi A{H}^2.HC}$${\displaystyle =\frac{1}{3}\pi A{H}^2.(BH+HC)}$

$V={\displaystyle \frac{1}{3}\pi A{H}^2.BC=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2.2a}$${\displaystyle =\frac{1}{3}\pi .\frac{a^2.3}{4}.2a=\frac{\pi a^3}{2}}$.

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để tưởng tượng hình nón tạo thành từ phần hình quạt còn lại sau khi cắt.

Lời giải:

Phần còn lại ghép thành hình nón sẽ có đường sinh là $y$; chu vi đáy là độ dài của $\stackrel{⏜}{PRQ}$ là $x$.

Chọn hình A.

Cụ Bá uống một lượng rượu nên “chiều cao” của rượu còn lại trong cốc bằng một nửa chiều cao ban đầu.

Hỏi cụ Bá đã uống bao nhiêu phần rượu trong cốc?

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Thể tích hình nón: ${\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h}$.

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao).

Lời giải:

Thể tích rượu ban đầu trong cốc là: ${\displaystyle V_1=\frac{1}{3}\pi R^2.H}$

Thể tích rượu còn lại trong cốc là: ${\displaystyle V_2=\frac{1}{3}\pi r^2.h=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{R}{2}\right)}^2.\frac{H}{2}}$${\displaystyle =\frac{1}{24}\pi R^{2}H=\frac{1}{8}.\frac{1}{3}\pi R^{2}H=\frac{1}{8}{V}_1}$

Thể tích rượu đã uống là: ${\displaystyle V_1-V_2=V_1-\frac{1}{8}{V}_1=\frac{7}{8}{V}_1}$

Vậy cụ Bá đã uống ${\displaystyle \frac{7}{8}}$ thể tích rượu trong cốc.

Thể tích nước chứa đầy xô sẽ là (tính theo $c{m}^3$­):

(A) ${\displaystyle \frac{1000\pi }{3}}$;            (B) ${\displaystyle \frac{1750\pi }{3}}$;

(C) ${\displaystyle \frac{2000\pi }{3}}$;             (D) ${\displaystyle \frac{2750\pi }{3}}$.

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Thể tích hình nón: ${\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h}$.

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao).

Lời giải:

Thể tích hình nón có đường kính đáy $0,2m$ là:

 ${\displaystyle \frac{1}{3}\pi .{\left(\frac{0,2}{2}\right)}^2.0,2=\frac{0,002\pi }{3}(m^3)}$${\displaystyle =\frac{2000\pi }{3}(c{m}^3)}$

Thể tích hình nón có đường kính đáy $0,1m$ là:

${\displaystyle \frac{1}{3}\pi .{\left(\frac{0,1}{2}\right)}^2.0,1=\frac{0,00025\pi }{3}(m^3)}$${\displaystyle =\frac{250\pi }{3}(c{m}^3)}$

Thể tích nước chứa đầy xô là:

${\displaystyle V=\frac{2000\pi }{3}-\frac{250\pi }{3}=\frac{1750\pi }{3}(c{m}^3)}$

Chọn (B).

(A) $220$;                                  (B) $264$;

(C) $308$;                                  (D) $374$.

(Chọn ${\displaystyle \pi =\frac{22}{7}}$ và tính gần đúng đến $c{m}^2$).

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Diện tích xung quanh của hình nón: $S_{xq}=\pi rl$.

- Diện tích toàn phần của hình nón: $S_{tp}=S_{xq}+S_{đ}=\pi rl+\pi r^2$.

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $l$ là đường sinh).

Lời giải:

Diện tích xung quanh hình nón là:

${\displaystyle S_{xq}=\pi rl=\frac{22}{7}.7.10=220(c{m}^{2)}}$

Diện tích đáy hình nón là:

$S_{đ}=\pi r^2={\displaystyle \frac{22}{7}{.7}^2=154(c{m}^2)}$

$S_{TP}=S_{xq}+S_{đ}=220+154$$=374(c{m}^2)$.

Chọn (D).

a) Tính diện tích toàn phần $S$ của hình tạo thành khi quay hình bình hành $ABCD$ đúng một vòng quanh cạnh $AB$ và diện tích toàn phần $S_1$ của hình tạo thành khi quay quanh cạnh $AD$.

b) Xác định giá trị $x$ khi $S=S_1$ và $S=2S_1$.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Diện tích xung quanh của hình nón: $S_{xq}=\pi rl$.

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $l$ là đường sinh).

- Diện tích xung quanh hình trụ: $S_{xq}=2\pi rh$.

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao).

Lời giải:

a) Khi quay hình bình hành $ABCD$ một vòng quanh cạnh $AB$ thì cạnh $AD$ và $BC$ vạch nên $2$ hình nón bằng nhau có đường sinh $AD=BC=x,$ cạnh $CD$ vạch nên hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình nón.

Trong $∆AHD$ có $\widehat{AHD}={90}^{\circ };\hat{A}={60}^{\circ }$, ta có:

$DH=AD.\sin {60}^o={\displaystyle x.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x\sqrt{3}}{2}}$

Diện tích toàn phần của hình tạo thành bằng tổng diện tích xung quanh $2$ hình nón và diện tích xung quanh hình trụ: $S=S_{\text{xq trụ}}+2S_{\text{xq nón}}$

$\begin{array}{rl}& S=2\pi DH.DC+2.\pi DH.AD\\ & =2\pi \frac{x\sqrt{3}}{2}.1+2.\pi .\frac{x\sqrt{3}}{2}.x\\ & =\pi x\sqrt{3}+\pi x^2\sqrt{3}\end{array}$

$\Rightarrow S=\pi x\sqrt{3}(1+x)$

Khi quay hình bình hành quanh trục $AD$ một vòng thì cạnh $AB$ và $DC$ vạch nên hai hình nón bằng nhau có đường sinh $AB=CD=1.$ Cạnh $BC$ vạch nên hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình nón.

Bán kính đáy: ${\displaystyle BH=AB.\sin {60}^o=1.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$S_1$ là diện tích toàn phần hình tạo thành bằng tổng diện tích xung quanh hai hình nón cộng với diện tích hình trụ.

$S_1=S_{\text{xq trụ}}+2S_{\text{xq nón}}$

$S_1=2\pi .BH.BC+2.\pi .BH.AB$

$S_1{\displaystyle =2\pi .\frac{\sqrt{3}}{2}.x+2.\pi .\frac{\sqrt{3}}{2}.1}$

$S_1=\pi \sqrt{3}(x+1)$

b) Để $S=S_1$ $\iff \pi x\sqrt{3}(1+x)=\pi \sqrt{3}(x+1)$

$\iff x(1+x)=x+1$

$\iff x\left(x+1\right)-\left(x+1\right)=0$

$\iff (x+1)(x-1)=0$

Vì $x>0\Rightarrow x+1\ne 0$

$\Rightarrow x-1=0\iff x=1$

Vậy $x=1$ thì $S=S_1$.

Để $S=2S_1$ $\iff \pi x\sqrt{3}(1+x)=2\pi \sqrt{3}(x+1)$

$\iff x(x+1)=2(x+1)$

$\iff x\left(x+1\right)-2\left(x+1\right)=0$

$\iff (x+1)(x-2)=0$

Vì $x>0\Rightarrow x+1\ne 0$

$\Rightarrow x-2=0\iff x=2$.

Vậy $x=2$ thì $S=2S_1$.

Người ta múc đầy nước vào hình nón và đổ vào hình trụ (không chứa gì cả) thì độ cao của nước trong hình trụ là:

(A) ${\displaystyle \frac{l}{6}}$(cm);                           (B) $l(cm)$;

(C) ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ (cm);                          (D) ${\displaystyle \frac{11}{6}l}$ (cm).

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Thể tích hình nón: ${\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h}$.

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao).

- Thể tích hình trụ: $V=Sh=\pi r^{2}h$.

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao, $S$ là diện tích đáy).

Lời giải:

Thể tích hình nón là: ${\displaystyle V_1=\frac{1}{3}\pi r^2.h}$

${\displaystyle V_1=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{m}{2}\right)}^2.2l=\frac{1}{3}\pi \frac{m^2}{4}.2l}$${\displaystyle =\frac{\pi m^{2}l}{6}}$ $(c{m}^3)$

Thể tích hình trụ là: $V_2=\pi r^2.h$

$V_2=\pi m^2.2l=2\pi m^{2}l$ $(c{m}^3)$

${\displaystyle \frac{V_1}{V_2}=\frac{\pi m^{2}l}{6}:2\pi m^{2}l}$${\displaystyle =\frac{\pi m^{2}l}{6}.\frac{1}{2\pi m^{2}l}}$${\displaystyle =\frac{1}{12}}$

Vậy khi đổ đầy nước vào hình nón rồi đổ vào hình trụ thì độ cao của nước trong hình trụ là ${\displaystyle \frac{1}{12}.2l=\frac{1}{6}l}$ ($cm$).

Chọn (A).

(A) ${\displaystyle \frac{5}{4};}$                                        (B) ${\displaystyle \frac{15}{12};}$

(C) ${\displaystyle \frac{25}{16};}$                                      (D) ${\displaystyle \frac{125}{64}.}$

Phương pháp giải:

Lời giải:

Gọi bán kính đáy hình nón ban đầu là $r$, độ dài đường cao là $h$.

Thể tích hình nón ban đầu là: $V={\displaystyle \frac{1}{3}\pi r^2.h}$

Thể tích nón mới khi bán kính và chiều cao tăng là:

${\displaystyle V_1=\pi {\left(\frac{5}{4}r\right)}^2.\frac{5}{4}h=\pi r^2.h.{\left(\frac{5}{4}\right)}^3}$

${\displaystyle \frac{V_1}{V}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h.{\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^3}{{\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h}}={\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^3$$={\displaystyle \frac{125}{64}}$

Chọn (D).

Sử dụng:

- Công thức tính thể tích hình trụ: $V=Sh=\pi r^{2}h$.

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao, $S$ là diện tích đáy).

Lời giải:

Gọi bán kính đáy hình nón là $R$, chiều cao hình nón là $h$, bán kính đáy hình trụ là $r$, chiều cao phần hình nón cắt đi là $BE=x$.

Vì $MN//AC$, theo hệ quả định lí Ta-lét ta có:

${\displaystyle \frac{ME}{AD}=\frac{BE}{BD}}$ hay ${\displaystyle \frac{r}{R}=\frac{x}{h}\Rightarrow r=\frac{Rx}{h}}$

Thể tích hình trụ là: $V=\pi r^2.(h-x)$

${\displaystyle V=\pi .{\left(\frac{Rx}{h}\right)}^2.\left(h-x\right)}$${\displaystyle =\pi .\frac{R^2{x}^2}{h^2}.(h-x)}$

Phần bỏ đi của hình nón ít nhất có nghĩa là thể tích của hình trụ lớn nhất:

${\displaystyle V=\pi .\frac{R^2{x}^2}{h^2}(h-x)}$

${\displaystyle \Rightarrow 2V{h}^2=\pi R^2{x}^2(2h-2x)}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{2V{h}^2}{\pi R^2}=x^2(2h-2x)}$)

Vì $\pi ,R,h$ là các hằng số nên thể tích hình trụ lớn nhất khi và chỉ khi $x^2\left(2h-2x\right)$ lớn nhất. Ta có $x^2\left(2h-2x\right)=x.x.\left(2h-2x\right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho ba số dương $x,x,2h-2x$ ta có:

$\sqrt[3]{x.x.\left(2h-2x\right)}\le {\displaystyle \frac{x+x+2h-2x}{3}}={\displaystyle \frac{2h}{3}}$ $\Rightarrow x.x.\left(2h-2x\right)\le {\left({\displaystyle \frac{2h}{3}}\right)}^3$ $={\displaystyle \frac{8h^3}{27}}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=2h-2x\iff 3x=2h$ $\Rightarrow x={\displaystyle \frac{2}{3}h}$

Vậy khi phần cắt bỏ ở phía trên hình nón có chiều cao bằng ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ chiều cao hình nón thì phần bỏ đi là ít nhất.

Chiều cao là $h(cm)$, bán kính đường tròn đáy là $r(cm)$ và độ dài đường sinh $m(cm)$ thì thể tích hình nón này là:

(A) $\pi r^{2}h(c{m}^3);$

(B) ${\displaystyle \frac{1}{3}}$$\pi r^{2}h(c{m}^3);$

(C) $\pi rm(c{m}^3);$

(D) $\pi r(r+m)(c{m}^3).$

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Thể tích hình nón: ${\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h}$.

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao).

Lời giải:

Chiều cao hình nón là $h(cm)$, bán kính đường tròn đáy là $r(cm)$, độ dài đường sinh là $m(cm).$

Thể tích hình nón là: $V={\displaystyle \frac{1}{3}\pi r^2.h(c{m}^3).}$

Chọn (B).

(A) ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}(c{m}^3)}$;                   (B) ${\displaystyle \frac{4\pi }{3}(c{m}^3)}$;

(C) ${\displaystyle 2\pi (c{m}^3)}$;                     (D) ${\displaystyle \frac{8\pi }{3}(c{m}^3).}$

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Thể tích hình trụ: $V=Sh=\pi r^{2}h$.

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao).

- Thể tích hình nón: ${\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h}$.

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao).

Lời giải:

Thể tích hình trụ là: ${\displaystyle V_1=\pi r^2.h=\pi {.1}^2.2=2\pi (c{m}^3)}$

Thể tích hình nón là: ${\displaystyle V_2=\frac{1}{3}\pi r^2.h=\frac{1}{3}\pi {.1}^2.2=\frac{2}{3}\pi (c{m}^3)}$

Thể tích phần còn lại của hình trụ là: ${\displaystyle V=V_1-V_2=2\pi -\frac{2}{3}\pi =\frac{4}{3}\pi (c{m}^3)}$

Chọn (B).

${\displaystyle \frac{1}{V_1^2}=\frac{1}{V_2^2}+\frac{1}{V_3^2}.}$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Thể tích hình nón: ${\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h}$.

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao).

- Định lí Pytago trong tam giác vuông: Bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của các cạnh góc vuông.

Lời giải:

$∆ABC$ có $\hat{A}={90}^{\circ }$, đặt $AB=c,AC=b,BC=a,AH=h$; $AH$ là đường cao kẻ từ đỉnh $A$ đến cạnh huyền $BC$.

Ta có: ${\displaystyle h=\frac{bc}{a}}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

- Khi quay tam giác vuông $ABC$ quanh cạnh huyền $BC$ một vòng thì cạnh $AB$ và $AC$ vạch nên hai hình nón có chung đáy có bán kính đáy bằng đường cao $AH$ và tổng chiều cao $2$ hình nón bằng cạnh huyền $BC.$ Như vậy, thể tích hình sinh ra là:

${\displaystyle V_1=\frac{1}{3}\pi .A{H}^2.HB+\frac{1}{3}\pi .A{H}^2.HC}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}A{H}^2.(HB+HC)}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}A{H}^2.BC}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{bc}{a}\right)}^2.a=\frac{\pi b^2{c}^2}{3a}}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{V_1^2}}={\displaystyle \frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{\pi b^2{c}^2}{3a}}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{9a^2}{{\pi }^2{b}^4{c}^4}}$           (1)

- Khi quay $∆ABC$ quanh cạnh $AB$ một vòng ta thu được hình nón có chiều cao $AB=c$, bán kính đáy $AC=b$ và thể tích hình sinh ra là:

${\displaystyle V_2=\frac{1}{3}\pi .A{C}^2.AB=\frac{1}{3}\pi b^{2}c}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{V_2^2}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{\pi b^{2}c}{3}}\right)}^2}=\frac{9}{{\pi }^2{b}^4{c}^2}}$

- Khi quay $∆ABC$ quanh cạnh $AC$ một vòng ta thu được hình nón có chiều cao $AC=b$, bán kính đáy $AB=c$ và thể tích hình sinh ra là:

${\displaystyle V_3=\frac{1}{3}\mathrm{A}{\mathrm{B}}^2.AC=\frac{1}{3}\pi c^{2}b}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{V_3^2}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{\pi b{c}^2}{3}}\right)}^2}=\frac{9}{{\pi }^2{b}^2{c}^4}}$

Ta có:

${\displaystyle \frac{1}{V_2^2}+\frac{1}{V_3^2}=\frac{9}{{\pi }^2{b}^4{c}^2}+\frac{9}{{\pi }^2{b}^2{c}^4}}$${\displaystyle =\frac{9(b^2+c^2)}{{\pi }^2{b}^4{c}^4}}$

Áp dụng định lí Pytago vào $∆ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$b^2+c^2=a^2$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{V_2^2}+\frac{1}{V_3^2}=\frac{9(b^2+c^2)}{{\pi }^2{b}^4{c}^4}}$${\displaystyle =\frac{9a^2}{{\pi }^2{b}^4{c}^4}}$            (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ${\displaystyle \frac{1}{V_1^2}=\frac{1}{V_2^2}+\frac{1}{V_3^2}}$.

Chứa đầy cát vào hình nón rồi đổ hết vào hình trụ thì độ cao của cát trong hình trụ sẽ là:

(A) ${\displaystyle \frac{k}{4}cm;}$                               (B) ${\displaystyle \frac{k}{3}cm;}$

(C) ${\displaystyle \frac{2k}{3}cm;}$                             (D) ${\displaystyle \frac{3k}{4}cm.}$

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Thể tích hình nón: ${\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h}$.

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao).

- Thể tích hình trụ: $V=Sh=\pi r^{2}h$.

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao, $S$ là diện tích đáy).

Lời giải:

$\begin{array}{l}{V}_{\text{nón}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi m^2.k\\ V_{\text{trụ}}=\pi m^2.k\\ \Rightarrow V_{\text{trụ}}=3V_{\text{nón}}\end{array}$

Chứa đầy cát vào hình nón rồi đổ hết vào hình trụ thì độ cao của cát trong hình trụ sẽ bằng ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ độ cao của hình trụ tức là ${\displaystyle \frac{k}{3}cm.}$

Chọn (B).