SBT Toán 9 Phần đại số: Ôn tập cuối năm

SBT Toán 9 Phần đại số: Ôn tập cuối năm | Giải SBT Toán lớp 9

thuy an pham Ngày: 25-05-2022 Lớp 9

9.6 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 9 Phần đại số: Ôn tập cuối năm chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 9 Phần đại số: Ôn tập cuối năm

Bài 1 trang 193 SBT Toán 9 tập 2: Căn bậc hai số học của

0, 36

là:

$(A) 0, 18;$

$(B) - 0, 18;$

$(C) 0, 6;$

$(D) - 0, 6$ và $0, 6.$

Hãy chọn đáp án đúng.

Phương pháp giải:

Với số dương $a$ , số $\sqrt{a}$ được gọi là căn bậc hai số học của $a .$

Lời giải:

Căn bậc hai số học của $0, 36$ là $\sqrt{0, 36} = 0, 6.$

Vậy chọn đáp án $(C) 0, 6$

Bài 2 trang 193 SBT Toán 9 tập 2: Biểu thức

\sqrt{5 - 2 x}

xác định khi:

$(A) x = 2, 5;$

$(B) x \geq 2, 5;$

$(C)$ với mọi giá trị của $x;$

$(D) x \leq 2, 5;$

Hãy chọn đáp án đúng.

Phương pháp giải:

$\sqrt{A}$ xác định (hay có nghĩa) khi $A$ lấy giá trị không âm.

Lời giải:

Biểu thức $\sqrt{5 - 2 x}$ xác định khi: $5 - 2 x \geq 0$ $\Leftrightarrow - 2 x \geq - 5$ $\Leftrightarrow x \leq 2, 5$

Vậy chọn $(D) x \leq 2, 5$

Bài 3 trang 193 SBT Toán 9 tập 2: Biểu thức

\sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{5})^{2}}

có giá trị là:

$(A) \sqrt{3} - \sqrt{5};$

$(B) \sqrt{3} + \sqrt{5};$

$(C) \sqrt{5} - \sqrt{3};$

$(D) 8 - 2 \sqrt{15};$

Hãy chọn đáp án đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng: Với mọi số $a,$ ta có $\sqrt{a^{2}} = | a | .$

Lời giải:

$\sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{5})^{2}}$ $= | \sqrt{3} - \sqrt{5} |$ $= \sqrt{5} - \sqrt{3}$

Vậy chọn $(C) \sqrt{5} - \sqrt{3}$

Bài 4 trang 193 SBT Toán 9 tập 2: Tính

(\frac{1}{2} . \sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2} \sqrt{4, 5} + \frac{2}{5} \sqrt{50})

: \frac{4}{15} \sqrt{\frac{1}{8}}

Phương pháp giải:

Với hai số $a$ và $b$ không âm, ta có: $\sqrt{a . b} = \sqrt{a} . \sqrt{b}$

Sử dụng: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a b}}{b} (a \geq 0; b > 0)$

Lời giải:

Ta có

$(\frac{1}{2} . \sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2} \sqrt{4, 5} + \frac{2}{5} \sqrt{50})$ $: \frac{4}{15} \sqrt{\frac{1}{8}}$

$= (\frac{1}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3}{2} . \sqrt{\frac{9}{2}} + \frac{2}{5} . \sqrt{25.2})$ $: \frac{4}{15} \sqrt{\frac{1}{8}}$
$= (\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{3}{2} . \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{2}{5} .5 \sqrt{2})$ $: (\frac{4}{15} . \frac{\sqrt{2}}{4})$
$= (\frac{\sqrt{2} - 9 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2}}{4}) : \frac{\sqrt{2}}{15}$
$= 0 : \frac{\sqrt{2}}{15} = 0$

Bài 5 trang 193 SBT Toán 9 tập 2: Rút gọn

$P = \frac{x \sqrt{x} + y \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} - {(\sqrt{x} - \sqrt{y})}^{2}$ với $x \geq 0, y \geq 0, x^{2} + y^{2} > 0.$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

Lời giải:

$P = \frac{x \sqrt{x} + y \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} - {(\sqrt{x} - \sqrt{y})}^{2}$

$P = \frac{(\sqrt{x})^{3} + (\sqrt{y})^{3}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} - {(\sqrt{x} - \sqrt{y})}^{2}$

$P = \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y}) (x - \sqrt{x y} + y)}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$ $- (x - 2 \sqrt{x y} + y)$

$P = x - \sqrt{x y} + y - x + 2 \sqrt{x y} - y$

$P = \sqrt{x y}$

Bài 6 trang 193 SBT Toán 9 tập 2: Chứng minh đẳng thức

$(\frac{1}{a - \sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1}) : \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 2 \sqrt{a} + 1}$ $= \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}}$ với $a > 0, a \neq 1$

Phương pháp giải:

Để chứng minh đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia.

Lời giải:

Biến đổi vế trái ta được:

$V T = (\frac{1}{a - \sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1})$ $: \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 2 \sqrt{a} + 1}$

$= (\frac{1}{\sqrt{a} . (\sqrt{a} - 1)} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1})$ $: \frac{\sqrt{a} + 1}{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}$

$= \frac{1 + \sqrt{a}}{\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)} : \frac{\sqrt{a} + 1}{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}$

$= \frac{1 + \sqrt{a}}{\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)} . \frac{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}{\sqrt{a + 1}}$

$= \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}} (= V P)$

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Bài 7 trang 193 SBT Toán 9 tập 2: Cho biểu thức:

$P = (\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2 \sqrt{x} + 1}) . \frac{{(1 - x)}^{2}}{2}$

a) Rút gọn $P .$

b) Tìm giá trị lớn nhất của $P .$

Phương pháp giải:

Các bước rút gọn biểu thức:

Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác không… nếu bài toán chưa cho)
Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức)
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung.
+ Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không.
Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.

Lời giải:

Điều kiện $P$ có nghĩa là $x \geq$ và $x \neq 1$

Rút gọn $P$

$P = (\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2 \sqrt{x} + 1})$ $. \frac{{(1 - x)}^{2}}{2}$

$= (\frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} - \frac{\sqrt{x} + 2}{{(\sqrt{x} + 1)}^{2}})$ $. \frac{{(x - 1)}^{2}}{2}$

$= (\frac{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1) {(\sqrt{x} + 1)}^{2}} - \frac{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1) {(\sqrt{x} + 1)}^{2}})$ $. \frac{{(x - 1)}^{2}}{2}$

$= \frac{(x - \sqrt{x} - 2) - (x + \sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 1) {(\sqrt{x} + 1)}^{2}}$ $. \frac{{(x - 1)}^{2}}{2}$

$= \frac{- 2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1) (x - 1)} . \frac{{(x - 1)}^{2}}{2}$

$= \frac{- \sqrt{x} . (x - 1)}{\sqrt{x} + 1}$

$= \frac{- \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1}$

$= - \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)$

$= \sqrt{x} (1 - \sqrt{x})$

$P = \sqrt{x} (1 - \sqrt{x})$ với $x \geq 0, x \neq 1$

$P = - x + \sqrt{x}$

$P = - (x - \sqrt{x})$

$P = - (x - 2 \sqrt{x} . \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4}$

$P = - {(\sqrt{x} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$

Vì ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2})}^{2} \geq 0$

$\Rightarrow - {(\sqrt{x} - \frac{1}{2})}^{2} \leq 0$

$\Rightarrow - {(\sqrt{x} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4} \leq \frac{1}{4}$

Hay $P \leq \frac{1}{4}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$ hay $x = \frac{1}{4}$ (thỏa mãn)

Vậy $P$ có giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{4}$ khi $x = \frac{1}{4}$

Bài 8 trang 194 SBT Toán 9 tập 2: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số

y = - 3 x + 4

$(A) (0; \frac{4}{3})$

$(B) (0; - \frac{4}{3})$

$(C) (- 1; - 7)$

$(D) (- 1; 7)$

Phương pháp giải:

Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hàm số, nếu tọa độ điểm nào nghiệm đúng thì điểm đó thuộc đồ thị hàm số.

Lời giải:

Thay lần lượt các giá trị của $x$ và $y$ của các điểm ở các phương án $A, B, C, D$ vào đồ thị hàm số $y = - 3 x + 4$ , điểm nào nghiệm đúng với hệ thức $y = - 3 x + 4$ thì điểm đó thuộc đồ thị của hàm số trên.

Ta có: $(- 3) (- 1) + 4 = 3 + 4 = 7$

Suy ra điểm có tọa độ $(- 1; 7)$ thuộc đồ thị hàm số $y = - 3 x + 4.$

Vậy chọn $(D) (- 1; 7)$

Bài 9 trang 194 SBT Toán 9 tập 2: Cho hàm số

y = (m - 3) x .

a) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đồng biến ? Nghịch biến ?

b) Xác định giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $A (1; 2)$ .

c) Xác định giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $B (1; - 2)$ .

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số $y = a x + b, (a \neq 0)$ đồng biến khi $a > 0$ và nghịch biến khi $a < 0.$

Lời giải:

Hàm số đồng biến khi hệ số $a = m - 3 > 0$ hay $m > 3$ và nghịch biến khi hệ số $a = m - 3 < 0$ hay $m < 3$ .

Điểm $A (1; 2)$ thuộc đồ thị hàm số $y = (m - 3) x$ nên tọa độ điểm $A$ phải nghiệm đúng hệ thức $y = (m - 3) x$ tức là $2 = (m - 3) .1$ suy ra $m = 5$ . Ta có hàm số $y = 2 x .$

Điểm $B (1; - 2)$ thuộc đồ thị hàm số $y = (m - 3) x$ nên tọa độ điểm $B$ phải nghiệm đúng hệ thức $y = (m - 3) x$ tức là $- 2 = (m - 3) .1$ suy ra $m = 1$ . Ta có hàm số $y = - 2 x .$

Bài 10 trang 194 SBT Toán 9 tập 2: Nghiệm của hệ phương trình

{\begin{matrix} 2 x - y = 3 \\ - 5 x + 6 y = 1 \end{matrix}

là cặp số :

$(A) (1; - 1)$

$(B) (\sqrt{2}; 2 \sqrt{2} - 3)$

$(C) (1; 1)$

$(D) (\frac{19}{7}; \frac{17}{7})$

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp cộng đại số:

+) Bước $1 :$ Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

+) Bước $2 :$ Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).

Lời giải:

Giải hệ phương trình ${\begin{matrix} 2 x - y = 3 \\ - 5 x + 6 y = 1 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} 12 x - 6 y = 18 \\ - 5 x + 6 y = 1 \end{matrix}$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 x - y = 3 \\ 7 x = 19 \end{matrix}$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} y = 2 x - 3 \\ x = \frac{19}{7} \end{matrix}$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} y = 2. \frac{19}{7} - 3 \\ x = \frac{19}{7} \end{matrix}$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} x = \frac{19}{7} \\ y = \frac{17}{7} \end{matrix}$

Suy ra hệ phương trình ${\begin{matrix} 2 x - y = 3 \\ - 5 x + 6 y = 1 \end{matrix}$ có nghiệm là $\Leftrightarrow {\begin{matrix} x = \frac{19}{7} \\ y = \frac{17}{7} \end{matrix}$

Vậy chọn $(D) (\frac{19}{7}; \frac{17}{7})$ .

Bài 11 trang 194 SBT Toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình :

a) ${\begin{matrix} \frac{2}{x + y} + \frac{1}{x - y} = 3 \\ \frac{1}{x + y} - \frac{3}{x - y} = 1 \end{matrix}$

b) ${\begin{matrix} 3 \sqrt{x} - 2 \sqrt{y} = - 2 \\ 2 \sqrt{x} + \sqrt{y} = 1 \end{matrix}$

Phương pháp giải:

Đưa về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách đặt ẩn phụ.

Sử dụng phương pháp cộng đại số:

+) Bước $1 :$ Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

+) Bước $2 :$ Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).

Lời giải:

Điều kiện $x \neq \pm y .$ Đặt $u = \frac{1}{x + y}; v = \frac{1}{x - y} .$ Hệ phương trình trở thành : ${\begin{matrix} 2 u + v = 3 \\ u - 3 v = 1 \end{matrix} (*)$ .

Giải hệ phương trình $(*)$ ta được : ${\begin{matrix} 2 u + v = 3 \\ u - 3 v = 1 \end{matrix}$ $\Rightarrow {\begin{matrix} 2 u + v = 3 \\ 2 u - 6 v = 2 \end{matrix}$ $\Rightarrow {\begin{matrix} 7 v = 1 \\ u - 3 v = 1 \end{matrix}$ $\Rightarrow {\begin{matrix} v = \frac{1}{7} \\ u = 1 + 3. \frac{1}{7} \end{matrix}$

$\Rightarrow {\begin{matrix} u = \frac{10}{7} \\ v = \frac{1}{7} \end{matrix}$ $\Rightarrow {\begin{matrix} \frac{1}{x + y} = \frac{10}{7} \\ \frac{1}{x - y} = \frac{1}{7} \end{matrix}$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} x + y = \frac{7}{10} \\ x - y = 7 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 x = \frac{77}{10} \\ y = x - 7 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} x = \frac{77}{20} \\ y = \frac{77}{20} - 7 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} y = - \frac{63}{20} \\ x = \frac{77}{20} \end{matrix}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là : $(\frac{77}{20}; - \frac{63}{20}) .$

Điều kiện $x ⩾ 0; y ⩾ 0.$ Đặt $\sqrt{x} = u (u ⩾ 0), \sqrt{y} = v (v ⩾ 0) .$ Hệ phương trình trở thành :

${\begin{matrix} 3 u - 2 v = - 2 \\ 2 u + v = 1 \end{matrix}$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} 3 u - 2 v = - 2 \\ 4 u + 2 v = 2 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} 7 u = 0 \\ 4 u + 2 v = 2 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} u = 0 \\ v = 1 \end{matrix}$

$\Rightarrow {\begin{matrix} \sqrt{x} = 0 \\ \sqrt{y} = 1 \end{matrix}$ $\Rightarrow {\begin{matrix} x = 0 (t m) \\ y = 1 (t m) \end{matrix}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(0; 1) .$

Bài 12 trang 194 SBT Toán 9 tập 2: Điểm

M (- 2, 5; 0)

thuộc đồ thị hàm số nào sau đây?

$(A) y = \frac{1}{5} x^{2}$

$(B) y = x^{2}$

$(C) y = 5 x^{2}$

$(D)$ Không thuộc cả ba đồ thị các hàm số trên

Phương pháp giải:

Thay tọa độ điểm $M$ vào hàm số,

+) Nếu tọa độ điểm $M$ nghiệm đúng thì điểm $M$ thuộc đồ thị hàm số.

+) Nếu tọa độ điểm $M$ không thỏa mãn hàm số thì điểm $M$ không thuộc đồ thị hàm số.

Lời giải:

Điểm $M (- 2, 5; 0)$ thuộc đồ thị hàm số nên ta thay tọa độ điểm $M$ vào các hàm số:

$a)$ $y = \frac{1}{5} x^{2}$

Ta có: $\frac{1}{5} (- 2, 5)^{2} = \frac{5}{4} \neq 0$ nên điểm $M$ không thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{1}{5} x^{2} .$

$b)$ $y = x^{2}$

Ta có: $(- 2, 5)^{2} = 6, 25 \neq 0$ nên điểm $M$ không thuộc đồ thị hàm số $y = x^{2} .$

$c)$ $y = 5 x^{2}$

Ta có: $5. (- 2, 5)^{2} = 31, 25 \neq 0$ nên điểm $M$ không thuộc đồ thị hàm số $y = 5 x^{2} .$

Suy ra điểm $M$ không thuộc đồ thị hàm số nào trong ba hàm số trên.

Vậy chọn $(D) .$

Bài 13 trang 195 SBT Toán 9 tập 2: Cho phương trình

x^{2} - 2 x + m = 0 (1) .

Với giá trị nào của

m

thì phương trình

(1)

a) Có nghiệm $?$

b) Có hai nghiệm dương $?$

c) Có hai nghiệm trái dấu ?

Phương pháp giải:

+) Đối với phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ và $b = 2 b^{'}$ biệt thức $Δ^{'} = b^{' 2} - a c :$

$-$ Nếu $Δ^{'} > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = \frac{- b^{'} + \sqrt{Δ^{'}}}{a},$ $x_{2} = \frac{- b^{'} - \sqrt{Δ^{'}}}{a} .$

$-$ Nếu $Δ^{'} = 0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = - \frac{b^{'}}{a} .$

Lời giải:

Phương trình $(1)$ có nghiệm nếu : $Δ^{'} = 1 - m ⩾ 0$ hay $m ⩽ 1.$

Phương trình $(1)$ có hai nghiệm dương nếu

${\begin{matrix} Δ^{'} = 1 - m ⩾ 0 \\ P = x_{1} x_{2} = m > 0 \\ S = x_{1} + x_{2} = 2 > 0 (l u ô n đ ú n g) \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} m \leq 1 \\ m > 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow 0 < m ⩽ 1.$

Phương trình $(1)$ có hai nghiệm trái dấu nếu :

$P = x_{1} . x_{2} = m < 0.$

Bài 14 trang 195 SBT Toán 9 tập 2: Lập một phương trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là

\frac{1}{10 - \sqrt{72}}

và

\frac{1}{10 + 6 \sqrt{2}}

Phương pháp giải:

Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ (với $S^{2} \geq 4 P)$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - S x + P = 0.$

Lời giải:

+) Tổng của hai nghiệm là $S = x_{1} + x_{2} = \frac{1}{10 - \sqrt{72}}$ $+ \frac{1}{10 + 6 \sqrt{2}}$ $= \frac{1}{10 - \sqrt{72}} + \frac{1}{10 + \sqrt{72}}$

$= \frac{10 + \sqrt{72} + 10 - \sqrt{72}}{10^{2} - {(\sqrt{72})}^{2}}$ $= \frac{20}{28} .$

+) Tích hai nghiệm là $P = x_{1} . x_{2} = \frac{1}{10 - \sqrt{72}} . \frac{1}{10 + 6 \sqrt{2}}$ $= \frac{1}{28} .$

Nhận thấy $S^{2} = {(\frac{20}{28})}^{2} > \frac{4}{28} = 4 P$

Nên phương trình phải tìm là : $x^{2} - \frac{20}{28} x + \frac{1}{28} = 0$ hay $28 x^{2} - 20 x + 1 = 0.$

Bài 15 trang 195 SBT Toán 9 tập 2: Giải các phương trình sau :

a) $5 x^{4} - 3 x^{2} + \frac{7}{16} = 0$

b) $12 x^{4} - 5 x^{2} + 30 = 0$

Phương pháp giải:

+) Đưa về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ.

+) Đối với phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ và biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c :$

$-$ Nếu $Δ > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a},$ $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} .$

$-$ Nếu $Δ < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

Đặt $x^{2} = u .$ Điều kiện $u \geq 0.$ Phương trình trở thành $5 u^{2} - 3 u + \frac{7}{16} = 0 (*) .$

Giải phương trình $(*)$ :

$Δ = (- 3)^{2} - 4.5. \frac{7}{16} = 9 - \frac{35}{4} = \frac{1}{4}$

Suy ra $\sqrt{Δ} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow u_{1} = \frac{3 + \frac{1}{2}}{2.5} = \frac{7}{20}$ (thỏa mãn)

$u_{2} = \frac{3 - \frac{1}{2}}{2.5} = \frac{1}{4}$ (thỏa mãn)

+) $u_{1} = \frac{7}{20}$ $\Rightarrow x^{2} = \frac{7}{20}$ $\Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{7}{20}} .$

+) $u_{2} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow x^{2} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$

Vậy phương trình đã cho có $4$ nghiệm $x_{1} = \sqrt{\frac{7}{20}};$ $x_{2} = - \sqrt{\frac{7}{20}};$ $x_{3} = \frac{1}{2};$ $x_{4} = - \frac{1}{2}$

Đặt $x^{2} = u .$ Điều kiện $u \geq 0.$ Phương trình trở thành $12 u^{2} - 5 u + 30 = 0 (* *) .$

Giải phương trình $(* *)$ :

$Δ = (- 5)^{2} - 4.12.30$ $= 25 - 1440 = - 1415 < 0$

Suy ra phương trình $(* *)$ vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 16 trang 195 SBT Toán 9 tập 2: Một tam giác có chiều cao bằng

\frac{3}{4}

cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm

3 d m

và cạnh đáy giảm đi

2 d m

thì diện tích của hình đó tăng thêm

12 d m^{2} .

Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :

Bước 1: Lập hệ phương trình

+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.

Lời giải:

+) Gọi chiều cao và cạnh đáy của tam giác ban đầu lần lượt là $x (d m)$ và $y (d m)$ $(y > x; x, y > 0) .$

Ta có diện tích tam giác bằng $\frac{1}{2} x y$

Vì chiều cao bằng $\frac{3}{4}$ cạnh đáy nên ta có phương trình: $x = \frac{3}{4} y$

Nếu chiều cao tăng thêm $3 d m$ và cạnh đáy giảm đi $2 d m$ thì diện tích của hình tam giác mới là $\frac{1}{2} (x + 3) (y - 2)$ (với $y > 2)$ và diện tích mới này tăng $12 d m^{2}$ so với diện tích ban đầu nên ta có phương trình: $\frac{1}{2} (x + 3) (y - 2) = \frac{1}{2} x y + 12$

Từ đó, ta có hệ phương trình :

${\begin{matrix} x = \frac{3}{4} y \\ \frac{1}{2} (x + 3) . (y - 2) = \frac{1}{2} x y + 12 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} x - \frac{3}{4} y = 0 \\ \frac{1}{2} (x y - 2 x + 3 y - 6) = \frac{1}{2} x y + 12 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} x - \frac{3}{4} y = 0 \\ \frac{1}{2} x y - x + \frac{3}{2} y - 3 = \frac{1}{2} x y + 12 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} x - \frac{3}{4} y = 0 \\ x - \frac{3}{2} y = - 15 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} \frac{3}{4} y = 15 \\ x - \frac{3}{2} y = - 15 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} y = 20 \\ x - \frac{3}{2} .20 = - 15 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 15 (t h ỏ a m ã n) \\ y = 20 (t h ỏ a m ã n) \end{matrix}$

Vậy chiều cao và cạnh đáy của tam giác ban đầu lần lượt là $15 d m; 20 d m .$

Bài 17 trang 195 SBT Toán 9 tập 2: Một ôtô đi từ

A

đến

B

với một vận tốc xác định. Nếu vận tốc tăng thêm

30 k m / h

thì thời gian đi sẽ giảm 1 giờ. Nếu vận tốc giảm bớt

15 k m / h

thì thời gian đi tăng thêm

1

giờ. Tính vận tốc và thời gian đi từ

A

đến

B

của ôtô.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :

Bước 1: Lập hệ phương trình

+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.

Lời giải:

+) Gọi vận tốc của ôtô là $x (k m / h) (x > 0)$ và thời gian đi của ôtô là $y (h) (y > 0) .$

Quãng đường $A B$ là: $x y$ (km)

Nếu vận tốc tăng thêm $30 k m / h$ thì thời gian đi sẽ giảm 1 giờ nên ta có phương trình: $(x + 30) (y - 1) = x y$

Nếu vận tốc giảm bớt $15 k m / h$ thì thời gian đi tăng thêm $1$ giờ nên ta có phương trình: $(x - 15) (y + 1) = x y$ $(Đ K : x > 15)$

Theo đề bài, ta có hệ phương trình :

${\begin{matrix} (x + 30) (y - 1) = x y \\ (x - 15) (y + 1) = x y \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} x y - x + 30 y - 30 = x y \\ x y + x - 15 y - 15 = x y \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} x - 30 y = - 30 \\ x - 15 y = 15 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} 15 y = 45 \\ x = 15 y + 15 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} y = 3 \\ x = 15.3 + 15 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 60 (t m) \\ y = 3 (t m) \end{matrix} .$

Vậy vận tốc và thời gian đi của của ôtô lần lượt là $60 (k m / h); 3 (h) .$

Bài 18 trang 195 SBT Toán 9 tập 2: Tìm hai số có tổng bằng

20

và tổng các bình phương của chúng bằng

208.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

$-$ Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :

Bước 1: Lập hệ phương trình

+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.

$-$ Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - S x + P = 0.$

Lời giải:

Gọi hai số cần tìm là $x$ và $y$ . Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y .$

Vì hai số có tổng bằng $20$ nên ta có phương trình: $x + y = 20$

Vì tổng các bình phương của hai số đó bằng $208$ nên ta có phương trình: $x^{2} + y^{2} = 208$

Từ đó, ta có hệ phương trình :

${\begin{matrix} x + y = 20 (1) \\ x^{2} + y^{2} = 208 \end{matrix}$

Từ phương trình $(1)$ ta suy ra ${(x + y)}^{2} = 20^{2}$ hay $x^{2} + y^{2} + 2 x y = 400$ $\Rightarrow 2 x y = 400 - (x^{2} + y^{2})$ $\Rightarrow 2 x y = 400 - 208$