a) Trong hình $102$, cho $A$ là giao điểm của đường tròn $(0;6)$ với tia ${90}^o$ và kí hiệu là $A(6;{90}^o)$. Tương tự $B$ là giao điểm của đường tròn $(0;3)$ với tia ${150}^o$ và kí hiệu là $B(3;{150}^o)$. Hãy đánh dấu các điểm $C(6;{210}^o),D(3;{30}^o)$ và $E(6;{330}^o)$ trên hình $102.$

b) Nối $AB,BC,AD,DE$ và $BD$ em thấy hình gì?

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để tìm các giao điểm.

Lời giải:

a) Ta đánh dấu các điểm như sau:

b) 

Nối $AB,BC,AD,DE$ và $BD$ ta thu được hình chữ A.

(A) $x(cm);$                 (B) $\sqrt{2}x(cm)$

(C) ${\displaystyle \frac{x}{\sqrt{2}}(cm)}$             (D) $2x(cm)$

Phương pháp giải:

Sử dụng: Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

Lời giải:

Ta có $OS=OR=x$ (= bán kính)

$\mathrm{\Delta }STO$ vuông tại $T$ có $\widehat{TOS}={45}^o$

Ta có $ST={\displaystyle OS.\sin {45}^o=x.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{x}{\sqrt{2}}}$ (cm).

Chọn (C).

(A) Hình tròn có bán kính $2cm$.

(B) Hình vuông có độ dài cạnh $3,5cm$.

(C) Tam giác với độ dài các cạnh là $3cm,4cm,5cm$.

(D) Nửa mặt cầu bán kính $4cm$.

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Diện tích hình tròn bán kính $r$ là: $S=\pi r^2$.

- Diện tích hình vuông cạnh $a$ là $S=a^2$.

- Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.

- Diện tích mặt cầu bán kính $r$ là: $S=4\pi r^2.$

Lời giải:

(A) Hình tròn có bán kính $2cm$ có diện tích là: $S=\pi r^2=\pi {.2}^2=4\pi (c{m}^2)$

(B) Hình vuông có cạnh bằng $3,5cm$ có diện tích là: $S=a^2=3,5^2=12,25(c{m}^2)$

(C) Ta có: $3^2+4^2=5^2$ do đó tam giác có độ dài các cạnh $3cm,4cm,5cm$ là tam giác vuông.

Diện tích tam giác đó là:

${\displaystyle S=\frac{1}{2}.3.4=6(c{m}^2)}$

(D) Diện tích nửa mặt cầu bán kính $4cm$ là:

$S{\displaystyle =\frac{1}{2}.4\pi r^2=\frac{1}{2}.4\pi {.4}^2=32\pi (c{m}^2)}$.

Vậy trong các hình trên thì nửa mặt cầu bán kính 4cm có diện tích lớn nhất

Chọn D.

Cho hình quay một vòng xung quanh đường cao $AH$ của tam giác đó, (xem hình 104), ta được một hình nón ngoại tiếp hình cầu. Tính thể tích phần hình nón bên ngoài hình cầu.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Thể tích hình nón có bán kính đáy $r$, chiều cao $h$ là: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h$.

- Thể tích hình cầu bán kính $r$ là: ${\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^3}$.

Lời giải:

Gọi $h$ là đường cao của tam giác đều, $r$ là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đó.

Trong $\mathrm{\Delta }AHC$ có $\widehat{AHC}={90}^o;\hat{C}={60}^o$.

${\displaystyle AH=AC.\sin C=a.\sin {60}^{{}^0}=\frac{a\sqrt{3}}{2}}$

$\mathrm{\Delta }ABC$ đều, tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác đồng thời là giao ba đường trung tuyến, giao ba đường trung trực nên ta có $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$

${\displaystyle r=OH=\frac{1}{3}AH=\frac{a\sqrt{3}}{6}}$

Thể tích hình nón là: 

${\displaystyle V_1=\frac{1}{3}\pi .B{H}^2.AH}$${\displaystyle =\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{24}}$ (đơn vị thể tích)

Thể tích hình cầu là:

${\displaystyle V_2=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi .{\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^3}$${\displaystyle =\frac{4}{3}\pi .\frac{3a^3\sqrt{3}}{216}=\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{54}}$ (đơn vị thể tích).

Phần thể tích hình nón nằm ngoài hình cầu là:

$V=V_1-V_2={\displaystyle \frac{\pi a^3\sqrt{3}}{24}-\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{54}}$${\displaystyle =\frac{9\pi a^3\sqrt{3}-4\pi a^3\sqrt{3}}{216}=\frac{5\pi a^3\sqrt{3}}{216}}$ (đơn vị thể tích)

Tỉ số các thể tích của $2$ hình cầu này là:

(A) $1:2$            (B) $1:4$         (C) $1:8$

(D) Một kết quả khác.

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức:

Thể tích hình cầu bán kính $R$ : ${\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi R^3}$.

Lời giải:

Hình cầu $A$ có bán kính $r=x$ có thể tích là: ${\displaystyle V_1=\frac{4}{3}\pi x^3\left(c{m}^3\right)}$

Hình cầu $B$ có bán kính $r=2x$ có thể tích là: ${\displaystyle V_2=\frac{4}{3}\pi {\left(2x\right)}^3=\frac{32}{3}\pi x^3\left(c{m}^3\right)}$

${\displaystyle V_1:V_2=\frac{4}{3}:\frac{32}{3}=\frac{4}{3}.\frac{3}{32}=\frac{1}{8}}$

Chọn (C).

Thể tích của hình nhận giá trị nào trong các giá trị sau:

(A) ${\displaystyle \frac{2}{3}\pi x^3(c{m}^3)}$         (B) ${\displaystyle \pi x^3(c{m}^3)}$

(C) ${\displaystyle \frac{4}{3}\pi x^3(c{m}^3)}$         (D) ${\displaystyle 2\pi x^3(c{m}^3)}$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Thể tích hình nón có bán kính đáy $r$, chiều cao $h$ là: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h$.

- Thể tích hình cầu bán kính $r$ là: ${\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^3}$.

Lời giải:

Hình gồm một nửa hình cầu có bán kính là $x$ và một hình nón có bán kính đáy bằng $x$, chiều cao bằng $x$.

Thể tích nửa hình cầu là: ${\displaystyle V_1=\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi x^3=\frac{2}{3}\pi x^3(c{m}^3)}$

Thể tích của hình nón là: ${\displaystyle V_2=\frac{1}{3}\pi .x^2.x=\frac{1}{3}\pi x^3(c{m}^3)}$

Tổng thể tích của hai hình đó là: $V={\displaystyle \frac{2}{3}\pi x^3+\frac{1}{3}\pi x^3=\pi x^3(c{m}^3)}$

Chọn (B).

a) Tính tỉ số giữa diện tích toàn phần của hình lập phương với diện tích mặt cầu

b) Nếu diện tích mặt cầu là $7\pi (c{m}^2)$ thì diện tích toàn phần của hình lập phương là bao nhiêu?

c) Nếu bán kính hình cầu là $4cm$ thì thể tích phần trống (trong hình hộp ngoài hình cầu) là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Diện tích toàn phần của hình lập phương cạnh $a$ là: $S=6a^2$.

- Diện tích mặt cầu bán kính $r$ là: $S=4\pi r^2$.

- Thể tích hình lập phương cạnh $a$ là: $V=a^3$.

- Thể tích hình cầu bán kính $r$ là: ${\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^3}$.

Lời giải:

Gọi cạnh hình lập phương là $a$ thì bán kính cầu ${\displaystyle r=\frac{a}{2}}$.

a) Diện tích toàn phần của hình lập phương là: $S_1=6a^2$ (đơn vị diện tích)

Diện tích mặt cầu là: ${\displaystyle S_2=4.\pi .{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=4\pi .\frac{a^2}{4}=\pi a^2}$ (đơn vị diện tích)

Tỉ số ${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}={\displaystyle \frac{6a^2}{\pi a^2}}={\displaystyle \frac{6}{\pi }}$

b) Theo câu a ta có ${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}={\displaystyle \frac{6}{\pi }}$

Diện tích mặt cầu bằng $7\pi (c{m}^2)$ nên ta có ${\displaystyle {\displaystyle \frac{S_1}{7\pi }}=\frac{6}{\pi }}$

${\displaystyle \Rightarrow S_1=\frac{6}{\pi }.7\pi =42}$ $\left(c{m}^2\right)$

Vậy diện tích mặt cầu là $7\pi (c{m}^2)$ thì diện tích toàn phần của hình lập phương là $42$ $\left(c{m}^2\right)$.

c) Bán kính hình cầu $r=4cm$ thì cạnh hình lập phương $a=2r=8cm$.

Thể tích của hình lập phương là: $V_1=a^3=8^3=512\left(c{m}^3\right)$

Thể tích hình cầu là: ${\displaystyle V_2=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi {.4}^3=\frac{256}{3}\pi \left(c{m}^3\right)}$

Thể tích hình lập phương nằm ngoài hình cầu là:

$V=V_1-V_2={\displaystyle 512-\frac{256}{3}\pi }$$\approx 243,917\left(c{m}^3\right)$

Một đồ chơi “lắc lư” của trẻ em gồm một hình nón gắn với nửa hình cầu (h.107) (chiều cao của hình nón bằng đường kính đường tròn đáy). Có hai loại đồ chơi: loại thứ nhất cao $9cm$, loại thứ hai cao $18cm$.

a) Tỉ số: ${\displaystyle \frac{\text{thể tích đồ chơi loại thứ hai}}{\text{thể tích đồ chơi loại thứ nhất}}}$

(A) $2$                                   (C) $8$

(B) $4$                                   (D) $16$

Hãy chọn kết quả đúng.

b) Trong các số sau đây:

(A) $2(cm)$                          (C) $4(cm)$

(B) $3(cm)$                         (D) ${\displaystyle 4\frac{1}{2}(cm)}$

Số nào là bán kính đường tròn đáy của đồ chơi loại thứ nhất?

c) Trong các số sau đây:

(A) $30\pi \left(c{m}^3\right)$           (B) $36\pi \left(c{m}^3\right)$

(C) $72\pi \left(c{m}^3\right)$           (D) $610\left(c{m}^3\right)$

Số nào là thể tích của loại đồ chơi thứ nhất?

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Thể tích hình nón có bán kính đáy $r$, chiều cao $h$ là: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h$.

- Thể tích hình cầu bán kính $r$ là: ${\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^3}$.

Lời giải:

a) Loại thứ nhất có chiều cao $9cm$ là bao gồm chiều cao của hình nón và bán kính của hình cầu, mà chiều cao hình nón bằng đường kính hình cầu.

Gọi $r$ là bán kính của hình cầu ta có:

$2r+r=9\Rightarrow r=3\left(cm\right)$

Chiều cao hình nón là: $h=2r=6cm$

Thể tích hình nón là: $V_1={\displaystyle \frac{1}{3}\pi r^2.h=\frac{1}{3}\pi {.3}^2.6=18\pi }$ $\left(c{m}^3\right)$

Thể tích nửa hình cầu là: ${\displaystyle V_2=\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi {.3}^3=18\pi \left(c{m}^3\right)}$

Thể tích loại đồ chơi thứ nhất là: $18\pi +18\pi =36\pi \left(c{m}^3\right)$

Loại thứ 2 có chiều cao $18cm$ là bao gồm chiều cao hình nón và bán kính hình cầu mà chiều cao hình nón bằng đường kính hình cầu.

Gọi $R$ là bán kính của hình cầu ta có:

$2R+R=18\Rightarrow R=6cm$

Chiều cao hình nón là: $h^{\prime }=2R=12cm$

Thể tích hình nón là: ${\displaystyle {V_1}^{\prime }=\frac{1}{3}\pi R^2.h^{\prime }=\frac{1}{3}\pi {.6}^2.12=144\pi }$ $\left(c{m}^3\right)$

Thể tích nửa hình cầu là: ${\displaystyle {V_2}^{\prime }=\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi {.6}^3=144\pi }$ $\left(c{m}^3\right)$

Thể tích loại đồ chơi thứ 2 là: $144\pi +144\pi =288\pi \left(c{m}^3\right)$

${\displaystyle \frac{\text{thể tích đồ chơi loại thứ hai}}{\text{thể tích đồ chơi loại thứ nhất}}}$ ${\displaystyle =\frac{288\pi }{36\pi }=8}$

Chọn (C).

b) Bán kính đường tròn đáy đồ chơi thứ nhất là $r=3cm$.

Chọn (B).

c) Thể tích loại đồ chơi thứ nhất là: $18\pi +18\pi =36\pi \left(c{m}^3\right)$.

Chọn (B).

Nếu đường kính của hình cầu là $d(cm)$ thì thể tích của hình trụ là:

(A) ${\displaystyle \frac{1}{4}\pi d^3\left(c{m}^3\right)}$         (B) ${\displaystyle \frac{1}{3}\pi d^3\left(c{m}^3\right)}$

(C) ${\displaystyle \frac{2}{3}\pi d^3\left(c{m}^3\right)}$         (D) ${\displaystyle \frac{3}{4}\pi d^3\left(c{m}^3\right)}$

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng: Thể tích hình trụ có bán kính đáy $r$, chiều cao $h$ là: $V=\pi r^{2}h$.

Lời giải:

Ta có bán kính hình cầu bằng bán kính đáy hình trụ, chiều cao hình trụ bằng đường kính hình cầu.

Do đó, khi đường kính hình cầu là $d(cm)$ thì bán kính đáy hình trụ là ${\displaystyle \frac{d}{2}}(cm)$ và chiều cao hình trụ là $d$ (cm).

Thể tích hình trụ là: ${\displaystyle V=\pi r^2.h=\pi .{\left(\frac{d}{2}\right)}^2.d=\frac{1}{4}\pi d^3}$ $\left(c{m}^3\right)$

Chọn (A).

Với hai quả dưa hấu (xem như là 2 hình cầu) một to và một nhỏ, tỉ số các đường kính của chúng là $5:4$, nhưng giá của quả to gấp rưỡi giá của quả nhỏ. Bạn chọn mua quả nào lợi hơn? (xem “chất lượng” của chúng là như nhau).

Phương pháp giải:

Sử dụng: Thể tích hình cầu bán kính $r$ là: ${\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^3}$.

Lời giải:

Gọi bán kính quả nhỏ là $r$ thì bán kính quả lớn là ${\displaystyle \frac{5}{4}r}$.

Thể tích quả nhỏ là: ${\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^3}$;

Thể tích quả to là: ${\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{5}{4}r\right)}^3}$

Tỉ số $2$ thể tích là: ${\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3{\left(\frac{5}{4}\right)}^3:\frac{4}{3}\pi r^3={\left(\frac{5}{4}\right)}^3=\frac{125}{64}}$

Mua quả to lợi hơn vì thể tích gần gấp đôi mà giá tiền chỉ gấp rưỡi.

(A) $1$                                  (C) $3$

(B) $2$                                  (D) $4$

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Thể tích hình nón có bán kính đáy $r$, chiều cao $h$ là: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h$.

- Thể tích hình trụ có bán kính đáy $r$, chiều cao $h$  là: ${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$.

Lời giải:

Giả sử hình trụ và hình nón có cùng bán kính $r$ và chiều cao $h$.

Thể tích hình trụ là: $V=\pi r^2.h$

Thể tích hình nón là: ${\displaystyle V^{\prime }=\frac{1}{3}\pi r^2.h}$

$\Rightarrow V=3V^{\prime }$.

Vậy phải múc $3$ lần.

Chọn (C).

Như vậy diện tích toàn bộ của khối gỗ là:

(A) $4\pi r^2\left(c{m}^2\right)$        (B) $6\pi r^2\left(c{m}^2\right)$

(C) $8\pi r^2\left(c{m}^2\right)$        (D) $10\pi r^2\left(c{m}^2\right)$

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Diện tích xung quanh hình trụ là: $S_{xq}=2\pi rh$.

($r$ là bán kính đáy, $h$ là chiều cao).

- Diện tích mặt cầu bán kính $r$ là: $S=4\pi r^2$.

Lời giải:

Diện tích toàn bộ khối gỗ bằng diện tích xung quanh hình trụ cộng với diện tích hai nửa mặt cầu

Diện tích xung quanh hình trụ là: $S_{xq}=2\pi r.h=2\pi r.2r=4\pi r^2\left(c{m}^2\right)$

Diện tích hai nửa mặt cầu là: $S=2.2\pi r^2=4\pi r^2\left(c{m}^2\right)$

Diện tích toàn bộ khối gỗ là: $4\pi r^2+4\pi r^2=8\pi r^2\left(c{m}^2\right)$.

Chọn (C).

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Độ dài đường tròn lớn của hình cầu bán kính $r$ là $C=2\pi r$.

- Thể tích hình cầu bán kính $r$ là $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$.

Lời giải:

Dùng thước dây tạo ra đường tròn đặt vừa khít hình cầu, ta có độ dài của đường tròn lớn là $C$.

Bán kính của hình cầu là: ${\displaystyle r=\frac{C}{2\pi }}$.

Thể tích hình cầu là: ${\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi .{\left(\frac{C}{2\pi }\right)}^3=\frac{4}{3}\pi .\frac{C^3}{8{\pi }^3}=\frac{C^3}{6{\pi }^2}}$.

Tỉ số của thể tích hình trụ này và thể tích của hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy của hình trụ là:

(A) ${\displaystyle \frac{4}{3}}$                                (C) ${\displaystyle \frac{3}{1}}$

(B) ${\displaystyle \frac{9}{4}}$                                (D) ${\displaystyle \frac{4}{9}}$

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Thể tích hình trụ có bán kính đáy $r$, chiều cao $h$ là: $V=\pi r^{2}h$.

- Thể tích hình cầu bán kính $r$ là: ${\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^3}$.

Lời giải:

Vì chiều cao của một hình trụ gấp ba lần bán kính đáy của nó nên nếu bán kính đáy hình trụ là $r$ thì chiều cao hình trụ là $h=3r$

Thể tích của hình trụ là: $V_1=\pi r^2.h=\pi r^2.3r=3\pi r^3$

Thể tích của hình cầu là: ${\displaystyle V_2=\frac{4}{3}\pi r^3}$

Ta có ${\displaystyle \frac{V_1}{V_2}}={\displaystyle \frac{9}{4}}$

Chọn (B).

(A) ${\displaystyle \frac{2}{3}}$                                (C) ${\displaystyle \frac{2}{9}}$

(B) ${\displaystyle \frac{4}{9}}$                                (D) ${\displaystyle \frac{1}{3}}$

Đâu là tỉ số ${\displaystyle \frac{V_{\text{cầu}}}{V_{\text{trụ}}}}$?

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Thể tích hình trụ có bán kính đáy $r$, chiều cao $h$ là: $V=\pi r^{2}h$.

- Thể tích hình cầu bán kính $r$ là: ${\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^3}$.

Lời giải:

Gọi $r$ là bán kính đường tròn đáy hình trụ thì $r$ cũng là bán kính hình cầu. 

Suy ra $d=2r$

Chiều cao hình trụ là: $h=1,5d={\displaystyle \frac{3}{2}}d={\displaystyle \frac{3}{2}}.2r=3r$

Thể tích của hình trụ là: $V_1=\pi r^2.h=\pi r^2.3r=3\pi r^3$

Thể tích của hình cầu là: ${\displaystyle V_2=\frac{4}{3}\pi r^3}$

Ta có: ${\displaystyle \frac{V_2}{V_1}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3}{3\pi r^3}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$.

Chọn (B).