Giải SGK Toán 9 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Van Anh Ngày: 23-09-2024 Lớp 9

1.4 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 2: Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn chi tiết sách Toán 9 Tập 1 Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 9 Bài 2: Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Hoạt động khám phá 1 trang 10 Toán 9 Tập 1: Để chuyển đổi từ độ F ( kí hiệu x) sang độ C (ký hiệu y), ta dùng công thức:

$y = \frac{5}{9} (x - 32)$

a) Biến đổi công thức trên về dạng x – 1,8y = 32.(1)

b) Hỏi 20^oC tương ứng bao nhiêu độ F?

c) Hỏi 98,6^oF tương ứng bao nhiêu độ C?

Lời giải:

a) Ta có $y = \frac{5}{9} (x - 32)$

$9 y = 5 (x - 32)$

$\begin{array}{l} 5 x - 9 y = 160 \\ x - 1, 8 y = 32 \end{array}$

b) x – 1,8y = 32

$\begin{array}{l} x = 32 + 1, 8 y \\ x = 32 + 1, 8.20 \\ x = 68 \end{array}$

Vậy 20^oC tương ứng 68^oF.

c) Ta có $y = \frac{5}{9} (x - 32)$

$y = \frac{5}{9} (98, 6 - 32) = 37$

Vậy 98,6oF tương ứng 37^oC.

Thực hành 1 trang 12 Toán 9 Tập 1: Xác định các hệ số a, b, c của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) x + 5y = -4

b) $\sqrt{3} x + y = 0$

c) $0 x - \frac{3}{2} y = 6$

d) 2x + 0y = - 1,5.

Lời giải:

a) a = 1; b = 5; c = -4

b) a = $\sqrt{3}$ ; b = 1; c = 0

c) a = 0; b = $- \frac{3}{2}$ ; c = 6

d) a = 2; b = 0; c = - 1,5.

Thực hành 2 trang 12 Toán 9 Tập 1: Cho phương trình 3x + 2y = 4. (1)

a) Trong 2 cặp số (1;2) và (2;-1), cặp số nào là nghiệm của phương trình(1)?

b) Tìm yo để cặp số (4;yo) là nghiệm của phương trình (1).

c) Tìm thêm 2 nghiệm của phương trình (1).

d) Hãy biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình (1) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.

Lời giải:

a) Thay cặp số (1;2) vào (1) ta có:

3.1 + 2.2 = 7 $\neq$ VP. Vậy (1;2) không phải nghiệm của (1)

Thay cặp số (2;-1) vào (1) ta có: 3.2 + 2.(-1) = 4 = VP. Vậy (2;-1) là nghiệm của (1).

b) Thay x = 4 vào (1) ta có:

3.4 + 2y = 4

Suy ra $y_{o} = \frac{4 - 12}{2} = - 4$ .

c) Ta có

$\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 4 \\ y = \frac{4 - 3 x}{2} \end{array}$

Cho x = 0 suy ra $y = 2$ . Vậy (0;2) là nghiệm của phương trình (1).

Cho x = 1 suy ra $y = \frac{1}{2}$ . Vậy (1; $\frac{1}{2}$ ) là nghiệm của phương trình (1).

d) Viết lại phương trình thành $y = \frac{4 - 3 x}{2} = 2 - \frac{3}{2} x$ . Từ đó, tất cả các nghiệm đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d: $y = 2 - \frac{3}{2} x$ .

Giải SGK Toán 9 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (ảnh 1)

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hoạt động khám phá 2 trang 12 Toán 9 Tập 1: Một ô tô đi từ A đến B, cùng lúc đó một xe máy đi từ B về A. Gọi x (km/h) là tốc độ của ô tô, y (km/h) là tốc độ của xe máy (x > 0, y > 0). Biết rằng:

(1) Tốc độ của ô tô hơn tốc độ xe máy 15 (km/h);

(2) Quãng đường AB dài 210 km và hai xe gặp nhau sau 2 giờ.

a) Từ dữ kiện (1), hãy lập một phương trình hai ẩn x,y.

b) Từ dữ kiện (2), hãy lập thêm một phương trình hai ẩn x, y.

c) Bạn An khẳng định rằng tốc độ của ô tô và xe máy lần lượt là 60 km/h và 45 km/h. Có thể dùng hai phương trình lập được đề kiểm tra khẳng định của bạn An là đúng hay sai không?

Lời giải:

a) Tốc độ của ô tô hơn tốc độ xe máy 15 (km/h). Ta có phương trình:

x – y = 15 (*)

b) Quãng đường AB dài 210 km và hai xe gặp nhau sau 2 giờ. Ta có phương trình:

2x + 2y = 210 (**)

c) Thay x = 60; y = 45 vào (*) ta có: 60 – 45 = 15 = VP

Thay x = 60; y = 45 vào (**) ta có: 2.60 + 2.45 = 210 = VP

Vậy khẳng định của bạn An là đúng.

Thực hành 3 trang 14 Toán 9 Tập 1: Trong các hệ phương trình sau, hệ phương trình nào là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) ${\begin{matrix} x + 3 y = 0 \\ 4 x - 3 y = - 4; \end{matrix}$

b) ${\begin{matrix} \sqrt{3} x + 0 y = - 5 \\ 0 x + \frac{4}{5} y = 3; \end{matrix}$

c) ${\begin{matrix} 7 x + 2 y = - 5 \\ 0 x + 0 y = 9; \end{matrix}$

Lời giải:

a) Hệ phương trình ${\begin{matrix} x + 3 y = 0 \\ 4 x - 3 y = - 4; \end{matrix}$ là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn với $a = 1, b = 3; c = 0$ và $a^{'} = 4, b^{'} = - 3, c^{'} = - 4$ .

b) Hệ phương trình ${\begin{matrix} \sqrt{3} x + 0 y = - 5 \\ 0 x + \frac{4}{5} y = 3; \end{matrix}$ là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn với $a = \sqrt{3}, b = 0, c = - 5$ và $a^{'} = 0, b^{'} = \frac{4}{5}, c^{'} = 3$ .

c) Hệ phương trình ${\begin{matrix} 7 x + 2 y = - 5 \\ 0 x + 0 y = 9; \end{matrix}$ không là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vì $a^{'} = b^{'} = 0$ .

Thực hành 4 trang 14 Toán 9 Tập 1: Cho hệ phương trình ${\begin{matrix} x + 5 y = 10 \\ 2 x - y = - 13. \end{matrix}$

Trong hai cặp số (0;2) và (-5;3), cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình đã cho?

Lời giải:

Cặp số (0;2) không phải là nghiệm của hệ phương trình ${\begin{matrix} 0 + 5.2 = 10 \\ 2.0 - 2 = - 2 (\neq - 13) . \end{matrix}$

Cặp số (-5;3) là nghiệm của hệ phương trình vì ${\begin{matrix} - 5 + 5.3 = 10 \\ - 2.5 - 3 = - 13. \end{matrix}$

Vận dụng trang 14 Toán 9 Tập 1: Đối với bài toán trong Hoạt động khởi động (trang 10), nếu x là số em nhỏ, y là số quả hồng thì ta nhận được hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn nào?

Hoạt động khởi động: Bài toán cổ:

Một đàn em nhỏ đứng bên sông

To nhỏ bàn nhau chuyện chia hồng

Mỗi người năm trái thừa năm trái

Mỗi người sáu trái một người không

Hỡi người bạn trẻ đang dừng bước

Có mấy em thơ, mấy trái hồng?

Làm thế nào để tính được số em nhỏ (em thơ) và số trái hồng.

Giải SGK Toán 9 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (ảnh 2)

Lời giải:

“Nếu mỗi người 5 trái thừa 5 trái” thì ta có phương trình: 5x + 5 = y

“Mỗi người 6 trái một người không” thì ta có phương trình: 6(x – 1) = y

Vậy ta có hệ phương trình là:

${\begin{matrix} 5 x + 5 = y \\ 6 (x - 1) = y \end{matrix}$ hay ${\begin{matrix} 5 x - y = - 5 \\ 6 x - y = 6 \end{matrix}$ .

Bài tập

Bài 1 trang 14 Toán 9 Tập 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn? Xác định các hệ số a, b, c của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đó.

a) 2x + 5y = -7;

b) 0x – 0y = 5;

c) 0x - $\frac{5}{4} y$ = 3;

d) 0,2x + 0y = -1,5.

Lời giải:

a) 2x + 5y = -7 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 2; b = 5; c = -7.

b) 0x – 0y = 5 không là phương trình bậc nhất hai ẩn vì a = b = 0.

c) 0x - $\frac{5}{4} y$ = 3 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 0; b = $- \frac{5}{4}$ ; c = 3.

d) 0,2x + 0y = -1,5 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 0,2; b = 0; c = -1,5.

Bài 2 trang 14 Toán 9 Tập 1: Trong các cặp số (1;1), (-2;5), (0;2), cặp số nào là nghiệm của mỗi phương trình sau?

a) 4x + 3y = 7;

b) 3x – 4y = -1.

Lời giải:

a) Ta có 4x + 3y = 7 suy ra y = $\frac{7 - 4 x}{3}$

Thay x = 1 suy ra y = 1. Vậy (1;1) là nghiệm của phương trình.

Thay x = -2 suy ra y = 5. Vậy (-2;5) là nghiệm của phương trình.

Thay x = 0 suy ra y = $\frac{7}{3}$ . Vậy (0;2) không là nghiệm của phương trình.

b) Ta có 3x - 4y = -1 suy ra y = $\frac{3 x + 1}{4}$

Thay x = 1 suy ra y = 1. Vậy (1;1) là nghiệm của phương trình.

Thay x = -2 suy ra y = $\frac{- 5}{4}$ . Vậy (-2;5) không là nghiệm của phương trình.

Thay x = 0 suy ra y = $\frac{1}{4}$ . Vậy (0;2) không là nghiệm của phương trình.

Bài 3 trang 14 Toán 9 Tập 1: Hãy biểu diễn tất cả các nghiệm của mỗi phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ Oxy.

a) 2x + y = 3;

b) 0x – y = 3;

c) – 3x + 0y = 2;

d) -2x + y = 0.

Lời giải:

a) Viết lại phương trình thành y = 3 – 2x . Từ đó, tất cả các nghiệm đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d: y = 3 – 2x.

Giải SGK Toán 9 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (ảnh 3)

b) Viết lại phương trình thành y = 3 . Từ đó, tất cả các nghiệm đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d: y = 3.

Giải SGK Toán 9 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (ảnh 4)

c) Viết lại phương trình thành x = $\frac{- 2}{3}$ . Từ đó, tất cả các nghiệm đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d: x = $\frac{- 2}{3}$ .

Giải SGK Toán 9 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (ảnh 5)

d) Viết lại phương trình thành y = 2x . Từ đó, tất cả các nghiệm đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d: y = 2x.

Giải SGK Toán 9 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (ảnh 6)

Bài 4 trang 14 Toán 9 Tập 1: Cho hệ phương trình ${\begin{matrix} 4 x - y = 2 \\ x + 3 y = 7. \end{matrix}$

Cặp số nào dưới đây là nghiệm của hệ phương trình đã cho?

a) (2;2)

b) (1;2)

c) (-1;-2).

Lời giải:

a) Thay x = 2; y = 2 vào hệ phương trình ta có:

${\begin{matrix} 4.2 - 2 = 6 \neq 2 \\ x + 3 y = 7. \end{matrix}$

Vậy (2;2) không phải là nghiệm của hệ phương trình.

b) Thay x = 1; y = 2 vào hệ phương trình ta có:

${\begin{matrix} 4.1 - 2 = 2 \\ 1 + 3.2 = 7 \end{matrix}$ (TM)

Vậy (1;2) là nghiệm của hệ phương trình.

c) Thay x = -1; y = -2 vào hệ phương trình ta có:

${\begin{matrix} 4. (- 1) - (- 2) = - 2 \neq 2 \\ x + 3 y = 7. \end{matrix}$

Vậy (-1;-2) không phải là nghiệm của hệ phương trình.

Bài 5 trang 14 Toán 9 Tập 1: Cho hai đường thẳng $y = - \frac{1}{2} x + 2$ và y = -2x – 1.

a) Vẽ hai đường thẳng đó trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy.

b) Xác định toạ độ giao điểm A của hai đường thẳng trên.

c) Toạ độ của điểm A có là nghiệm của hệ phương trình ${\begin{matrix} x + 2 y = 4 \\ 2 x + y = - 1 \end{matrix}$ không? Tại sao?

Lời giải:

Giải SGK Toán 9 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (ảnh 7)

b) Toạ độ A(-2;3)

c) Thay x = -2; y = 3 vào hệ phương trình ${\begin{matrix} x + 2 y = 4 \\ 2 x + y = - 1 \end{matrix}$ ta có:

${\begin{matrix} - 2 + 2.3 = 4 \\ 2. (- 2) + 3 = - 1 \end{matrix}$ (TM)

Vậy toạ độ của điểm A có là nghiệm của hệ phương trình ${\begin{matrix} x + 2 y = 4 \\ 2 x + y = - 1 \end{matrix}$ .

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 2. Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương 1

Bài 1. Bất đẳng thức

Bài 2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng

$a x + b y = c$ ,

trong đó a, b và c là các số đã biết (gọi là hệ số), $a \neq 0$ hoặc $b \neq 0$ .

Ví dụ: $2 x + 3 y = 4$ , $0 x + 2 y = 3$ , $x + 0 y = 2$ là các phương trình bậc nhất hai ẩn.

Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Nếu giá trị của vế trái tại $x = x_{0}$ và $y = y_{0}$ bằng vế phải thì cặp số $(x_{0}; y_{0})$ được gọi là một nghiệm của phương trình.

Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó.

Ví dụ: Cặp số $(- 1; 2)$ là nghiệm của phương trình $2 x + 3 y = 4$ vì $2. (- 1) + 3.2 = - 2 + 6 = 4$ .

Cặp số $(1; 2)$ không là nghiệm của phương trình $2 x + 3 y = 4$ vì

$2.1 + 3.2 = 2 + 6 = 8 \neq 4$ .

Biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng tọa độ Oxy

- Mỗi nghiệm $(x_{0}; y_{0})$ của phương trình $a x + b y = c$ được biểu diễn bởi điểm có tọa độ $(x_{0}; y_{0})$ trên mặt phẳng tọa độ.

- Phương trình bậc nhất hai ẩn $a x + b y = c$ luôn luôn có vô số nghiệm. Tất cả các nghiệm của phương trình đó được biểu diễn bởi một đường thẳng.

Ví dụ:

Nghiệm của phương trình $- 3 x + y = 2$ được biểu diễn bởi đường thẳng d: $y = 3 x + 2$ .

Nghiệm của phương trình $0 x + y = - 2$ được biểu diễn bởi đường thẳng d: $y = - 2$ vuông góc với Oy tại điểm $M (0; - 2)$ .

Nghiệm của phương trình $2 x + 0 y = 3$ được biểu diễn bởi đường thẳng d: $x = 1, 5$ vuông góc với Ox tại điểm $N (1, 5; 0)$ .

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng:

${\begin{cases} a x + b y = c (1) \\ a^{'} x + b^{'} y = c^{'} (2) \end{cases}$

Trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số đã biết (gọi là hệ số), $a \neq 0$ hoặc $b \neq 0$ , $a^{'} \neq 0$ hoặc $b^{'} \neq 0$ .

Ví dụ: Hệ phương trình ${\begin{cases} 2 x - y = 0 \\ x + y = 3 \end{cases}$ , ${\begin{cases} 3 x = 1 \\ x - y = 3 \end{cases}$ , ${\begin{cases} 4 x - y = 3 \\ 3 y = 6 \end{cases}$ là các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.