Hoạt động khám phá 2 trang 7 Toán 9 Tập 1: Xét hai phương trình

$2x+\frac{1}{x-2}-4=\frac{1}{x-2}(1)$ và $2x-4=0(2)$

a) Có thể biến đổi như thế nào để chuyển phương trình (1) về phương trình (2)?

b) $x=2$ có là nghiệm của phương trình (2) không? Tại sao?

c) $x=2$ có là nghiệm của phương trình (1) không? Tại sao?

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}2x+\frac{1}{x-2}-4=\frac{1}{x-2}\\ \frac{2x(x-2)}{x-2}+\frac{1}{x-2}-\frac{4(x-2)}{x-2}=\frac{1}{x-2}\\ \frac{2x(x-2)+1-4(x-2)}{x-2}=\frac{1}{x-2}\\ \frac{2x^2-4x+1-4x+8}{x-2}=\frac{1}{x-2}\\ \frac{2x^2-8x+8}{x-2}=0\\ \frac{2(x^2-4x+4)}{x-2}=0\\ \frac{2{(x-2)}^2}{x-2}=0\end{array}$

Nếu $x-2=0$ thì phương trình vô nghĩa.

Nếu $x-2\ne 0$ suy ra $x\ne 2$ thì phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}2(x-2)=0\\ 2x-4=0\end{array}$

Vậy để biến đổi phương trình (1) về phương trình (2) thì $x\ne 2$.

b) Thay $x=2$ vào phương trình (1) ta được:

$\begin{array}{l}2.2+\frac{1}{2-2}-4=\frac{1}{2-2}\\ 0+\frac{1}{0}-4=\frac{1}{0}\end{array}$

Điều này là vô lí nên $x=2$ không phải là nghiệm của phương trình (1).

c) Thay $x=2$ vào phương trình (2) ta được:

$\begin{array}{l}2.2-4=0\\ 4-4=0\\ 0=0\end{array}$

Điều này luôn đúng nên $x=2$ là nghiệm của phương trình (2).

Lý Thuyết Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ:

- Phương trình $\frac{5x+2}{x-1}=0$ có điều kiện xác định là $x\ne 1$ vì $x-1\ne 0$ khi $x\ne 1$.

- Phương trình $\frac{1}{x+1}=1+\frac{1}{x-2}$ có điều kiện xác định là $x\ne -1$ và $x\ne 2$ vì $x+1\ne 0$ khi $x\ne -1$, $x-2\ne 0$ khi $x\ne 2$.

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ: Giải phương trình $\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

Lời giải:

Điều kiện xác định $x\ne -1$ và $x\ne 2$.

Ta có: $\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

$\frac{2\left(x-2\right)+\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

$2\left(x-2\right)+\left(x+1\right)=3$

$\begin{array}{l}2\left(x-2\right)+\left(x+1\right)=3\\ 2x-4+x+1=3\\ 3x-3=3\\ 3x=6\\ x=2\end{array}$

Giá trị $x=2$ không thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình $\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$ vô nghiệm.