Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Giải SBT Toán 10 trang 99 Tập 1

Bài 47 trang 99 SBT Toán 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Vì O là trung điểm của AB nên OA = OB = $\frac{1}{2}$AB hay AB = 2OA = 2OB.

Ta có: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{OA}$ là hai vectơ ngược hướng nên $\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{OA}$. Do đó A và D sai.

Ta lại có: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{OB}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{OB}$. Do đó B đúng và C sai.

Bài 48 trang 99 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Vì G là trọng tâm tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên ta có:

AG = $\frac{2}{3}$AM hay AM = 3GM

Ta có hai vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{GM}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{GM}$.

Vậy chọn D.

Bài 49 trang 99 SBT Toán 10 Tập 1: Cho $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\overrightarrow{a}$ và $4\overrightarrow{a}$ cùng phương.

B. $\overrightarrow{a}$ và $-4\overrightarrow{a}$ cùng phương.

C. $\overrightarrow{a}$ và $4\overrightarrow{a}$ không cùng hướng.

D. $\overrightarrow{a}$ và $-4\overrightarrow{a}$ ngược hướng.

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Vì 4 > 0 nên $\overrightarrow{a}$ và $4\overrightarrow{a}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{a}$ và $4\overrightarrow{a}$ cùng phương. Do đó A đúng, C sai.

Vì – 4 < 0 nên $\overrightarrow{a}$ và $-4\overrightarrow{a}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{a}$ và $-4\overrightarrow{a}$ cùng phương. Do đó B, D đúng.

Bài 50 trang 99 SBT Toán 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa hai điểm A, B. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Vì điểm C nằm giữa hai điểm A, B nên hai vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}$ cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow{AC}=\frac{AC}{AB}\overrightarrow{AB}$.

Vậy chọn A

Bài 51 trang 99 SBT Toán 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng BC và điểm A nằm giữa hai điểm B, C. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Vì điểm A nằm giữa hai điểm B và C nên hai vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}$ ngược hướng.

Do đó $\overrightarrow{AC}=-\frac{AC}{AB}\overrightarrow{AB}$.

Vậy chọn B

Giải SBT Toán 10 trang 100 Tập 1

Bài 52 trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Xác định các điểm M, N, P trong mỗi trường hợp sau:

Ý b

Ý c

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{CB}$

⇒ AM // CB, AM = CB và M, B cùng phía so với bờ AC

⇒ ACBM là hình bình hành

Vậy điểm M thỏa mãn ACBM là hình bình hành.

b) Gọi N’ là trung điểm của BC

Khi đó ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AN\text{'}}$ hay $\overrightarrow{AN\text{'}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$

⇒ $\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AN\text{'}}$

⇒ A là trung điểm của đoạn NN’

Vậy N là điểm đối xứng với N’ qua A.

c) Xét $\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$

⇔ $\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$

⇔ $2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AB}$

⇒ Điểm P là điểm thỏa mãn PC // AB, P nằm cùng phía với A bờ BC sao cho 2PC = AB.

Vậy điểm P là điểm nằm trên đường thẳng song song với AB, nằm cùng phía với A so với BC sao cho 2PC = AB.

Bài 53 trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác AD. Đặt AB = b, AC = c. Chứng minh: $c\overrightarrow{DB}+b\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Xét tam giác ABC, có:

Ta có: D nằm giữa B và C nên $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{DC}$ ngược hướng

Bài 54* trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M, N, P thỏa mãn . Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$. Biểu thị các vec tơ   theo các vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AN}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{5}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right) \\ =\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \\ =\frac{1}{5}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \\ =-\frac{3}{10}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}=-\frac{3}{10}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{NP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{5}\overrightarrow{AC} \\ =\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{5}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right) \\ =-\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{15}\overrightarrow{AD} \\ =-\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{15}\overrightarrow{b} \end{gathered}$$

Ta có $-\frac{3}{10}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{15}\overrightarrow{b}\right)$ hay $\overrightarrow{MN}=\frac{3}{2}\overrightarrow{NP}$

Do đó M, N, P thẳng hàng.

Vậy $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}$; $\overrightarrow{NP}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{15}\overrightarrow{b}$; $\overrightarrow{MN}=-\frac{3}{10}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}$ và ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Bài 55* trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AM}$ với k là số thực. Đặt $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AN}$, $\overrightarrow{DE}$, $\overrightarrow{EN}$ theo các vectơ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$ và tìm k để ba điểm D, E, N thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AM}=k.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right) \\ =k.\left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\right) \\ =k.\left[\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\right] \end{gathered}$$

= $k.\left[\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right]$ = $k.\left[\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}\right]$.

$$\begin{gathered} \overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \\ =-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{EN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AE} \\ =k.\left[\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right]-\frac{2}{5}\overrightarrow{AC} \\ =\frac{2k}{3}\overrightarrow{AB}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{AC} \\ =\frac{2k}{3}\overrightarrow{a}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{b} \end{gathered}$$

Để ba điểm D, E, N thẳng hàng thì tồn tại t ∈ ℝ sao cho $\overrightarrow{EN}=t\overrightarrow{DN}$

⇔ $\frac{2k}{3}\overrightarrow{a}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{b}=t\left(-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}\right)$ 

⇔ $\frac{2k}{3}\overrightarrow{a}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{b}=-\frac{t}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2t}{5}\overrightarrow{b}$ 

⇔ $\left\{\begin{array}{l}\frac{2k}{3}=-\frac{t}{3}\\ \frac{k}{3}-\frac{2}{5}=\frac{2t}{5}\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}k=\frac{6}{17}\\ t=-\frac{12}{17}\end{array}\right.$

Do đó ba điểm D, E, N thẳng hàng khi k = $\frac{6}{17}$.

Vậy $\overrightarrow{AN}=k.\left[\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}\right]$, $\overrightarrow{DE}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{EN}=\frac{2k}{3}\overrightarrow{a}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{b}$ và với k = $\frac{6}{17}$ thì ba điểm D, E, N thẳng hàng.

Bài 56* trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, lấy các điểm A’, B’, C’ không trùng với đỉnh của tam giác và lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA thỏa mãn $\frac{\text{AA}\text{'}}{AB}=\frac{BB\text{'}}{BC}=\frac{CC\text{'}}{CA}$. Chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Đặt $\frac{\text{AA}\text{'}}{AB}=\frac{BB\text{'}}{BC}=\frac{CC\text{'}}{CA}=t$ (t > 0)

⇔ $\left\{\begin{array}{l}AA\text{'}=tAB\\ BB\text{'}=tBC\\ CC\text{'}=tCA\end{array}\right.$

⇒ $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AA\text{'}}=t\overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{BB\text{'}}=t\overrightarrow{BC}\\ \overrightarrow{CC\text{'}}=t\overrightarrow{CA}\end{array}\right.$ (vì các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{\text{GA}}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Ta có: 

Suy ra G cũng là trọng tâm của tam giác A’B’C’.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Tích của một số với một vectơ

1. Định nghĩa

Cho một số k ≠ 0 và vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ≠ $\overrightarrow{0}$. Tích của một số k với vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ là một vectơ, kí hiệu là k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$, được xác định như sau:

+ cùng hướng với $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ nếu k > 0, ngược hướng với $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ nếu k < 0;

+ có độ dài bằng $\left|\mathrm{k}\right|$.$\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|$

Quy ước: 0$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{0}$, k$\overrightarrow{0}$ = $\overrightarrow{0}$

Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.

Ví dụ: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, D và E lần lượt là trung điểm của BC và AC. Tìm mối quan hệ của $\overrightarrow{\mathrm{GA}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{GD}}$; mối quan hệ của $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{GD}}$ 

Hướng dẫn giải

Khi đó ta có:

– Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA = 2GD.

Mà G nằm giữa A và D nên $\overrightarrow{\mathrm{GA}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{GD}}$ là hai vectơ ngược hướng.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{GA}}$ = (–2)$\overrightarrow{\mathrm{GD}}$.

– Ta có: AD = 3GD.

Mà $\overrightarrow{\mathrm{GD}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ là hai vectơ cùng hướng.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$= 3$\overrightarrow{\mathrm{GD}}$.

Ví dụ: Cho vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ có $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|$= 4. Tìm số thực x sao cho vectơ x$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ có độ dài bằng 1 và cùng hướng với $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\left|\mathrm{x}\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|$ = 1 ⇔ $\left|\mathrm{x}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|$ = 1 ⇔ $\left|\mathrm{x}\right|.4$= 1

⇔ $\left|\mathrm{x}\right|$ = $\frac{1}{4}$

Lại có vectơ x$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ nên x > 0

Suy ra x = $\frac{1}{4}$.

Vậy x = $\frac{1}{4}$ là giá trị cần tìm.

2. Tính chất

Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ và hai số thực h, k, ta có:

+) k($\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{b}}$) = k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + k$\overrightarrow{\mathrm{b}}$; k($\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$) = k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – k$\overrightarrow{\mathrm{b}}$;

+) (h + k)$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = h$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$;

+) h(k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$) = (hk)$\overrightarrow{\mathrm{a}}$;

+) 1$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{a}}$; (–1)$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = –$\overrightarrow{\mathrm{a}}$.

Nhận xét: k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi k = 0 hoặc $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Ví dụ: Tính:

a) 5$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ + 5$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$;

b) 4$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ + 6$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$;

c) 4(2$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$) + 2$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ – 3$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

Hướng dẫn giải:

3. Một số ứng dụng

3.1. Trung điểm của đoạn thẳng

Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=2\overrightarrow{\mathrm{MI}}$ với điểm M bất kì.

Chứng minh:

Vì I là trung điểm của đoạn thẳng AB nên $\overrightarrow{\mathrm{IA}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}$ = $\overrightarrow{0}$

Suy ra:

$\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ = $\left(\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{\mathrm{IA}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}\right)$ 

= $\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{\mathrm{IA}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}$ = $2\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{\mathrm{IA}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}$

= $2\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{0}$ = $2\overrightarrow{\mathrm{MI}}$.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ = $2\overrightarrow{\mathrm{MI}}$ (đpcm).

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. Chứng minh $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}=2\overrightarrow{\mathrm{MN}}$.

Hướng dẫn giải:

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD nên ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}=2\overrightarrow{\mathrm{MN}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}$ = $\left(\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}\right)$ = $\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ = $2\overrightarrow{\mathrm{MN}}$.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}=2\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ (đpcm).

3.2. Trọng tâm của tam giác

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}=3\overrightarrow{\mathrm{MG}}$ với điểm M bất kì.

Ví dụ: Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\text{AA'}}+\overrightarrow{\mathrm{BB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{CC}\text{'}}=3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}$.

Hướng dẫn giải:

Vì G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ nên:

$\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{\mathrm{GA}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}\text{'}}=\overrightarrow{0}$

Theo quy tắc cộng vectơ ta có:

$\overrightarrow{\text{AA}\text{'}}=\overrightarrow{\mathrm{AG}}+\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{G}\text{'}\mathrm{A}\text{'}}$ (1)

$\overrightarrow{\mathrm{BB}\text{'}}=\overrightarrow{\mathrm{BG}}+\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{G}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}$ (2)

$\overrightarrow{\mathrm{CC}\text{'}}=\overrightarrow{\mathrm{CG}}+\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{G}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}$ (3)

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta có:

$\overrightarrow{\text{AA'}}+\overrightarrow{\mathrm{BB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{CC}\text{'}}$ = $3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}+\left(\overrightarrow{\mathrm{AG}}+\overrightarrow{\mathrm{BG}}+\overrightarrow{\mathrm{CG}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{GA}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}\text{'}}\right)$

= $3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}+\left(-\overrightarrow{\mathrm{GA}}-\overrightarrow{\mathrm{GB}}-\overrightarrow{\mathrm{GC}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{GA}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}\text{'}}\right)$

= $3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}-\left(\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{GA}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}\text{'}}\right)$

= $3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}$ = $3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}$

⇒ $\overrightarrow{\text{AA'}}+\overrightarrow{\mathrm{BB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{CC}\text{'}}=3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}$ (đpcm).

3.3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng

– Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ ($\overrightarrow{\mathrm{b}}$ ≠ 0) cùng phương là có một số thực k để $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = k$\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

– Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số thực k để $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

Nhận xét: Trong mặt phẳng, cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ không cùng phương. Với mỗi vectơ $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ có duy nhất cặp số (x; y) thoả mãn $\overrightarrow{\mathrm{c}}=\mathrm{x}\overrightarrow{\mathrm{a}}+\mathrm{y}\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Đặt $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$. Dựng các điểm M, N sao cho $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$; $\overrightarrow{\mathrm{CN}}=2\overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

a) Phân tích $\overrightarrow{\mathrm{CM}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ theo các vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

b) Gọi I là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{\mathrm{MI}}=\overrightarrow{\mathrm{CM}}$. Chứng minh I, A, N thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

+) $\overrightarrow{\mathrm{CM}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ = $-\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

+) Vì $\overrightarrow{\mathrm{CN}}=2\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ⇒ CN = 2BC ⇒ BC = $\frac{1}{3}$BN ⇒ BN = 3BC.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{BN}}=3\overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BN}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+3\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+3\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)$ = $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+3\overrightarrow{\mathrm{AC}}-3\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 

= $-2\overrightarrow{\mathrm{AB}}+3\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = –2$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + 3$\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

b) Ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{MI}}$ = $\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CM}}$ = $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = $-\frac{1}{3}\left(-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right)$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AI}}$ = $-\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AN}}$.

⇒ I, A, N thẳng hàng.