Lời giải:

Hoạt động khám phá 3 trang 19 Toán 9 Tập 1: Hai lớp 9A và 9B có tổng số 82 học sinh. Trong dịp Tết trồng cây năm 2022, mỗi học sinh lớp 9A trồng được 3 cây, mỗi học sinh lớp 9B trồng được 4 cây nên cả hai lớp trồng được tổng số 288 cây.

Gọi x, y lần lượt là số học sinh lớp 9A và 9B ($x\in \mathbb{N}\ast ,y\in \mathbb{N}\ast$).

a) Từ dữ liệu đã cho, lập hai phương trình bậc nhất hai ẩn biểu thị số học sinh hai lớp và số cây trồng được.

b) Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và cho biết mỗi lớp có bao nhiêu học sinh

Lời giải:

a) Tổng số học sinh 2 lớp là 82 học sinh ta có phương trình: x + y = 82

Mỗi HS lớp 9A trồng được 3 cây, mỗi HS lớp 9B trồng được 4 cây mà tổng số cây trồng được của cả 2 lớp là 288 cây ta có phương trình: 3x + 4y = 288

b) Ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x+y=82\\ 3x+4y=288\end{array}$

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}x=82-y\\ 3.(82-y)+4y=288\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x=82-y\\ 246-3y+4y=288\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x=82-y\\ y=42\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x=40\\ y=42\end{array}\end{array}$

Vậy lớp 9A có 40 HS, lớp 9B có 42 HS.

Thực hành 4 trang 20 Toán 9 Tập 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 64 m. Nếu tăng chiều dài thêm 2 m và tăng chiều rộng thêm 3 m thì diện tích tăng thêm 88 m2 . Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn đó.

Lời giải:

Gọi x, y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật ($x\in \mathbb{N}\ast ;y\in \mathbb{N}\ast$).

Chu vi hình chữ nhật là 64m, nên ta có phương trình 2(x + y) = 64 suy ra x + y = 32 (1)

Nếu tăng chiều dài thêm 2 m và tăng chiều rộng thêm 3 m thì diện tích tăng thêm 88 m2 , nên ta có phương trình (x + 2)(y + 3) = xy + 88 suy ra 3x + 2y = 82 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\{\begin{array}{c}x+y=32\\ 3x+2y=82\end{array}$

Giải hệ phương trình ta được $\{\begin{array}{c}x=18\\ y=14\end{array}$ (Thoả mãn).

Vậy chiều dài là 18 m và chiều rộng là 14 m.

Thực hành 5 trang 20 Toán 9 Tập 1: Cân bằng phương trình hoá học sau bằng phương pháp đại số.

NO + O2 $\to$ NO₂

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là hệ số của N và O2 thoả mãn cân bằng phương trình hoá học

xNO + yO2 $\to$ NO₂

Cân bằng số nguyên tử N, số nguyên tử O ở 2 vế, ta được hệ:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}x=1\\ x+2y=2\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x=1\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\end{array}$

Đưa các hệ số tìm được vào phương trình hoá học, ta có

NO + $\frac{1}{2}$O2 $\to$ NO₂

Do các hệ số của phương trình hoá học phải là các số nguyên nên nhân hai vế của phương trình hoá học với 2, ta được

2NO + O₂ $\to$ 2NO₂

Vận dụng 2 trang 20 Toán 9 Tập 1: Giải bài toán trong Hoạt động khởi động.

Hoạt động khởi động: Tại một cửa hàng, chị An mua 1,2 kg thịt lợn và 0,7 kg thịt bò hết 362 000 đồng; chị Ba mua 0,8 kg thịt lợn và 0,5 kg thịt bò cùng loại hết 250 000 đồng. Làm thế nào để tính được giá tiền 1 kg mỗi loại thịt lợn và thịt bò?

Lời giải:

Gọi x, y lần lượt là giá tiền 1 kg thịt lợn và giá tiền 1 kg thịt bò ($x\in \mathbb{N}\ast ;y\in \mathbb{N}\ast$).

Chị An mua 1,2 kg thịt lợn và 0,7 kg thịt bò hết 362 000 đồng, ta có phương trình

1,2x + 0,7y = 362000 (1)

Chị Ba mua 0,8 kg thịt lợn và 0,5 kg thịt bò cùng loại hết 250 000 đồng, ta có phương trình

0,8x + 0,5y = 250000 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}1,2x+0,7y=362000\\ 0,8x+0,5y=250000\end{array}$

Giải hệ phương trình ta được $\{\begin{array}{c}x=150000\\ y=260000\end{array}$ (Thoả mãn)

Vậy giá tiền 1 kg thịt lợn là 150 000 đồng và giá tiền 1 kg thịt bò là 260 000 đồng.

Bài tập

Bài 1 trang 21 Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình

a) $\{\begin{array}{c}3x+y=3\\ 2x-y=7\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}x-y=3\\ 3x-4y=2\end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}4x+5y=-2\\ 2x-y=-8\end{array}$

d) $\{\begin{array}{c}3x+y=3\\ -3y=5\end{array}$

a) $\{\begin{array}{c}3x+y=3\\ 2x-y=7\end{array}$

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}3x+y=3\\ y=2x-7\end{array}\\ \{\begin{array}{c}3x+2x-7=3\\ y=2x-7\end{array}\\ \{\begin{array}{c}5x=10\\ y=2x-7\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x=2\\ y=-3\end{array}\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2; - 3).

b) $\{\begin{array}{c}x-y=3\\ 3x-4y=2\end{array}$

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}x=3+y\\ 3.(3+y)-4y=2\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x=3+y\\ y=7\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x=10\\ y=7\end{array}\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (10; 7).

c) $\{\begin{array}{c}4x+5y=-2\\ 2x-y=-8\end{array}$

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}4x+5.(2x+8)=-2\\ y=2x+8\end{array}\\ \{\begin{array}{c}14x=-42\\ y=2x+8\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x=-3\\ y=2\end{array}\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (-3; 2).

d) $\{\begin{array}{c}3x+y=3\\ -3y=5\end{array}$

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}3x+\frac{-5}{3}=3\\ y=\frac{-5}{3}\end{array}\\ \{\begin{array}{c}3x=\frac{14}{3}\\ y=\frac{-5}{3}\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x=\frac{14}{9}\\ y=\frac{-5}{3}\end{array}\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(\frac{14}{9};\frac{-5}{3}\right)$.

Bài 2 trang 21 Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình

a) $\{\begin{array}{c}4x+y=2\\ \frac{4}{3}x+\frac{1}{3}y=1\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}x-y\sqrt{2}=0\\ 2x+y\sqrt{2}=3\end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}5x\sqrt{3}+y=2\sqrt{2}\\ x\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2\end{array}$

d) $\{\begin{array}{c}2(x+y)+3(x-y)=4\\ (x+y)+2(x-y)=5\end{array}$

a) $\{\begin{array}{c}4x+y=2\\ \frac{4}{3}x+\frac{1}{3}y=1\end{array}$

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}y=2-4x\\ \frac{4}{3}x+\frac{1}{3}\left(2-4x\right)=1\end{array}\\ \{\begin{array}{c}y=2-4x\\ 0x=\frac{1}{3}\end{array}\end{array}$

Phương trình 0x = $\frac{1}{3}$ vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

b) $\{\begin{array}{c}x-y\sqrt{2}=0\\ 2x+y\sqrt{2}=3\end{array}$

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}3x=3\\ 2x+y\sqrt{2}=3\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x=1\\ 2+y\sqrt{2}=3\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x=1\\ y\sqrt{2}=1\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x=1\\ y=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(1;\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

c) $\{\begin{array}{c}5x\sqrt{3}+y=2\sqrt{2}\\ x\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2\end{array}$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $\sqrt{2}$, ta được

$\{\begin{array}{c}5x\sqrt{6}+y\sqrt{2}=4\\ x\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2\end{array}$

Cộng từng vế 2 phương trình của hệ, ta được $6\sqrt{6}x=6$ , suy ra x = $\frac{1}{\sqrt{6}}$.

Thay x = $\frac{1}{\sqrt{6}}$ vào phương trình $x\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2$ ta được $1-y\sqrt{2}=2$. Do đó,

 y = $\frac{-1}{\sqrt{2}}$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(\frac{1}{\sqrt{6}};\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)$.

d) $\{\begin{array}{c}2(x+y)+3(x-y)=4\\ (x+y)+2(x-y)=5\end{array}$

Nhân hai vế phương trình thứ hai với 2, ta được

$\{\begin{array}{c}2(x+y)+3(x-y)=4\\ 2(x+y)+4(x-y)=10\end{array}$

Trừ từng vế 2 phương trình của hệ, ta được – (x – y) = - 6 , suy ra (x – y) = 6 (1)

Thay x – y = 6 vào phương trình 2(x + y) + 3(x – y) = 4 ta được 2(x + y) + 18 = 4

Suy ra x + y = - 7 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}x+y=-7\\ x-y=6\end{array}\\ \{\begin{array}{c}6+y+y=-7\\ x=6+y\end{array}\\ \{\begin{array}{c}y=\frac{-13}{2}\\ x=\frac{-1}{2}\end{array}\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(\frac{-1}{2};\frac{-13}{2}\right)$.

Bài 3 trang 21 Toán 9 Tập 1: Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:

a) A(1; 2) và B(3; 8)

b) A(2;1) và B(4; - 2)

a) A(1; 2) và B(3; 8)

Thay x = 1 và y = 2 vào y = ax + b ta có phương trình a + b = 2 (1)

Thay x = 3 và y = 8 vào y = ax + b ta có phương trình 3a + b = 8 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}a+b=2\\ 3a+b=8\end{array}$

Giải hệ phương trình ta được: $\{\begin{array}{c}a=3\\ b=-1\end{array}$

b) A(2;1) và B(4; - 2)

Thay x = 2 và y = 1 vào y = ax + b ta có phương trình 2a + b = 1 (3)

Thay x = 4 và y = -2 vào y = ax + b ta có phương trình 4a + b = -2 (4)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}2a+b=1\\ 4a+b=-2\end{array}$

Giải hệ phương trình ta được: $\{\begin{array}{c}a=\frac{-3}{2}\\ b=4\end{array}$

Bài 4 trang 21 Toán 9 Tập 1: Trong tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy. So với tháng thứ nhất, trong tháng thứ hai, tổ một sản xuất vượt 15%, tổ hai vượt 20% nên trong tháng này, cả hai tổ đã sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Gọi x và y lần lượt là số chi tiết máy mà tổ một và tổ hai sản xuất được trong tháng thứ nhất ($x\in \mathbb{N}\ast ;y\in \mathbb{N}\ast$).

Trong tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy, nên ta có phương trình:

x + y = 800 (1)

Trong tháng thứ hai, tổ một sản xuất vượt 15%, tổ hai vượt 20% nên trong tháng này, cả hai tổ đã sản xuất được 945 chi tiết máy, ta có phương trình

(x + 0,15x) + (y + 0,2y) = 945 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}x+y=800\\ 1,15x+1,2y=945\end{array}$

Giải hệ phương trình ta được: $\{\begin{array}{c}x=300\\ y=500\end{array}$

Vậy trong tháng 1, tổ một sản xuất được 300 chi tiết máy, tổ hai sản xuất được 500 chi tiết máy.

Bài 5 trang 21 Toán 9 Tập 1: Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo khoác xuất khẩu. Nếu tổ thứ nhất may trong 7 ngày và tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1540 chiếc áo. Biết rằng mỗi ngày tổ thứ hai may được nhiều hơn tổ thứ nhất 20 chiếc áo. Hỏi trong một ngày mỗi tổ may được bao nhiêu chiếc áo?(Năng suất may áo của mỗi tổ trong các ngày là như nhau.)

Gọi x và y lần lượt là số áo mà tổ thứ nhất và tổ thứ hai may được trong một ngày

($x\in \mathbb{N}\ast ;y\in \mathbb{N}\ast$).

Nếu tổ thứ nhất may trong 7 ngày và tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1540 chiếc áo, nên ta có phương trình: 5x + 7y = 1540 (1)

Mỗi ngày tổ thứ hai may được nhiều hơn tổ thứ nhất 20 chiếc áo, ta có phương trình: y – x = 20 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}7x+5y=1540\\ y-x=20\end{array}$

Giải hệ phương trình, ta được: $\{\begin{array}{c}x=120\\ y=140\end{array}$

Vậy trong một ngày tổ thứ nhất may được 120 chiếc áo, tổ thứ hai may được 140 chiếc áo.

Bài 6 trang 21 Toán 9 Tập 1: Trên một cánh đồng, người ta cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả 660 tấn thóc. Hỏi năng suất lúa giống mới trên 1 ha bằng bao nhiêu? Biết rằng 3 ha trồng lúa giống mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa giống cũ là 3 tấn.

Gọi x và y lần lượt là năng suất lúa giống mới và giống cũ trên 1 ha

($x\in \mathbb{N}\ast ;y\in \mathbb{N}\ast$).

Người ta cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả 660 tấn thóc, nên ta có phương trình: 60x + 40y = 660 (1)

Biết rằng 3 ha trồng lúa giống mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa giống cũ là 3 tấn, ta có phương trình: 4y – 3x = 3 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}60x+40y=660\\ 4y-3x=3\end{array}$

Giải hệ phương trình, ta được: $\{\begin{array}{c}x=7\\ y=6\end{array}$

Vậy năng suất lúa giống mới trên 1 ha là 7 tấn; năng suất lúa giống cũ trên 1 ha là 6 tấn.

Bài 7 trang 21 Toán 9 Tập 1: Cân bằng phương trình hoá học sau bằng phương pháp đại số.

a) Ag + Cl2 $\to$ AgCl

b) CO2 + C $\to$ CO

xAg + yCl2 $\to$ AgCl

Cân bằng số nguyên tử Ag, số nguyên tử Cl ở 2 vế, ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}2y=1\\ x=1\end{array}$

Giải hệ phương trình, ta được: $\{\begin{array}{c}y=\frac{1}{2}\\ x=1\end{array}$

Đưa các hệ số tìm được vào phương trình hoá học, ta có

Ag + $\frac{1}{2}$Cl2 $\to$ AgCl

Do các hệ số của phương trình hoá học phải là các số nguyên nên nhân hai vế của phương trình hoá học với 2, ta được

2Ag + Cl2 $\to$ 2AgCl

b) Gọi x và y lần lượt là hệ số của C và O2 thoả mãn cân bằng phương trình hoá học

yCO2 + xC $\to$ CO

Cân bằng số nguyên tử C, số nguyên tử O ở 2 vế, ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}2y=1\\ x+y=1\end{array}$

Giải hệ phương trình, ta được: $\{\begin{array}{c}y=\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{2}\end{array}$

Đưa các hệ số tìm được vào phương trình hoá học, ta có

$\frac{1}{2}$CO2 + $\frac{1}{2}$C $\to$ CO

Do các hệ số của phương trình hoá học phải là các số nguyên nên nhân hai vế của phương trình hoá học với 2, ta được

CO2 + C $\to$ 2CO