Giải SGK Toán 10 Bài 5 (Cánh diều): Tích của một số với một vectơ

Nguyễn Thị Thuỳ Linh Ngày: 24-08-2024 Lớp 10

2.3 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Giải Toán 10 trang 88 Tập 1

Câu hỏi khởi động trang 88 Toán lớp 10: Hình 58 minh họa hai đoàn tàu chạy song song với vectơ vận tốc lần lượt là $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}$ .

Hai đoàn tàu chạy song song (Hình 58). Gọi vectơ v1, v2 lần lượt là các vectơ

Mối liên hệ giữa hai vectơ vận tốc $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}$ là như thế nào?

Lời giải:

Qua bài học này, chúng ta sẽ biết được hai vectơ vận tốc $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}$ cùng phương với nhau và liên hệ với nhau theo công thức: $\vec{v_{1}} = k \vec{v_{2}}$ với $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}$ là các vectơ khác $\vec{0}$ và số thực k ≠ 0.

1. Định nghĩa

Hoạt động 1 trang 88 Toán lớp 10: Gọi B là trung điểm của AC.

: Gọi B là trung điểm của AC. (Hình 59)

Chứng tỏ rằng $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A B}$ .

Lời giải:

Do B là trung điểm của AC nên $\vec{A B} = \vec{B C}$

Khi đó ta có: $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A B} + \vec{A B}$

Hoạt động 2 trang 88 Toán lớp 10: Quan sát vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ , nêu mối liên hệ về hướng và độ dài của vectơ $2 \vec{A B}$ với $\vec{A B}$ .

Lời giải:

Quan sát vectơ AB và vectơ AC, nêu mối liên hệ về hướng và độ dài

Từ hoạt động 1, ta có: $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A B} = 2 \vec{A B}$

Do đó độ dài vectơ $2 \vec{A B}$ bằng độ dài vectơ $\vec{A C}$ và vectơ $2 \vec{A B}$ cùng hướng với vectơ .

Theo quan sát trên Hình 59 ta thấy, đoạn thẳng AC dài 6 ô, còn đoạn thẳng AB dài 3 ô. Suy ra độ dài đoạn thẳng AC bằng 2 lần độ dài đoạn thẳng AB. Do đó ta có AC = 2AB hay $|\vec{A C}| = 2 |\vec{A B}|$ và vectơ $\vec{A B}$ cùng hướng với vectơ $\vec{A C}$ .

Vậy vectơ $2 \vec{A B}$ cùng hướng với $\vec{A B}$ và $|2 \vec{A B}| = 2 |\vec{A B}|$ .

Giải Toán 10 trang 89 Tập 1

Luyện tập 1 trang 89 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Tìm các số a, b biết: $\vec{A G} = a \vec{A M}; \vec{G N} = b \vec{G B}$ .

Lời giải:

Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Tìm các số a, b

G là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và BN nên G là trọng tâm của tam giác ABC. Do đó: AG = $\frac{2}{3}$ AM; GN = $\frac{1}{2}$ GB.

+ Ta có: $\vec{A G}$ và $\vec{A M}$ là hai vectơ cùng hướng và $|\vec{A G}| = \frac{2}{3} |\vec{A M}|$ .

Suy ra $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A M}$ . Vậy a = $\frac{2}{3}$ .

+ Lại có: $\vec{G N}$ và $\vec{G B}$ là hai vectơ ngược hướng và $|\vec{G N}| = \frac{1}{2} |\vec{G B}|$

Suy ra $\vec{G N} = - \frac{1}{2} \vec{G B}$ . Vậy $b = - \frac{1}{2}$

2. Tính chất

Luyện tập 2 trang 89 Toán lớp 10: Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh $3 (\vec{A B} + 2 \vec{B C}) - 2 (\vec{A B} + 3 \vec{B C}) = \vec{A B}$ .

Lời giải:

Với 3 điểm A, B, C bất kì ta có:

Ta có: $3 (\vec{A B} + 2 \vec{B C}) - 2 (\vec{A B} + 3 \vec{B C})$

$= 3 \vec{A B} + 6 \vec{B C} - 2 \vec{A B} - 6 \vec{B C}$

$= (3 \vec{A B} - 2 \vec{A B}) + (6 \vec{B C} - 6 \vec{B C})$

$= \vec{A B}$ .

Vậy $3 (\vec{A B} + 2 \vec{B C}) - 2 (\vec{A B} + 3 \vec{B C}) = \vec{A B}$ .

3. Một số ứng dụng

Giải Toán 10 trang 90 Tập 1

Hoạt động 3 trang 90 Toán lớp 10: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$ .

Lời giải:

Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng

Do I là trung điểm của AB nên $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ .

Khi đó:

$\vec{M A} + \vec{M B} = (\vec{M I} + \vec{I A}) + (\vec{M I} + \vec{I B}) = 2 \vec{M I} + (\vec{I A} + \vec{I B})$

$= 2 \vec{M I} + \vec{0} = 2 \vec{M I}$

Vậy $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$ .

Hoạt động 4 trang 90 Toán lớp 10: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Lời giải:

Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Ta có:

$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}$

$= (\vec{M G} + \vec{G A}) + (\vec{M G} + \vec{G B}) + (\vec{M G} + \bar{G C})$

$= 3 \vec{M G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C})$

$= 3 \vec{M G} + \vec{0} = 3 \vec{M G}$

Vậy $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Luyện tập 3 trang 90 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh $\vec{A B} + \vec{A C} = 3 \vec{A G}$ .

Lời giải:

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh vectơ AB + vectơ AC =3.vectơ AG

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Ta có:

$\vec{A B} + \vec{A C} = (\vec{A G} + \vec{G B}) + (\vec{A G} + \vec{G C})$

$= 2 \vec{A G} + \vec{G B} + \vec{G C}$

$= 2 \vec{A G} + \vec{G B} + \vec{G C} + (\vec{A G} - \vec{A G})$

$= 3 \vec{A G} + \vec{G B} + \vec{G C} + (- \vec{A G})$

$= 3 \vec{A G} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G A}$

$= 3 \vec{A G} + \vec{0} = 3 \vec{A G}$ .

Vậy $\vec{A B} + \vec{A C} = 3 \vec{A G}$ .

Giải Toán 10 trang 91 Tập 1

Hoạt động 5 trang 91 Toán lớp 10: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ sao cho $\vec{a} = k \vec{b}$ với k là số thực khác 0. Nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Lời giải:

Ta có: $\vec{a} = k \vec{b}$ với k là số thực khác 0, hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ .

Khi đó hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

Hoạt động 6 trang 91 Toán lớp 10: Cho ba điểm phân biệt A, B, C.

a) Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ có cùng phương hay không?

b) Ngược lại, nếu hai vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ cùng phương thì ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không?

Lời giải:

a) Giá của vectơ $\vec{A B}$ là đường thẳng AB, giá của vectơ $\vec{A C}$ là đường thẳng AC, mà A, B, C thẳng hàng nên đường thẳng AB và AC trùng nhau. Do đó hai vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ cùng phương.

b) Hai vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ cùng phương khi giá AB và AC của chúng song song hoặc trùng nhau. Trường hợp song song không thể xảy ra do hai đường thẳng AB và AC có chung giao điểm A. Vậy AB trùng với AC hay A, B, C thẳng hàng.

Luyện tập 4 trang 91 Toán lớp 10: Ở Hình 61, tìm k trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{A C} = k \vec{A D}$ ,

b) $\vec{B D} = k \vec{D C}$ .

Ở Hình 61, tìm k trong mỗi trường hợp sau

Lời giải:

a) Vì hai vectơ $\vec{A C}, \vec{A D}$ cùng hướng và AC = $\frac{3}{4}$ AD nên

$\vec{A C} = \frac{3}{4} \vec{A D}$ .

b) Vì hai vectơ $\vec{B D}$ và $\vec{D C}$ ngược hướng và BD = 3DC nên

$\vec{B D} = - 3 \vec{D C}$ .

Bài tập

Giải Toán 10 trang 92 Tập 1

Bài 1 trang 92 Toán lớp 10: Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\vec{M N} = 2 \vec{P Q}$ ;

B. $\vec{M Q} = 2 \vec{N P}$ ;

C. $\vec{M N} = - 2 \vec{P Q}$ ;

D. $\vec{M Q} = - 2 \vec{N P}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C.

Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng

MNPQ là hình thang với MN // PQ nên hai vectơ $\vec{M N}$ và $\vec{P Q}$ ngược hướng.

Mà MN = 2 PQ nên $\vec{M N} = - 2 \vec{P Q}$ .

Bài 2 trang 92 Toán lớp 10: Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.

a) Xác định điểm C thỏa mãn $\vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

b) Xác định điểm D thỏa mãn $\vec{A D} = - \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

Lời giải:

a) Ta có $\vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ , do đó $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ cùng hướng và AC = $\frac{1}{2} A B$ .

Suy ra A, B, C thẳng hàng, hơn nữa C là trung điểm của AB và AC = 3 cm.

Cho đoạn thẳng AB = 6 cm. Xác định điểm C thỏa mãn

b) Ta có $\vec{A D} = - \frac{1}{2} \vec{A B}$ , do đó $\vec{A D}$ và $\vec{A B}$ ngược hướng và AD = $\frac{1}{2}$ AB = 3 cm.

Suy ra A, B, D thẳng hàng; D và B nằm khác phía nhau so với A.

Cho đoạn thẳng AB = 6 cm. Xác định điểm C thỏa mãn

Bài 3 trang 92 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) $\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{A N}$ ;

b) $\vec{B C} + 2 \vec{M P} = \vec{B A}$ .

Lời giải:

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh

a) Vì P và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó: PN // = $\frac{1}{2}$ BC.

Khi đó hai vectơ $\vec{P N}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng và PN = $\frac{1}{2}$ BC.

Suy ra: $\vec{P N} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ .

Do đó: $\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{A P} + \vec{P N} = \vec{A N}$ .

Vậy $\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{A N}$ .

b) M và P lần lượt là trung điểm của BC và AB nên MP là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó: MP // AC VÀ MP = $\frac{1}{2}$ AC.

Lại có hai vectơ $\vec{M P}$ và $\vec{C A}$ cùng hướng và MP = $\frac{1}{2}$ CA nên $\vec{M P} = \frac{1}{2} \vec{C A}$ hay $\vec{C A} = 2 \vec{M P}$ .

Khi đó ta có: $\vec{B C} + 2 \vec{M P} = \vec{B C} + \vec{C A} = \vec{B A}$ .

Vậy $\vec{B C} + 2 \vec{M P} = \vec{B A}$ .

Bài 4 trang 92 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử $\vec{A B} = \vec{a}$ , $\vec{A C} = \vec{b}$ . Biểu diễn các vectơ $\vec{B C}, \vec{B D}, \vec{B E}, \vec{A D}, \vec{A E}$ theo $\vec{a}, \vec{b}$ .

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62)

Lời giải:

+ Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{B C} = \vec{B A} + \vec{A C} \\ = - \vec{A B} + \vec{A C} = - \vec{a} + \vec{b} \end{array}$

+ BD = DE = EC và D, E thuộc cạnh BC nên BD = $\frac{1}{3}$ BC.

Mà $\vec{B D}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng nên $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ .

Suy ra: $\vec{B D} = \frac{1}{3} (- \vec{a} + \vec{b}) = - \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ .

Vậy $\vec{B D} = - \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ .

+ Hai vectơ $\vec{B E}, \vec{B C}$ cùng hướng và BE = $\frac{2}{3}$ BC nên $\vec{B E} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ .

Suy ra: $\vec{B E} = \frac{2}{3} (- \vec{a} + \vec{b}) = - \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ .

Vậy $\vec{B E} = - \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ .

+ Ta có:

$\vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B D} = \vec{a} + (- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}) = (1 - \frac{1}{3}) \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

Vậy $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ .

+ Ta có:

$\vec{A E} = \vec{A B} + \vec{B E} = \vec{a} + (- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}) = (1 - \frac{2}{3}) \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$

Vậy $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ .

Bài 5 trang 92 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:

a) $\vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D} = 4 \vec{E G}$ ;

b) $\vec{E A} = 4 \vec{E G}$ ;

c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và $\vec{A G} = \frac{3}{4} \vec{A E}$ .

Lời giải:

Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD

a) Ta có M là trung điểm của AB nên $\vec{G A} + \vec{G B} = 2 \vec{G M}$ .

Tương tự N là trung điểm CD nên $\vec{G C} + \vec{G D} = 2 \vec{G N }$ .

Lại có G là trung điểm của MN nên $\vec{G M} + \vec{G N} = \vec{0}$ .

Khi đó: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = 2 \vec{G M} + 2 \vec{G N} = 2 (\vec{G M} + \vec{G N}) = \vec{0}$

Ta có:

$\vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D}$

$= (\vec{E G} + \vec{G A}) + (\vec{E G} + \vec{G B}) + (\vec{E G} + \vec{G C}) + (\vec{E G} + \vec{G D})$

$= 4 \vec{E G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D})$

= $4 \vec{E G} + \vec{0}$

$= 4 \vec{E G}$ .

Vậy $\vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D} = 4 \vec{E G}$ .

b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên $\vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E D} = \vec{0}$ .

Thay vào câu a) ta có: $\vec{E A} + \vec{0} = 4 \vec{E G}$

Vậy $\vec{E A} = 4 \vec{E G}$ .

c) Theo câu b ta có: $\vec{E A} = 4 \vec{E G}$ nên hai vectơ $\vec{E A}, \vec{E G}$ cùng hướng và EA = 4EG hay EG < EA.

Do đó 3 điểm E, A, G thẳng hàng và G nằm giữa E và A.

Suy ra điểm G thuộc đoạn thẳng AE.

Vì EA = 4 EG nên AG = $\frac{3}{4}$ AE.

Hai vectơ $\vec{A G}$ và $\vec{A E}$ cùng hướng.

Do đó: $\vec{A G} = \frac{3}{4} \vec{A E}$ .

Bài 6 trang 92 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ $\vec{A G}, \vec{C G}$ theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ .

Lời giải:

Cho hình bình hành ABCD. Đặt vectơ AB = vectơ a, vectơ AD = vectơ b . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Do đó BO là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc trung tuyến BO của tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm ta có: $B G = \frac{2}{3} B O$ .

Mà BO = $\frac{1}{2}$ BD nên $B G = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} B D = \frac{1}{3} B D$ .

Hai vectơ $\vec{B G}, \vec{B D}$ cùng hướng và BG = $\frac{1}{3}$ BD.

Nên $\vec{B G} = \frac{1}{3} \vec{B D}$ .

Ta có: $\vec{A G} = \vec{A B} + \vec{B G} = \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{B D}$

$= \vec{A B} + \frac{1}{3} (\vec{B A} + \vec{A D}) = \vec{A B} + \frac{1}{3} (- \vec{A B} + \vec{A D})$

$= (1 - \frac{1}{3}) \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$

$= \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

Do đó: $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ .

Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Ta có: $\vec{C G} = \vec{C A} + \vec{A G} = (- \vec{A C}) + \vec{A G}$

$= - (\vec{A B} + \vec{A D}) + \vec{A G}$

$= - (\vec{a} + \vec{b}) + (\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b})$

$= (- 1 + \frac{2}{3}) \vec{a} + (- 1 + \frac{1}{3}) \vec{b}$

$= - \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ .

Vậy $\vec{C G} = - \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ .

Bài 7 trang 92 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn

$\vec{D B} = \frac{1}{3} \vec{B C}, \vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}, \vec{A H} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ .

a) Biểu thị mỗi vectơ $\vec{A D}, \vec{D H}, \vec{H E}$ theo hai vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Lời giải:

Vì $\vec{D B} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ nên $\vec{D B}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng và $D B = \frac{1}{3} B C$ .

$\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ nên $\vec{A E}, \vec{A C}$ cùng hướng và AE = $\frac{1}{3} A C$ .

$\vec{A H} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ nên $\vec{A H}, \vec{A B}$ cùng hướng và $A H = \frac{2}{3} A B$ .

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn

a) + Ta có

$\vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B D} = \vec{A B} + (- \vec{D B})$

Mà $\vec{D B} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ .

Do đó:

$\vec{A D} = \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{B C}$

$= \vec{A B} - \frac{1}{3} (\vec{B A} + \vec{A C})$

$= \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{B A} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

$= \vec{A B} - \frac{1}{3} (- \vec{A B}) - \frac{1}{3} \vec{A C}$

$= \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

$= \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

Suy ra: $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

+ Ta có:

$\vec{D H} = \vec{D A} + \vec{A H} = (- \vec{A D}) + \vec{A H}$

Mà $\vec{A H} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ , $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

Do đó:

$\vec{D H} = - (\frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}) + \frac{2}{3} \vec{A B}$

$= (- \frac{4}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}) + \frac{2}{3} \vec{A B}$

$= (\frac{2}{3} - \frac{4}{3}) \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

$= \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

Vậy $\vec{D H} = \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

+ Ta có:

$\vec{H E} = \vec{H A} + \vec{A E}$

$= (- \vec{A H}) + \vec{A E}$

Mà $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ , $\vec{A H} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ .

Do đó:

$\vec{H E} = (- \frac{2}{3} \vec{A B}) + \frac{1}{3} \vec{A C}$

$= \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

Vậy $\vec{H E} = \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

b) Theo câu a, ta có: $\vec{D H} = \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ và $\vec{H E} = \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

Do đó: $\vec{D H} = \vec{H E}$ .

Suy ra D, H, E thẳng hàng, hơn nữa H là trung điểm của DE.

Lý thuyết Tích của một số với một vectơ

1. Định nghĩa

Cho một số k ≠ 0 và vectơ $\vec{a}$ ≠ $\vec{0}$ . Tích của một số k với vectơ $\vec{a}$ là một vectơ, kí hiệu là k $\vec{a}$ , được xác định như sau:

+ cùng hướng với $\vec{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với $\vec{a}$ nếu k < 0;

+ có độ dài bằng $|k|$ . $|\vec{a}|$

Quy ước: 0 $\vec{a}$ = $\vec{0}$ , k $\vec{0}$ = $\vec{0}$

Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.

Ví dụ: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, D và E lần lượt là trung điểm của BC và AC. Tìm mối quan hệ của $\vec{GA}$ và $\vec{GD}$ ; mối quan hệ của $\vec{AD}$ và $\vec{GD}$

Hướng dẫn giải

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

Khi đó ta có:

– Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA = 2GD.

Mà G nằm giữa A và D nên $\vec{GA}$ và $\vec{GD}$ là hai vectơ ngược hướng.

⇒ $\vec{GA}$ = (–2) $\vec{GD}$ .

– Ta có: AD = 3GD.

Mà $\vec{GD}$ và $\vec{AD}$ là hai vectơ cùng hướng.

⇒ $\vec{AD}$ = 3 $\vec{GD}$ .

Ví dụ: Cho vectơ $\vec{a}$ có $|\vec{a}|$ = 4. Tìm số thực x sao cho vectơ x $\vec{a}$ có độ dài bằng 1 và cùng hướng với $\vec{a}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có: $|x \vec{a}|$ = 1 ⇔ $|x| . |\vec{a}|$ = 1 ⇔ $|x| .4$ = 1

⇔ $|x|$ = $\frac{1}{4}$

Lại có vectơ x $\vec{a}$ cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ nên x > 0

Suy ra x = $\frac{1}{4}$ .

Vậy x = $\frac{1}{4}$ là giá trị cần tìm.

2. Tính chất

Với hai vectơ bất kì $\vec{a}$ , $\vec{b}$ và hai số thực h, k, ta có:

+) k( $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ) = k $\vec{a}$ + k $\vec{b}$ ; k( $\vec{a}$ – $\vec{b}$ ) = k $\vec{a}$ – k $\vec{b}$ ;

+) (h + k) $\vec{a}$ = h $\vec{a}$ + k $\vec{a}$ ;

+) h(k $\vec{a}$ ) = (hk) $\vec{a}$ ;

+) 1 $\vec{a}$ = $\vec{a}$ ; (–1) $\vec{a}$ = – $\vec{a}$ .

Nhận xét: k $\vec{a}$ = $\vec{0}$ khi và chỉ khi k = 0 hoặc $\vec{a}$ = $\vec{0}$ .

Ví dụ: Tính:

a) 5 $\vec{BC}$ + 5 $\vec{CA}$ ;

b) 4 $\vec{AB}$ + 6 $\vec{AB}$ ;

c) 4(2 $\vec{AB}$ ) + 2 $\vec{BC}$ – 3 $\vec{AB}$ .

Hướng dẫn giải:

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

3. Một số ứng dụng

3.1. Trung điểm của đoạn thẳng

Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\vec{MA} + \vec{MB} = 2 \vec{MI}$ với điểm M bất kì.

Chứng minh:

Vì I là trung điểm của đoạn thẳng AB nên $\vec{IA} + \vec{IB}$ = $\vec{0}$

Suy ra:

$\vec{MA} + \vec{MB}$ = $(\vec{MI} + \vec{IA}) + (\vec{MI} + \vec{IB})$

= $\vec{MI} + \vec{MI} + \vec{IA} + \vec{IB}$ = $2 \vec{MI} + \vec{IA} + \vec{IB}$

= $2 \vec{MI} + \vec{0}$ = $2 \vec{MI}$ .

⇒ $\vec{MA} + \vec{MB}$ = $2 \vec{MI}$ (đpcm).

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. Chứng minh $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = 2 \vec{MN}$ .

Hướng dẫn giải:

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD nên ta có:

$\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{0}$

$\vec{MB} + \vec{MD} = 2 \vec{MN}$

⇒ $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD}$ = $(\vec{MA} + \vec{MC}) + (\vec{MB} + \vec{MD})$ = $\vec{0} + 2 \vec{MN}$ = $2 \vec{MN}$ .

⇒ $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = 2 \vec{MN}$ (đpcm).

3.2. Trọng tâm của tam giác

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3 \vec{MG}$ với điểm M bất kì.

Ví dụ: Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng: $\vec{AA'} + \vec{BB'} + \vec{CC'} = 3 \vec{GG'}$ .

Hướng dẫn giải:

Vì G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ nên:

$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$ và $\vec{GA'} + \vec{GB'} + \vec{GC'} = \vec{0}$

Theo quy tắc cộng vectơ ta có:

$\vec{AA'} = \vec{AG} + \vec{GG'} + \vec{G' A'}$ (1)

$\vec{BB'} = \vec{BG} + \vec{GG'} + \vec{G' B'}$ (2)

$\vec{CC'} = \vec{CG} + \vec{GG'} + \vec{G' C'}$ (3)

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta có:

$\vec{AA'} + \vec{BB'} + \vec{CC'}$ = $3 \vec{GG'} + (\vec{AG} + \vec{BG} + \vec{CG}) + (\vec{GA'} + \vec{GB'} + \vec{GC'})$

= $3 \vec{GG'} + (- \vec{GA} - \vec{GB} - \vec{GC}) + (\vec{GA'} + \vec{GB'} + \vec{GC'})$

= $3 \vec{GG'} - (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) + (\vec{GA'} + \vec{GB'} + \vec{GC'})$

= $3 \vec{GG'} + \vec{0} + \vec{0}$ = $3 \vec{GG'}$

⇒ $\vec{AA'} + \vec{BB'} + \vec{CC'} = 3 \vec{GG'}$ (đpcm).

3.3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng

– Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ( $\vec{b}$ ≠ 0) cùng phương là có một số thực k để $\vec{a}$ = k $\vec{b}$ .

– Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số thực k để $\vec{AB} = k \vec{AC}$ .

Nhận xét: Trong mặt phẳng, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Với mỗi vectơ $\vec{c}$ có duy nhất cặp số (x; y) thoả mãn $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b}$ .

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Đặt $\vec{a} = \vec{AB}$ , $\vec{b} = \vec{AC}$ . Dựng các điểm M, N sao cho $\vec{AM} = \frac{1}{3} \vec{AB}$ ; $\vec{CN} = 2 \vec{BC}$ .

a) Phân tích $\vec{CM}$ , $\vec{AN}$ theo các vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

b) Gọi I là điểm thỏa mãn: $\vec{MI} = \vec{CM}$ . Chứng minh I, A, N thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều (ảnh 1)

a) Ta có:

+) $\vec{CM}$ = $\vec{CA} + \vec{AM}$ = $- \vec{AC} + \frac{1}{3} \vec{AB}$ = $\frac{1}{3}$ $\vec{a}$ – $\vec{b}$ .

+) Vì $\vec{CN} = 2 \vec{BC}$ ⇒ CN = 2BC ⇒ BC = $\frac{1}{3}$ BN ⇒ BN = 3BC.

⇒ $\vec{BN} = 3 \vec{BC}$ .

⇒ $\vec{AN}$ = $\vec{AB} + \vec{BN}$ = $\vec{AB} + 3 \vec{BC}$ = $\vec{AB} + 3 (\vec{AC} - \vec{AB})$ = $\vec{AB} + 3 \vec{AC} - 3 \vec{AB}$

= $- 2 \vec{AB} + 3 \vec{AC}$ = –2 $\vec{a}$ + 3 $\vec{b}$ .

b) Ta có:

$\vec{AI}$ = $\vec{AM} + \vec{MI}$ = $\frac{1}{3} \vec{AB} + \vec{CM}$ = $\frac{1}{3}$ $\vec{a}$ + $\frac{1}{3}$ $\vec{a}$ – $\vec{b}$ = $\frac{2}{3}$ $\vec{a}$ – $\vec{b}$ = $- \frac{1}{3} (- 2 \vec{a} + 3 \vec{b})$